cos[(aH- i)(;„4-6— cjJ + cos[(a— i)(^;j-h6 4- cj

. |c0S[(a-h 2)f';jH-6-h2CJ„]-f-C0S[(a — 2)t'„-+- 6 4-2GJ„]t ^SiCOS{aÇn'^ ^)-

Il s'agit de remplacer cette expression par un développement harmonique^ c'est-à-dire dont les arguments soient linéaires par rapport au temps, ou, si l'on veut, par rapport à la longitude moyenne de l'astre et par rapport à l'heure sidérale. Or, dans le mouvement elliptique, la longitude, en négligeant le cube de l'excentricité, est donnée par la formule

où la est la longitude moyenne comptée depuis le nœud N et où nous pouvons regarder la longitude gT;} du périgée comme constante ou tout au moins linéaire par rapport au temps.

Soit W ce qui s'ajoute si l'on tient compte de certaines inégalités de la Lune, de sorte que

(ïo) Vn=L-^^esin(la—Wn)-\--lesïn2(ln — Tnn) -h W,

[29] CHAPITRE m. — DÉVELOPPEMENT HARMONIQUE, ETC. 5l

ava-h b — aln-\- b -\- 2aesin(/„— TîJ„) -H|ae'sin2(/„— tîj„) -h aW,

et, au degré d ^approximation que nous admettons,

( acos[(a 4-i)/«4- 6 — cy„] cos^at'^H- ^) — (i — a*e*)cos(a/„4- 6^)-i-^ { ^^ ., ,

f ■— acos[(a — i)/;»4- 64-GJ,,]

l i -^4- ~jcos[(a-i-a)/„4-6 — 2ig«]l

f — -^ -H y) <^^s[(a — 2)/«4- ^ H- 2TijJ j

qui donne cos(a('^4- é) sous forme harmonique. Si, dans cette formule, on remplace respectivement a et 6 par

a -h I et h-— vun,

puis successivement par

a — I et 6 -h TîJn> a -f 2 et 6 -— 25^;,, a — 2 et 64-2CJ;,,

et qu'on porte les résultats dans l'expression (9) de S cos(af';,4- é), on aura

[i —(l 4- a')] c*-h 3^] cos(a/„ h- b)

4-e[ (|-i-a)cos[(a-M)/rt4-(6 — ©„)] c , . AN / +(|-«)cos[(a-i)/„+(6-hcy„)]

«*| i(«H-3)(a-hf)C0S[(a-i-2)/„4-6--2TîJn]

-h ^(a — 2) (a — f ) cos[(a — 2) /„ 4- 6 4- 2cy«] | — aWsin(a/„-4- 6),

en particulier, pour a == 2 et a = o,

Scos(2ç>„4- b) = {1 — ^ e* -h SSi) cos{2 In-^ b)

H- e[| cos(3/„-h 6 — By„) — } [cos(/;»-i- 6 4- GJrt)]

et

Scos6=:(i — f e*-4-3^)cos^-4-e[|cos(/„4- 6 4-gj„) 4-|cos(/,»— ^ — gj^)]