III. — La forme biquadratique

92. Considérons le système formé par les variables (^) et une forme biquadratique

= (xa^^^) (xa^'-^)(xa^^^)(xa^^^)

Les invariants suivants constituent avec y un système complet : 1° Le hessien de/d'ordre 2; nous écrirons

H =: - J^C/j /) = {ciqCI^ — al)xl -1- 2(aoa;5 — aia^)xlx2

2° L'invariant proprement dit d'ordre 4?

i = - J^' (y, f) = ao ct^^ — 4 <^i <^3 + 3 a\ ;

3° Le jacobien de/ et de H, d'ordre 3 ; nous ferons

J = '2J(/ H) = {a\ as — Sao^iao-I- laX^xX

M- (a§ ^4 H- 2ao«i «3 — ^a^a\-\- 6a| a^^xix^ H-(5aoaia4 — i5ao<22a3 4- loaf a{)x\x'\ -i-( — 10^0^1 + loaf ^4)^^^! H-. .. ,

où l'on achève par symétrie, en reaiarquant C|ue J est un invariant gauche ;

4^ L'invariant proprement dit d'ordre 6,

y = ^ J^(/j H) = a^Œr^cti^. — a\-h la^aia-^ — a^al — a!,a\

ao ai a^ Cil a^ «3 a=i «3 «4

Ces cinq invariants sont liés par une relation que nous indiquerons plus bas.

An. — I. "

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93. Avant d'aller plus loin, indiquons la forme canonique de/"; ce sera, d'après le n^ 86,

). étant déterminé par l'équation

«0 ai «2 — X

ai a^-\

ou bien

«3 X^ — i\ — 'ij = o,

de sorte que l'on retrouve ainsi les invariants i ety.

Les racines )/, )/, V^ de cette équation sont des invariants d'ordre 2,

Nous pourrons prendre par suite, pour forme canonique générale de /j

f =1 a'^ j^^'i*- -f- 6 a2 ^'/^ cc'^ -H <^4 ^'2 ?

et l'on aura alors

i' ■= a'^ al -f- 3 a 2^ , y' = «0 a^ a', — a^^ , H' = a() (^2 ^'/ -f- ( aj) a^ — 3 a'^^ ) j^'i^ x'^ -\- a^^a^ x^- , J ' = ( aj) a4 — 9 <^ 2^ ) ( <^o ^ i^ — <^<4 ^2'* ) ^1 ^2 5

de plus, pour cette forme, les racines de l'équation canonisante sont

94. En faisant usage des formules canoniques qui précèdent, on vérifie facilement les identités

}Hj,^)=\if, J3(/, H) = o, J.(H, H)=iy7-I.-H,

J*(ri, 11)=^, J2(j, j) = 1^112+ 2^yH-LjY-^ JHJ--i)=o,

JHJ, J)=-y + 9/^ J(/, J)=^/^-2H2, J^(/, J) = o,

JH/ J)= Jy7-ni, j*(/, j) = o, j(H, j)=^/^-i;/n, JHH,J) = o, J3(H, j)=-^fV-^yii- J'(n, J) = o.

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