De même que, en partant d'un élément (^), nous avons

44o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

défini un cercle G^ par l'équation

nous pouvons, en partant des cercles, définir fun ensemble de cercles par la relation

Ai^iH- A2a2 4- A3 «3+ A4a4-h A3 y/— Tc^^ = o,

puisque la forme F^s joue par rapport aux (a) le même rôle que la forme F^2 par rapport aux [x).

Cet ensemble de cercles, que nous pouvons appeler hypercercle^ a pour coordonnées les (A) : il est clair qu'il se coQipose de tous les cercles G^ qui sont à une distance constante d'un cercle donné; car cette condition est précisément exprimée par une relation linéaire et homogène entre les (a)et y^ — r^S si, en particulier, A5 = o, l'hypercercle (A) se compose, comme nous le savons déjà, de tous les cercles orthogonaux à un cercle fixe.

Parmi les hypercercles, on peut distinguer ceux qui sont de rayon nul, c'est-à-dire qui sont tangents à un cercle fixe ; ce sont ceux pour lesquels il existe entre les coordonnées (A) une relation quadratique facile à former.

On peut alors raisonner sur les hypercercles comme sur les cercles. On pourra soumettre leurs coordonnées à une substitution linéaire, et les théories de la Géométrie projective quinaire trouveraient là leur application. Parmi toutes les substitutions linéaires auxquelles on peut soumettre les (A), on peut envisager seulement celles qui font correspondre à un hypercercle de rayon nul, un hypercercle de même nature, et ces substitutions seront celles qui conservent un certain absolu dans l'espace à quatre dimensions rempli par les hypercercles. Ges substitutions font correspondre à un cercle un autre cercle, savoir : au cercle qui touche tous les cercles d'un hypercercle de rayon nul, le cercle qui touche tous les cercles de l'hypercercle correspondant. Ges substitutions comprendront en particulier les substitutions conformes.

Parmi elles, on peut placer évidemment celles qui consistent à augmenter le rayon de chaque cercle d'une quantité constante, le centre restant fixe; ce sont les dilatations.

Nous n'étudierons pas davantage la théorie que nous venons d'esquisser; elle trouverait son développement naturel dans la Géométrie quaternaire.

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