CHAPITRE Vir. — FORMES CANONIQUES, FORME CUBIQUE, ETC. 8g

Connaissant Jes (c/S^^\x) à des facteurs près, le problème s'achève sans difficulté, et Ton voit c[ue si K n'a pas de racines multiples, la réduction à la forme canonique est possible^, et d'une seule façon ^ dans le cas contraire, cette réduction n'est pas possible.

Rappelons que, à un facteur près, l'équation canonisante K = o peut s'écrire sous la forme

ap—i p+i

^p-lA

(^p-hi p- 1 2 ' 2

CIq^P

— ;ri^r' •

86. Supposons maintenant que p soit pair, égal à 2/?. Avant d'indiquer la forme canonique à laquelle on peut réduire/, nous allons démontrer une proposition auxiliaire.

Soit g^=:bx'i une forme quelconque de degré /2, supérieur à l'unité; g admet un invariant A = Cx^i de même degré et tel que

l'on ait l'identité

^'^{g, gli) = g.

En efï'et, pour déterminer une forme h vérifiant cette relation, on a précisément autant d'équations linéaires que d'inconnues; la fonction h est donc unique et, d'après sa propriété, est évidemment un invariant. Si, par exemple, /z = 2, on trouvera

où D est l'invariant de g.

Ceci posé, on peut en général écrire /sous la forme

le nombre des formes linéaires (a^'^|^) étant égal à — ou n,

g désignant le produit n(af^'^|^), h étant l'invariant de g que nous venons de définir, et \ une quantité à déterminer.

Le nombre des inconnues est en effet /? + i , comme celui des équations de condition, et en général il n'y a pas incompatibilité.

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Considérons l'invariant ^'^[g-)/)] nn calcul direct donne, en faisant g == ba:".

H ~ 6/i 2,2(«/74-2,/z-2^lM- /la/^+i ,,i^'/ 1^2-i-- • •)

d'autre part

J«(,^-,/) = SJ«[^-, (a(^-)|.r)/^]-f-XJ-(^, ^-A);

or, J'^[<^', (yJ^^I^)/^] = o, d'après la définition de^', et J"(^', gh)^=^ g\ donc ^'^ {g-) f) = '^^g) d'où les équations de condition

b/i 0 aii—i ri-^i — J^ b,i-i \ a,iji-^ . . . = A h,i—\,i

3t par élimination des (6)

(^^tL—\,n^\

Cta^n-^ir-^y

Clnii — i—^)"^^^ ^f/i-1,,

Connaissant une racine X de cette équation de degré /2 + i, les équations de condition déterminent les (Z?), et par suite g^ à un facteur près. On connaît donc, à des facteurs près, les formes linéaires (a^^^ | ^), et le problème s'achève sans difficulté.

La réduction de / à la forme canonique est donc possible en général de n -\- i façons différentes.

Remarquons que les coefficients de l'équation en \ que nous venons d'obtenir sont évidemment, comme les racines de cette équation, des invariants de f. Le coefficient de )/^ est d'ailleurs nul. Le terme constant, égalé à zéro, exprime la condition pour que f puisse se mettre sous la forme d'une somme de n puis-

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