I. — Définitions et formules générales

422. La Géométrie métrique ternaire spéciale diffère de la Géométrie générale en ce que l'on suppose que le discriminant de la forme F qui définit l'absolu est nul. En gardant les notations du Chapitre précédent, nous supposerons donc que F se décompose en un produit de deux facteurs distincts

F = '2(0 \ x)(o'\ ce),

et par suite la forme $ sera un carré parfait (g\ i)-. (g) est l'élément double de F, et l'on a

On pourrait tout aussi bien se donner la forme ^ à déterminant nul, mais il n'y aurait qu'à échanger les éléments de première et de seconde espèce pour être ramené au cas précédent.

Enfin, remarquons qu'il n'y aurait pas d'intérêt à supposer que F fût carré parfait, $ devenant alors une forme identiquement nulle.

423. Rien n'est à changer à la définition de la distance de deux éléments de première espèce (7) et (^); les mêmes remarques subsistent, et l'on a

Quant aux éléments de seconde espèce, on obtient leur distance en faisant comme au n^ 126 un passage à la limite; si D tendant

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vers zéro, [i. augmente de façon que le produit — 2 [j. y/ — D tende vers une limite 1, on obtient

Cette distance est encore celle qui est définie en Géométrie métrique binaire sj^éciale pour l'espace ('oQ, les éléments absolus de cet espace étant confondus avec celui qui est déterminé par (^•)

Pour avoir plus de précision, nous orienterons un élément de première espèce (y) en donnant une détermination fixe à \/Fj2, et un élément de seconde espèce (^r\) en prenant y/^.^. = ( «- 1 -/j ) .

Nous écrirons alors

cos-4- =: , ■^: — ^ siii^^ == .J^ /.;

puis, en appelant {x) l'élément (t,J^), de sorte que

nous aurons

Si (i), (tj), (S^) sont orientés et appartiennent à un même élément orienté, on a

La distance r^^ est nulle quand (t.) et (Q coïncident, ou bien si (ti^) appartient à l'absolu; elle est infinie si l'un des éléments (tj) ou CÇ) contient (g); elle est indéterminée si (ri) et (u) contiennent (g), ou bien si l'un des éléments (r^) et ÇQ appartient à l'absolu.

Deux éléments de première espèce sont perpendiculaires quand ils sont conjugués par rapport à l'absolu; il n'y a pas d'éléments de seconde espèce perpendiculaires; les éléments normaux subsistent.

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