VI. — Les séries orientées du second degré

444. L'objet de ce paragraphe est tout semblable à celui du paragraphe correspondant du Chapitre précédent; aussi n'insisterons-nous que sur les modifications à faire à ce qui a été déjà dit quand il s'agit de passer de la Géométrie métrique générale à la Géométrie métrique particulière.

On considérera d'abord une série orientée yde première espèce, et l'on cherchera des fonctions linéaires A/ des (a) telles que

et que

L'équation

/ = /?i A'f -i- /J's A ^ -H /?3 A| 4-/>4 A I , Fa^ -+-«!- G- Al + Al-i- A|.

Xi A| + A2 A9 -f- X3 A3 -4- A V xV/, = o

représente un cercle (X) qui se décompose en deux éléments appartenant à (^'), quand on a ).,=zo, évidemment; c'est le cas des cercles particuliers Ao = o, A^^o, A4 = o.

Il existe sept substitutions linéaires qui conservent la série / et la forme G; trois sont du type

c'est une inversion spéciale conservant le réseau de cercles pour lesquels X2=o, et en particulier, par conséquent, A3=o et A/, = 0; cette inversion conserve aussi A2=o. Une autre est

i,=r-. — i[^ à2-a;, Ao-à;, i'.^K'^

elle conserve A, ==0, et tous les cercles décomposables : elle a été étudiée à la fin du n"^ 438.

Enfin trois autres sont du type

ce sont encore des substitutions involutives, obtenues en composant ensemble deux des quatre précédentes.

44o. Si la série/* est une série quadratique ordinaire, on peut supposer/?, = 0, et A,, Ao, A3 sont des fonctions linéaires de ai^

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