CHAPITRE VI

LES SYSTÈMES QUADRATIQUES.

79. Nous appelons systèmes quadratiques ceux qui résultent de la considération de formes quadratiqnes et de variables, celles-ci ponvant d'ailleurs tenir la place de formes linéaires données.

Soit d'abord une seule forme quadratique dont nous mettons Jes racines en évidence

Cette forme qui ne dépend que de trois coefficients a cependant uo invariant d'ordre 2, son hessien; nous poserons, en Le divisant

par 2,

D =: a^a, — af = — 7 (a^^^a^^))^.

Si D = o, y est carré parfait et peut se réduire à a', ^ x'^ . Si D ^ o, les racines de /sont distinctes; on peut réduire /à l'une des formes simples

2 a 1 x'^ x\ ou a\ x'f + a'.^ x^ ,

en prenant pour 0', et O!, les racines de/*, ou bien deux éléments conjugués harmoniques par rapport à ces racines : cette dernière réduction peut, par suite, se faire d'une infinité de façons, indépendamment de la valeur des coefficients.

Si ['on considère le système formé par / et des variables (^), (j/), (^), (^), ... un système complet d'invariants est constitué par les quantités D, a^2, af^ . . . axy-^ a^zi • • • (^JK)? {^^)', • • ^ ? liées entre elles par de nouvelles relations telles que

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