CHAPITRE IV. — LES RÉSULTANTS ET LES DISCRIMINANTS

second par

Cty

Comme on le voit, nous sommes encore ici dans un cas oii^ pour exprimer que les hi sont liées par q relations linéaires, on obtient une condition nécessaire et suffisante en rendant identiques, dans le déterminant A du n° 52, les variables des deux séries. En effet, dès que/ et ^ont q racines communes, les A/ sont liées par q relations linéaires.

On pourrait multiplier les résultats de ce genre, et varier de bien des façons les moj^ens de les obtenir : nous ne nous sommes arrêtés qu'aux plus importants.

69. On peut se proposer de chercher des conditions nécessaires pour que ^formes données ne dépendant que des (^) et de même degré p-, f\-, f-i^ - " - •> fq aient r racines communes.

11 faut et il suffit que les deux formes

jr^/i-7rv2/2-...H-jrv.

aient r racines communes, quelles que soient les quantités (^y) et (s). On peut employer, pour éviter les puissances de(y^) dans le résultat, les combinaisons évidentes

où la notation [y^]^ désigne le quotient à développer.

La condition cherchée sera, par suite^ en faisant

y'j = ao ocP -4- cil ooP-'^ x^-\-. . . ,

y facile

ao xP -

y; = h^xp -

bixP-^Xi ■

■ Cy XP — ^ X2 ■

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l'évanouissement identique du déterminant d'ordre ip — /• + i

CHlyzYi-"^ -^ b^y.^^z^^lyzYi-^ -V- .

borr'^r

^ily-^y^'^^-^ biy%z^[yzY-~^^

boyv ^r' -^ co/r^ zr' [y^y -^ •

OÙ les (i) sont de nouvelles variables et où l'on distingue trois groupes contenant chacun respectivement/) — ■ r -\~ \^p — z^ + iet r — I lignes. Ce déterminant peut se transformer, à une puissance près de [jK^]^ ^\ dans le suivant, d'ordre /' — i -\~ q{p — ■ f^ -h 0?

yiz,^

Clo

JK2^2

yizi

yiZi

Jl^l

yi^i

tlP-2r+^^

où l'on distingue : i" g groupes de p — /• + i lignes et un groupe de r — I lignes ; 2" un groupe de ip — ^ r + i colonnes et ^ — 2 groupes de/> — /- 4- i colonnes.

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