Décomposons maintenant /"en facteurs linéaires; on a

!Hi>

iV=D

n V^i V Jj^-^ <^y^ / — -f^ — zx'..y\/ iyz — aj3 y/ — D j.

les deux radicaux cubiques ajant des déterminations arbitrairement choisies, et s désignant successivement chacune des trois racines cul)iques de F uni té.

Remplaçant les [x') par leurs valeurs, il vient

lit

■{xy)

D \/jy3 -f- ay, y/— D -h £ v/j^.3 — ^y3 /— D

y Jy3 4- aj3 /— D — £\/j^.3— «y3 /— D

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ridentité

p -}- qz p^ -h q^-^ 'ipq ( c/j» -h £- ^ ) p — qz- jj^—q^

permet crécrire le coefficient cle {xy) sous la forme

7-^'- + ;-^ \/}y^ H- ayz \/~Y) \/] yz — aj3 s/—D (s V^J y3 -{- aj.3 /—D -f- £2 \/j j3 — a j3 y/— d) ;

à cause de la formule

on peut prendre les deux radicaux cubiques liés par la relation

\/}yz -f- ayz \/ — D \/j j3 — aj3 /— D = — v^4 Hy2 ; on trouve aussi sans peine l'identité

et, par suite, on peut écrire finalement

£ ayant été changé en s^, et les deux radicaux cubiques étant liés j)ar la relation

• CCy^ V/— D ^ / Jy3 CtyZ \J D

Celte décomposition, où ne figurent que des invariants, est évidemment applicable à tous les cas possibles.

En faisant j)/i = i, j/2=:o, on retrouve les formules bien connues de la résolution de l'équation du troisième degré.

91 . Envisageons les formes g = )m \]\^f-\- X2 J q^ii forment un faisceau du troisième degré; les invariants H, D, J calculés pour^^ se trouvent sans peine sur la forme canonique; on a

H^.= DH(X|-i-X2), D^r= D-3(Xf 4-X|)S J^ = D /D(Xi J - X2 v/d/)(X| H- ).|).

g est un cube parfait pour X"^ -f- X-; := o, ainsi cjue cela résulte d'ailleurs de la relation entre/, H, D, J; à part ce cas, D^ n'est jamais nul, si D n'est pas nul.

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