CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPECIALE

Deuxélémenls [y) el[z) soni parallèles quand {yz) contient .^'; leur distance est nulle à un multiple près de liinr^.

Il n'j a pas lieu d'envisager la distance jkC d'un élément de première espèce à un de seconde. Mais on peut définir la distance Çy de (Q à {y)\ si (^) est perpendiculaire à (jk) et aj^partient à (Ç),

la distance X^y est celle de (Ç) à (jK^). On trouve sans peine

Cr =

(^-K)\/tV

Cette distance est nulle pour ('C|j^) = o; infinie quand (Q contient (^'), ou bien que [y) appartient à l'absolu; indéterminée quand on se trouve à la fois dans les deux cas précédents.

On fera des remarques analogues à celles du n^ 373, sur l'interprétation métrique des équations.

L'étendue d'une suite de n éléments a toujours la même définition. Mais l'on voit que l'étendue d'une suite triple de première espèce est toujours nulle, à un multiple près de /yiniTz^ d'après les formules du n" 374 : c'est un théorème fondamental.

Mais si l'on fait en e-énéral — r— x ~ = S^ un passas-e à la

limite analogue à celui que nous avons déjà fait donne

en remplaçant (H'/'iQ par (^xyz)' et les quantités y^<l^^--. . . ., ^r{Ci • • •? par leurs valeurs.

Cette quantité S' est la surface de la suite triple (.^), (y), (^); cette notion s'étend immédiatement à une suite de n éléments.

L'étendue de la suite (^), (t]), (Ç) est

ou, en introduisant les cléments (^), (jk), (s) de la suite équivalente

4^^!, Si les éléments fondamentaux n'appartiennent pas à l'ab-

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solu, soit

F = i^•f H- ^1 H- a?! 4- 2 cos 61^2^3+ 2 00862^3^1 4- 2 cos63;ri^2,

et supposons 7?2= — • Nous orienterons les éléments fondamentaux en faisant, pour O/, ^/= 1 et y/F^2=r i ; de sorte que

COs0203 = 9i, COSO3O1— 62, COSO1O2— 63.

On a aussi o — D = I -f- 2 cosG] COSÔ2COS63 — cos^ôj — cos^ôg — COS2G3

, . Ô, H- 0,-1- 63 . —61-1-0,-1-63 . 61 — 6,-1-63 . Oi-i-Oo— O3

= 4 sin = sin = sjn = — — sin ^ -,

et avec l'hypothèse 9, -|- ôo -h 83 ^ o (mod 271),

(ï) = (sinOi^iH- sin 02?2^- sinOs^j)^ de sorte que nous prendrons

(^10 = sin 6,^1^ sin 02^2+ sin 63^3.

Dans ces conditions, on peut considérer 9,, 9o, 83 comme les distances O2O3, OaO^, O, Oo.

On a

et, par suite,

et aussi

sin 62 sin 63

ihJh ^h^^i ^^.iÛ2 X

sinOi sin02 sin03 sinOi sin02sin O3

2 sinôisin02sin03^

i^iOi==

d'où

sinOi

et ainsi de suite.

On peut supposer que l'élément fondamental 0< coïncide avec (g), et l'on peut alors écrire

F = j?;| -H ^1 -h 2 cos Oi ^2'2?3,

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