I. — Les invariants des systèmes linéaires

53. Nous appelons système linéaire an système S composé uniquement de variables isolées et de formes linéaires.

Remarquons d'abord que l'étude d'un tel système revient à celle d'un système composé uniquement de variables des deux espèces; et même on peut encore supposer que toutes les variables sont de première espèce, par exemple. En effet, si les (^) sont des variables de seconde espèce, en faisant ^^ = ^2? ^2=^ — ^\, il est clair que les {x) se transforment par la substitution a- de la même façon que les variables de première espèce, au facteur S près. De plus, on peut prendre une forme linéaire de première espèce sous le type {xx)^ de sorte que cette forme égalée à zéro définit précisément l'élément dont les coordonnées de première espèce sont(^), et que ces [x) se transforment, au facteur S près, comme les variables de première espèce.

A partir de maintenant, nous appliquerons ces remarques, en nous bornant aux variables de première espèce, et en prenant toujours les formes linéaires sous la forme {xx)^ ce qui permet de les remplacer par les variables (^).

34. Soit donc un système linéaire S composé de n couples de variables isolées {x), (y), (^), (^), {u), ....

Les invariants du système sont tous les déterminants du type (xy),

en nombre — ^ ; ils forment, comme nous allons le faire voir,

un système complet.

Entre ces invariants existent des relations, car in — 3 seule-

ment d'entre eux sont indépendants : on peut choisir pour ceux-là

(.TJ), (xz), {xt), (xu), ...,

ir^)i (yi), (yu), ...,

et tout autre déterminant tel que [zt) est lié à ceux-ci par la relation

(xy){zt) = {xz)(jt) — {xt){yz).

Tous ces invariants sont d'ordre — ^ i , si les éléments du système sont à proprement parler des variables.

55. Démontrons maintenant que les invariants (^JK) forment un système complet, c'est-à-dire que tout invariant du système S peut s'exprimer en fonction entière des déterminants (^y)- Plus généralement, nous allons faire voir que tout semi-invariant du système S, des poids respectifs P^ et P2, est une fonction entière des déterminants (xj) et des variables ^25 JK27 ^2-) - - - -, chaque terme contenant P^ — P2 facteurs du second type et — P^ facteurs {o^y)f par suite. Ce théorème, dont la réciproque est évidente, contient le proposé.

Il suffit de démontrer le théorème pour un semi-invariant linéaire par rapport aux diverses séries de variables. En effet, par l'adjonction de variables nouvelles en nombre suffisant, et prenant assez de fois la polaire de la fonction donnée, on obtient finalement une fonction, qui est encore un semi-invariant évidemment, et qui est linéaire par rapport aux diverses séries de variables. De cette fonction on peut inversement tirer la fonction donné, en supposant identiques plusieurs séries de variables, d'après les propriétés des polaires.

Ceci posé, nous allons faire voir en effet qu'un semi-invariant linéaire par rapport à toutes les séries de variables, des poids respectifs P^ et Po, est une fonction entière de {^y) et des variables ^27 ./2? ^2, • • •? celles-ci figurant en nombre Pi — P2 dans chaque terme de la fonction.

Le théorème est vrai pour une série de variables évidemment : X2 est le seul semi-invariant des (^), linéaire par rapport aux (x).

Supposons le théorème vrai pour les variables (y), (2), (^), . . . ,

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