CT

Revenons maintenant au cas exclu d'abord où l'on a a-oTorrzro, et soit T2 = o. Si la substitution est du premier type etinvolutive, on peut disposer de Qj de façon que

et l'on se trouve dans un cas limite du cas général ; pour le second type, il y a involution seulement. si <72 = o, en particulier, et l'on est ramené à une sjauétrie.

Une similitude ou une similitude symétrique convenablement choisie permet toujours de ramener une substitution quelconque du premier ou du second type à un cas d'involution. Une substitution conforme involutive se ramène aussi, par l'adjonction d'une symétrie évidente, à une inversion spéciale.

Nous remarquerons enfin que le réseau formé ici par les cycJes spéciaux, composés de (g) et d'une série linéaire, a pour correspondant un réseau de cycles contenant un même élément (^) fixe. On ne pourra donc pas en général, par une des substitutions que nous venons d'étudier, transformer trois cycles en trois séries linéaires.

Pour des raisons que la Géométrie quaternaire rendra évidentes, un hypercercle sera l'ensemble des cercles dont les coordonnées vérifient une relation de la forme

A] Cf.\ 4- 2 A2aia2+ 2 Aaaiaa-i- iki^T.i a4 -f- A5 (2a2^3 — a| ) — o,

l'absolu étant toujours pris sous la forme F = — 2^2'^3 = o.

Tous les cercles d'un hypercercle sont à une distance constante d'un cercle fixe, comme on le vérifie sans peine; et de même tous les cycles équivalents à ces cercles sont à une distance constante d'un cycle fixe, qui a même centre que le cercle fixe précédent.

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Un hjpercjcle sera de même l'ensemble des cycles dont les coordonnées vérifient une relation de la forme

Ai^i + A2a2-h Asas^ ki^ai^-^ A5 / — 0^2= o.

L'ensemble des cercles équivalents à ces cycles forme un hypercercle, et l'on aurait pu faire la même remarque en Géométrie métrique générale.

Nous n'étudierons pas ici ces éléments nouveaux, auxquels s'appliqueront les théories de la Géométrie quaternaire.

V. — Les coordonnées circulaires et cycliques, et les séries orientées.

442. Les cercles Cp dont les coordonnées vérifient une relation linéaire

ai pi -f- ^2 j32 -r- «3 ,83 ■+- <^^4 184 = O

définissent un élément (a), de coordonnées a^^ ^27 ^3, tel que la distance de cet élément aux cycles équivalents aux cercles Cp ait une valeur constante k définie par

cos-

Quand k est nul, on a en particulier F^^-}- a\ = o.

INous sommes ainsi amenés à définir un élément (a) par les quatre coordonnées circulaires^ a,, ao, a^, a^^ liées par la relation F«2+ <^^4 = o.

Une équation de la forme f{a^^ a^^ ^3, ^4)^=0, jointe à la relation F^^-j- a^^ = o, définit une série ternaire, que l'on peut en général dédoubler en deux séries orientées, et sur laquelle on peut répéter tout ce qui a été dit au n° 408.

Inversement, il sera facile de reconnaître si une série ternaire donnée est susceptible ou non d'orientation, puisque dans le premier cas, son équation doit permettre d'exprimer \j^ — F^:: rationnellement en fonction de x^^ X21 00^.

Si l'on effectue une substitution linéaire générale sur les (a), de sorte que les coordonnées (a) sont transformées par la substi-

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