CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE. ^S
de paramètres binaires {!) et (pi) qui définissent les deux éléments communs à (^) et aux éléments qui constituent l'absolu, d'équations
quand F = — 2X2'^3j o^^ plus généralement, avec les notatipns
du n« 432,
Les substitutions que nous avons en vue, transformant un cycle de rayon nul, c'est-à-dire composé de deux éléments (œ) appartenant à l'absolu, en un cycle de même nature, seront par suite obtenues en posant
Xi= cri).;-i- a-;}.;, iii= Tijj.; ^-t; (j.'^,
X2 =-cr2 X'^ -f- cr'^ X 2 , IJ'2 = '^2 [-'-1 + ^2 '-'-'2 ?
OU bien
Xi =: CTip-'i -j-OTi t^',, [J-i = TiXj -f- TiX^,
X2 = 0-2 {Jl'i -f- 0-^^ [J.2 5 P-2 = '^2 X'i + ^2 '^^ 2 ?
comme au 11° 401 ; et l'on fera les mêmes remarques. L'équation du cycle Ta s'écrivant
la^Xi fJ-l -î- 2 (3^2 X 1 [J-2 + '^ <^3 X 2 P-1 + <^^4 A2 P-2 = O 5
on aura pour les coordoanées du cycle transformé F^', en ne considérant que les substitutions du premier type
a\ = G[ 'ui ai -f- C7] -09 a.9 -f- a, Tj ^3 h 0-2 T9 ^4,
ag = (TiT^ai-l- 0-1X2^2-^ <^2^i<^3H ^2X2^^4,
Cl .^ = G i T] Clf -r- <T j 1:2 <^2 ' ^2 '^l ^3 "^ "" ^2 '^2 ^4j «4 == 2 <j\ t'i «1 + 2 œ'j T2 «2 "T- 2 0-2 x'^ «3 -H CT^ z'^ «4
et, par suite, l'absolu étant F = — 2^2-^3= o?
Ç2Ç3== '^l'^lÇ2^3— ^l^iÇib3 — ^=^1 ^1?1 ^2"-^ ^l^l^r^
^1 '^2^2 ^3 -i- ^1 ^2 Tl ^3 -*- ^i '^2?'i ^2 " ^1 -^2 Tl' , ?1?2= — Cr2i;i^'2^;,-{- ^sT^'l^'l^S-^ ^'2^J^'l^2— <^'2'^'i??' eî- ^2^2e;?i-^2^;?U3-^;^2?i?; + ^;^2^?.
Ces substitutions, du premier type, seront dites conformes de
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seconde espèce , et 11 leur correspondra des invariants conformes faciles à définir d'une façon plus précise.
Les éléments doubles, pour une substitution conforme, se déterminent comme au n" 403.
41']. En généra], qu'il s'agisse d'une substitution du premier type ou d'une du second, les cycles spéciaux, c'est-à-dire pout^ lesquels a, = o, qui se transforment en cycles spéciaux, contiennent l'élément fixe défini par
si l'on a (72^=^2 = 0, la transformation est une similitude, ou une similitude symétrique, suivant son type. Ce cas écarté, soit (TsToT^o, et prenons, ce qui est possible, l'élément fixe que nous venons de définir, pour élément fondamental 0^, de sorte que (7^ = T^ = o. Une substitution du premier type sera alors involutive si l'on a de plus a-'., = t!, = o. Les éléments doubles de cliacune des involutions ainsi déterminées sur les deux éléments de l'absolu sont conjugués barmoniques par rapport à (^j et O2 ou O3; en les combinant ensemble, on détermine deux couples d'éléments de seconde espèce (a) et ([â), (a') et ([3'), les éléments (a[3) et (a^P') contenant 0|.
Les cycles doubles pour la substitution envisagée sont ceux des deux faisceaux déterminés par (a) et ([3), (a/) et (,8^)^ ces deux faisceaux sont conjugués et les cycles de l'un sont orthogonaux aux cycles de l'autre.
Une substitution du second type sera involutive, si l'on a de même ^-'2^= t'^ = 0, et de phis o-'^ T2 ^^^o^^^ •
Dans ce cas, dit inversion spéciale de seconde espèce, on a
et l'on est ramené à l'inversion particulière définie au n° 284 comme cas particulier de la correspondance quadratique birationnelle, de sorte que nous pourrons appliquer les propriétés de cette transformation.
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