CHAPITRE XVI. — L\ GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

système S2, composé du système S^, des coefficients de l'absolu, et des coefficients (^) d'un élément fixe quelconque (^) contenant l'élément double {g) de l'absolu. Les invai^iants absolus ordinaires de ce système S2, qui sont homogènes et de degré zéro par rapport aux coefficients de l'absolu et aussi par rapport aux (^), seront les invariants absolus des homothéties. Les équations qui les déterminent seront formées comme au n° 381.

Dans le cas des mouvements, on remarquera que si (^) est l'élément double autre que les éléments de l'absolu, le mouvement ne change pas la série définie par la forme F + (^ | ^)^. En adjoignant les coefficients (?) au système S, ainsi que les coefficients de F, les invariants absolus ordinaires du système ainsi formé, qui sont homogènes des degrés p ei q par rapport aux coefficients F et aux (?), avec la condition 2/) + ^ = o, seront les invariants absolus du groupe de rotations ayant même élément double (?); en considérant (?) comme arbitraire, on aura les équations des invariants absolus du groupe des mouvements immédiatement.

Un procédé analogue servira pour les translations.

On fera, sur les difi'érents invariants absolus métriques que nous venons de signaler, les mêmes remarques qu'en Géométrie binaire.

On aurait d'ailleurs pu employer en Géométrie binaire des procédés de formation analogues aux précédents, pour les divers invariants absolus métriques.

430. Envisageons maintenant les invariants métriques non absolus. Pour les similitudes, ils vérifieront les équations

AiiF==[JLiF, A22F==[a2F, ù.^^¥ = i^^Y , Aj.F = o, A13F -= o,

[^1? [^2? 1^3 étant trois constantes quelconques, et se reproduiront multipliés par co^^to^-to^^: on a gardé ici 2 ^2 ^3= ^ pour équation de l'absolu.

D'une façon générale, on pourra obtenir tous ces invariants en formant d'abord les invariants ordinaires relatifs au système S aucjuel on a adjoint les coefficients de l'absolu, qui sont homogènes et de degré zéro par rapport à ces derniers coefficients; puis en adjoignant à ces invariants les premiers membres des

équations des éléments de l'absolu, séparément, on deux autres invariants de même origine, si les [x) ne figurent pas dans le système S.

Dans le cas des homotliéties, on aura

AiiF = fjiiF, A22F4- A33F = [JI2F, Ai2F = o, Ai3F = o,

[ji^ et ML2 étant deux constantes. Ils se reproduisent multipliés par co^'i colj'^ On les obtient comme dans le cas précédent. Pour les mouvements, on a

A.hF+2A22F=(J12F, AiiF-4-2A33F=r [i.3F, Ai2F = 0, Aj3F=:0,

1x2 et JJI3 étant deux constantes. Ils se reproduisent multipliés

par (j}^ 0)3^ , et sont obtenus comme les précédents. Enfin, pour les translations, on a

AuF + A22F + A33F== ^F, A12F = |ji'F,

ils se reproduisent multipliées par co^'e "' , e désignant la base des logarithmes népériens. Pour les obtenir on adjoindra, par exemple, aux invariants des similitudes, les deux invariants

Les particularités relatives à ces divers invariants seront laissées ici de côté, malgré l'intérêt qu'elles peuvent présenter. Il sera d^ailleurs facile de leur étendre la plupart des propositions relatives aux invariants ordinaires en général.