CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE
mêmes forment deux groupes de deux, et déterminent par leur combinaison quatre éléments que Ton peut regarder comme les foyers singuliers de la série/*. Remarc[uons, d'une façon générale, que ces dénominations de foyers et foyer singulier, pourraient être étendues à des séries de degré cjuelconque, et d'espèce quelconque, tant en Géométrie métricjue générale c|u'en Géométrie métrique spéciale.
La série/, lorsque le terme en a^ manque dans son équation en coordonnées cjclic[ues ordinaires, se compose de (^') et d'une série cubicjue contenant les éléments de l'absolu; c'est celle-ci qu'on regarde comme définie par l'équation /"= o. Elle admet seize foyers définis comme précédemment, et un seul foyer singulier.
Enfin si a^ ne figure pas dans l'équation /:= o, la série / se compose de (^') deux fois, et d'une série quadratique ordinaire; celle-ci admet quatre foyers. Dans ce cas, la réduction générale efiectuée au commencement du numéro précédent est impossible.
Il est inutile d'étudier les séries quadratiques ordinaires de seconde espèce, puisque leurs séries tangentielles sont de même nature, et ont été étudiées précédemment.
454. Considérons donc une série orientée générale du second degré et prenons l'absolu sous la forme F ::= ^^ H- ^^ = o ^ il sera possible en général, ainsi que cela résulte de ce qui suit, de choisir les coordonnées de façon que l'équation de/ en coordonnées (i) ordinaires soit
l'équation d'un cycle (X) sera
les coordonnées de son centre étant A], Xo, X3, et son rayon p déterminé par
^ . X^"- XI — 9,Xi A,
Les coordonnées cycliques sont ici
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Les cycles bitangents à / sont déterminés facilement par les trois équations
— qk^-- o, =-- o,
qi ^2-i- p ^3-1- P
p étant une inconnue auxiliaire.
Il existe donc quatre systèmes de cercles bitangents à /; les lieux (D/) de leurs centres sont des séries quadratiques homofocales, et il est facile de vérifier que leurs foyers sont précisément les foyers singuliers de la série f. Les cercles bitangents à / d'un même système sont orthogonaux à un cercle fixe (A/), d'équation
^2-r- Pi ^3-^ 9i q\
0; étant la racine correspondante de l'équation en p.
Les quatre cercles principaux sont orthogonaux et, d'une façon générale, on retrouve toutes les propriétés énoncées au n° 418 : les centres des cercles principaux (A2), (A3), (A4) sont les éléments ayant même polaire par rapport à (Ai ) et (D j ) ; ....
Chaque système de cercles bitangents à (f) contient quatre foyers ou cercles de rayon nul, éléments communs aux séries (D^) et (A/) correspondantes, et deux séries linéaires doublement tangentes kf] ....
Les cas particuliers se discuteront comme au n° 418, et conduiront aux mêmes conséquences, la série / pouvant se décomposer en une série cubique et un élément appartenant à l'absolu quand l'équation en p a deux racines doubles; etc.
Un cas particulier intéressant sera celui où l'on a ^2 = Çs^ de sorte que les éléments de l'absolu sont cuspidaux pour la série f. Les séries (D/) qui correspondent aux racines de l'équation en p autres que — q2 sont des cercles, ayant pour centre l'unique foyer doublement singulier de /. En général, la racine — ^2 de l'équation en p est simple, et l'on peut supposer r^=:Oj sans altérer la généralité. Les cercles qui correspondent à cette racine ont leurs centres appartenant à la série linéaire ).2=o, et sont
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