CHAPITRE V. — LA FORME BILINEAIRE

puisque h[x) doit se transformer en (^a\ .^ -\~ a[^ ^) x\ x[^ ^ jDOSons

/./ N . .i~ k/î'^ — 4/ a^g z=z J-i^x, z) — [xz) ~ ,

les formules pour passer des {y) aux [y') étant analogues.

Le déterminant de la substitution linéaire ainsi définie est,

les (x) étant les variables primitives, - ; donc i et h

étant des invariants des ordres i et o, on a, en faisant les (x) identiques aux (^),

formules qui déterminent a\^ et a!,^ sans ambiguïté.

77. Sur la forme canonique, (x') et (y^) désignant deux éléments correspondants, le rapport anliarmonique de ces denx éléments

associés aux éléments donbles, soit {x^y'0\ O!,), est égal à f' ,' ? c'est-à-dire à P-- On a donc en général

ce rapport anharmonique a une valeur constante k qui dépend de l'invariant absolu géométrique - •

Dans le cas de l'involation, et seulement dans ce cas, on a if m: o, et par suite A" = — i. L'involution est donc caractérisée par ce fait que les éléments doubles sont conjugués harmoniques par rapport à deux éléments correspondants quelconques.

Pour définir une involution, il est nécessaire et suffisant de connaître deux couples d'éléments correspondants, en particulier les deux éléments doubles.

Soient trois couples de deux éléments (x) et (^), (y) et (j), (z) et (z)] à quelle condition appartiennent-ils à une involution?

8o LIVRE I. —- LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

En considérant (^), (y)j {z)el(z) comme appartenant à la série X, leurs correspondants dans Y sont (x), (y), (z) et (z); on doit donc avoir

(xyzz)^{a:yzz).

La réciproque est d'ailleurs vraie, car les formules développées plus haut montrent qu'en dehors des éléments doubles il n'y a, dans une homographie, aucun élément ayant même correspondant dans les deux séries, s'il n'y a pas involution.

Gomme application, on voit, par exemple, que si (x) et(^'), (y) et (y) sont deux couples d'éléments correspondants dans une homographie dont O', et O^ sont les éléments doubles, (x) et (y) appartenant à une même série, les trois couples (x) et (j'), (x) et (jk), O', et O;, appartiennent à une même involution, car on a

(^^o;o;)==(j3;o;o;)=--(^jo;o;).

De même, si A est un élément double d'une involution définie

par (x) et (^), (y) et ( j), on a

{Axyy) =

( A cûyy )

78. Soit {y) un élément de la série Y, et (z) son correspondant; considérons (z) comme appartenant à Y, et soit (t) son correspondant, et ainsi de suite.

Sur la forme canonique, on obtient tout de suite

fi ^

yii

de sorte que les équations de {z')^ (t')^ ... sont successivement, en désignant par (x^) les coordonnées courantes,

Introduisant les invariants, on a d'une façon générale, pour les équations de (^), (/), ., . successivement,

/= o, if — j^ocy) = o, (t2 —j)f— ij{ocy) = o,

( t^ — 3 l-^j -+- J^)f~j ( i^ — 1 ij) (^/) = o, la loi de formation étant évidente.

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