CHAPITRE m. — LES SYSTÈMES LINÉAIRES

et démontrons qu'il l'est encore si l'on adjoint à ces variables les nouvelles variables (^) : il sera alors vrai d'une façon générale.

Le semi-invariant considéré est de la forme Ai Xi + A2^2 î si ^.^ est nul, A2 est un semi-invariant du système (y), (5), ... ; et par suite le théorème est démontré.

Si A^ n'est pas nul, c'est évidemment un semi-invariant du système (y), (z), . . . , des poids P^ 4- i et P2 ; par suite il est de la forme

les premiers facteurs étant en nombre — ^ P^ — i, les seconds en nombre P^-~P2+ i, dans chaque terme. On peut alors écrire^ Pj — P2+ ï étant nécessairement positif,

Ai^i --H A2^2 = I'a(xç){yz)(tu) . . . ^2^2 • • • -î- ^2^2 ;

le premier terme du second nombre est un semi-invariant du système (x), (y), (z)^ . . . , qui est dans les conditions annoncées ; donc 82^2 est lui-même un semi-invariant, et l'on est ramené au premier cas, celui où A^ était nul, de sorte que le théorème est complètement démontré (^).