CHAPITRE XV. — LA GEOMETRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
Mais on voit que cette série est susceptible d'être dédoublée en deux séries orientées, ou composées d'éléments orientés, correspondant aux deux équations g ± Aa4= o, ce qui n'avait pas lieu dans le premier cas. On est ainsi conduit à la notion de séries orientées de degré /?, obtenues par dédoublement de certaines séries ordinaires de degré 2p. On voit d'ailleurs que la série ordinaire équivalente à une série orientée de degré p a ses éléments communs avec l'absolu confondus deux par deux, et qu'elle possède, d'une façon générale, p(p — i) éléments doubles, communs aux séries ^' et h.
Les cercles sont les séries orientées du premier degré.
Les séries non orientées de degré/? sont des cas particuliers des séries orientées de degré/?, de même que les séries linéaires sont des cas particuliers des cercles : on peut donc les considérer comme des séries orientées, mais telles que si elles contiennent un élément orienté, elles contiennent le même élément orienté de façon opposée.
409. Considérons inversement une série ternaire ordinaire, indécomposable, de degré/?, d'équation /(^i , ^27 ^3) = o. Si, en supposant que F^2= — x]-\- ^x^x^, comme précédemment, nous définissons un élément [x) par les paramètres (X) et ([j.) des éléments de contact avec l'absolu des éléments tangents à l'absolu qui contiennent [x), l'équation de cette série /sera
fÇkilM-^ Xsf^l, XljUi, À2[^2) = O.
Le premier membre ne sera pas décomposable en deux facteurs qui ne diffèrent que par la permutation des Çk) ou des ([i-), ou le sera. Dans le premier cas, la série /ne sera pas susceptible d'être dédoublée en deux séries orientées. Dans le second cas, deux hypothèses se présentent : ou bien les deux facteurs sont de même
degré ~ {p étant nécessairement pair) par rapport aux (a) et
aux (jx), et alors ils peuvent s'écrire sous la forme
g étant ime forme de degré — :> de sorte que la série / est la réunion de deux séries orientées de degré — ; ou bien les deux facteurs sont de degrés différents q et/? — q par rapport aux (}.) et
aux ([j.) : on est alors ramené an cas précédent en adjoignant à chacun d'eux, en supposant/? — Ç^^h ini facteur de degré/? — 2^, ne contenant que les [\) ou les ([j».), de sorte que la série/, à laquelle on adjoint p — ■ iq éléments tangents à l'absolu, devient la réunion de deux séries orientées de degré p — q. La série / a, dans ce cas, ses éléments communs avec l'absolu confondus deux à deux et possède d'une façon générale
{p-q){p — cj — i) q(q—i)
éléments doubles, ainsi que nous l'avons vu antérieurement.
A beaucoup de points de vue, il est convenable de faire l'étude métrique des séries orientées définies par des équations entre coordonnées circulaires. C'est ce que nous ferons, mais brièvement, puisque cette théorie se trouvera évidemment empruntée au domaine de la Géométrie quaternaire générale, et deviendra parfaitement claire comme conséquence des théories développées dans l'étude de cette Géométrie, après les quelques modifications de langage nécessaires.
410. Soit une série orientée de degré /?, définie par les équations
f(cci, «2, <^3, ctk,) = o, F^24- al — o,
et considérons un cercle Cp, de coordonnées (^), et dont l'équation en coordonnées circulaires est par suite
Piai-I- p2<^'2+ ^3^3+ ?4<^4= O.
Ce cercle sera tangent à / en (a^), c'est-à-dire que les trois équations précédentes admettront les (a^) comme solution double, si tous les déterminants du troisième ordre tirés de la matrice
Pl P2 P3 h
d£ df^ df^ dl
da\ da'..^ da'^ da\ F . F . F - F
sont nuls; et, par suite, il y aura une infinité de cercles tangents à /en {ct')^ dont l'équation sera
la
da\
da'..
+ «4 j^ )-+- \J^{^aa'-^ai,a';^) = o.
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