CHAPITRE IV. — LES RÉSULTANTS ET LES DISCRIMINANTS

68. Revenons à la méthode donnée au n^ 65 pour former le résultant dans le cas de p^ = p.

Posons, en chansfeant les notations.

fi^'i-fi^i^hi.

Si nous écrivons

on a

g ~h^x\~v diX^l'^ X2-^ biX^l^^xl-^-. . . ,

hi r= (aobi)xP^-'^ H- (ao&2)^î~^^2+ {aQb^)x^l~^ xj ■

-'r-{{a^b!,) ^{aib^)]xil-^ ocl-\r . . .,

h^=r.^aç^bi)xPy-^ -i-[( a^^bt,) -{- {aib^)]xP-'^ œ^

-H [{a^b^)-^ {a^bi,) -\- {a2b^)]x{-'^ xl-^ . . .,

{ciibj) — aibj— Œjbi.

On voit que le déterminant des coefficients des /z/, c'est-à-dire le résultant R de/ et g^ sera un déterminant symétrique. Oq voit aussi que la forme

est égale au quotient '— — '~~ — -■> symétrique en (^)

et (y), et invariant.

De même que le résultant peut se mettre sous la forme du déterminant des coefficients des ht^ le déterminant R^ du numéro précédent peut se mettre sous la forme du déterminant A du n^ 52, dont l'évanouissement exprime que les ht sont liées par q relations linéaires, et dans lequel on remplace les ($) et les (ti) par les (j*). Pour le faire voir, il suffit de remarquer que l'on obtient ainsi, d'après ce qui précède, un invariant, et de montrer que cet invariant est du même degré que R^ par rapport aux ( k) et a même

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source : l'égalité des degrés est évidente; nous allons montrer l'égalité des sources sur un cas particulier.

Soit/? = 5, g == 3 ; l'invariant A considéré devient

(«0^3) («^0^4) -+-(^1^3) («o^5)-!-(^i^4) + (<^2^3) (ai 63) -^(6^(2^4) (^2^5)

(ai65)-f-(a2<

ri — 3riri

tandis que l'on a

--6ji72

— loylyl

Les coefficients de j/]^ dans ces deux invariants sont respectivement

(aob2) (aobz)-i-{aib2) {aob!,)-^{aibs)

(ao^a) (ao^4)-i-(ai^3) («0^5)-t-(aiÔ4)-^(«2^3)

ai,

èo

pour montrer leur égalité au signe près, il suffit de multiplier le

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