II. — La forme cubique

87. Etudions le système formé par les (x) et une forme cubique

Le premier invariant après f est le hessien J^(/, /) de/; en le divisant par 2, nous l'écrirons

H = (aQa2 — a\)x\ -^{a^a^ — «^1^2)^1 ^2 + {(^ï<^f--à — ct\)xl ;

H = o définit les éléments doubles de l'involution déterminée par la première polaire de /", a^'-y] chacun de ces éléments admet l'autre compté deux fois ou une fois, comme premier ou second système polaire par rapport à f.

On a aussi

à cause de l'identité S(^a^^^)(<2^2^ a^^^) = o, la condition H =: o peut s'écrire encore

(^a(2))2(a(i)a(3))2__(^a(2))(^a(3))(a(i^a(2))(a(i^a(3))-f-(;ra^3])2(^{i)a(2))2^o,

d'où (^a^^V^^2;^^(3))- — .^^^ ^ désignant une racine cubicjue imaginaire de l'unité; H = o définit donc les deux éléments qui forment avec (<2^'^), (<^'^^^^), (a^^^) une proportion équianharmoniquè.

Un autre invariant est le hessien de H; nous poserons

D = 2 J2(H, H) = 4(<^o<^2 — ci\ ){a^a^ — a\ ) — (ao<^3 — ciia^Y

" — ai ai

■ 6 aç) ai «2 a-i — 4 aoal— ^la-^a'f-h ^af a\

c'est le seul invariant proprement dit àe f] il ne diffère donc du discriminant de/ qui est du même degré par rapport aux (a), que

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par un facteur numérique; en fait, on trouve

Enfin le système complet des invariants de /et des [x) comprend encore la forme cubique

J = 2 J ( /, H ) = ( a^ «3 — 3 «0 «I <^^2 -H ^ «^^î ) ^'i -f- 3 ( ao ai «3 M- a\ ao — 'i ccq a| )^f ^^2 -}- 3( — aocc^a^ — ai al -}- la^ a^)xiCûl H- (— ao^^l -+- 3aia2a3 — ial)x\.

Les invariants H. D, J sont respectivement des ordres 2, 6 et 3; ils sont liés à / par une relation qui résulte du n° 48, si l'oa remarque que l'on a J-(/, H)==: o, de sorte que

OU bien

telle est la relation fondamentale qui lie entre eux les invariants de la forme cubique.

Signalons encore les relations