CHAPITRE XVI. — LA GEOMETRIE METRIQUE TERNAIRE SPECIALE. 5oi
déterminés par une nouvelle relation; ces cercles comprennent trois foyers proprement dits.
La relation cjui détermine les rayons de ces cercles sera
De telles séries pourront d'ailleurs encore avoir un élément double ou cuspidal.
455. Si la série y se compose d'une série cubique et de (g), son équation peut s'écrire
en choisissant convenablement les coordonnées.
Les cycles bitangents à y* sont déterminés par les équations
(p — 5'2)(p — ^3} Pi{9 — q^) pI
p\~^ pi{9 — q-2) p(p — ^2)(p — ^73) '"^ p(p — ^2)
les propriétés générales subsistent; mais ici les séries (D/) sont paraboliques, ayant d'ailleurs pour foyer commun le foyer singulier de/'; les centres des cercles principaux appartiennent à/', et les éléments tangents à / correspondants contiennent l'élément de/, autre que les éléments de l'absolu, appartenant à (§). Les cas particuliers se discutent sans peine.
456. Ce C[ue nous venons de dire sur les séries orientées du second degré de seconde espèce nous fait connaître les rapports mutuels qui existent entre les systèmes de séries quadratiques doublement tangentes à une série quartique clouée de deux éléments doubles, qui contiennent ces éléments doubles; inversement, on pourra transporter à l'étude de ces séries les théorèmes généraux que nous avons rencontrés dans l'étude des séries quadratiques quadruplement tangentes à une série quartique possédant deux éléments doubles. Les réseaux définis par ces séries quadratiques, quand elles contiennent les éléments doubles, ont
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501 LIVRE II. — LA GÉOMÉ'IUIE TERNAIRE.
précisément pour jacobiennes respectives les cercles principaux de la série/, d'où une série de propositions faciles à énoncer.
Tout ceci s'applique aussi aux séries quadratiques doublement tangentes à une série cubique et contenant deux éléments donnés de cette série.
457. L'équation d'une série orientée du second degré et de seconde espèce peut s'écrire
/ étant une forme quadratique des A^-, qui sont des fonctions linéaires des coordonnées cycliques ordinaires a^ , as, à^, 7.4. En spécifiant les coordonnées comme dans le cas particulier qui termine le n° 432, nous pouvons prendre
l'absolu étant F = — 2^2<^3-
Si l'on considère un élément (A') de coordonnées ordinaires (^), et un élément tangent au cycle A'^-=:o contenant (A^), en désignant par ti la distance de (A^) à l'élément de contact de cet élément tangent, et par (ù'- le coefficient de ai dans la fonction
linéaire A'-, on a
si le cercle A.'^= o est de rayon nul, cette formule subsiste, il étant la distance de (A^) au centre du cercle. Si le cercle A'^-:= o est décomposable en un élément de coordonnées (œ') et (g), on a, si ti est la distance de (A^) à (^'),
si le cercle A^= o est l'absolu, on a
(d"- étant le coefficient de a^ dans A^.
De ces résultats, on tirera, comme aux n''^ 419 et suivants, la
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