DANS UN PORT
27. Objet de ce Chapitre. — 28. Expression du potentiel de la Lune en fonction de sa longitude dans Torbito. — 29. Développement harmonique du potentiel. — 30. Formules simplifiées. — 31. Ondes elliptiques. — 32. Composition des ondes elliptiques mineures. — 33. Ondes évectionnelles et variationnelles. — 34. Expression définitive du potentiel de la Lune. — 35. Potentiel du Soleil. — 36. Tableaux dos ondes lunaires et solaires diaprés la théorie statique des marées. — 37. Ondes dépendant de la quatrième puissance de la parallaxe de la Lune. — 38. Ondes d'ordre supérieur et ondes composées.
27. Objet de ce Chapitre. — Nous avons vu au Chapitre précédent que Laplace a eu ridée capitale de considérer le développement des potentiels des astres en série trigonométrique dont les arguments sont des fonctions linéaires du temps, de regarder chaque terme du développement comme le potentiel d'un astre fictif animé d'un mouvement circulaire uniforme dans le plan de Téquateur et donnant lieu à une onde de même période que son mouvement, mais avec une hauteur et une phase dépendant à la fois du port considéré et de la vitesse de l'astre. En admettant que ces deux grandeurs soient linéaires par rapport à cette vitesse, Laplace a pu se dispenser d'effectuer le développement en série et a trouvé la somme des ondes ou hauteur de la mer dans un port sous forme finie, et nous avons vu que, même en supposant les deux coefficients développés suivant les puissances de la vitesse de l'astre, on peut encore atteindre le même but.
Plus tard dans le Livre XHI, Chapitre II, de la Mécanique céleste, Laplace a montré comment on pouvait effectuer le développement des potentiels même en ayant égard aux principales inégalités de la Lune et en déduire les expressions correspondantes des ondes, indépendamment de toute hypothèse sur les con-
(*) Laplace, Mécanique céleste. Livre IV et Livre XIII. — Britlsh Association^ i883; Report of a commit tee for the harmonie Anafysis of observations . — Hatt, De l'analyse harmonique des observations des marées diaprés les travaux anglais {Annales hydrographiques).
stantes caractérisant chaque onde. C'est ce travail de Laplace que des auteurs anglais, et notamment Darwin, ont repris et développé avec le plus grand soin sous le nom dH Analyse harmonique des ondes.
Le remarquable rapport de MM. Darwin et Adams sur ce sujet, présenté à TAssociation britannique de i883, est un beau commentaire du Livre XIII de la Mécanique céleste. Nous allons essayer de le faire connaître, en reprenant toutefois la méthode de Laplace pour établir l'expression du potentiel de la Lune sous forme harmonique ou trigonométrique.
Nous exprimerons d'abord ce potentiel en fonction de la longitude de Tastre dans son orbite.
28. Expression du potentiel de la Lune en fonction de sa longitude dans Torbite. — Nous avons trouvé (n** 5) Texpression du potentiel d'un astre en fonction, soit de son angle horaire A>^, soit de ses coordonnées équatoriales S, a et de sa distance p au centre de la Terre. Supposons qu'il s'agisse spécialement de la Lune et désignons par V/ son potentiel, par N le nœud de son orbite sur l'équateur, par la même lettre N l'ascension droite de ce nœud, de sorte que, si a„ représente l'ascension droite de l'astre comptée depuis le point N, on a
Soit
l'angle horaire du point vernal relativement au point considéré de l'Océan. Soit r„ celui du nœud N, en sorte que
d'où
L'expression du potentiel devient ainsi
Icos'0(cos'5cos2a„cos2r„-hcos*dsin2a„ sinaf,,) 4- sin2 0(sin2dcosa„cosr,» -h sin2 5sina;iSinr„) (i — 3sin*d)(i — 3sin»0)
oii la première ligne se rapporte aux termes semi-diurnes, la seconde aux termes diurnes, la troisième aux termes semi-mensuels (et une partie constante n'influant que sur le niveau moyen de la mer dans le port considéré).
Au lieu de définir la position de l'astre par ses coordonnées équatoriales a ou a^i et S qui varient toutes deux assez rapidement, définissons-la à l'aide de sa Ion-
[28] CHAPITRE m. — DÉVELOPPEMENT HARMONIQUE, ETC. 49
gitude dans le plan de son orbite, comptée depuis le point d'intersection N avec l'équateur et l'inclinaison I de cette orbite, laquelle varie beaucoup plus lentement. Le triangle rectangle NLD' {^fig. 2, p. 36) donne les relations
Posons pour abréger
d'où
COS 5 COS OLn ■=^ COS Vny
cos d sin a„ = sin v^ ces I, sinô= sinPy^sinl.
Sin - = ^, 2 ^
/?'-{- q^zzzi.
On tire des équations (2), (3), (3')
C0S-dC0S2a„rzrC0S*(';, — Sin*i',jC0S*I=:C0S*r„(/?*+ ^')*— sin'f'rtC/?*— ^')*,
soit
COS* d sin 2 a;t :==(/>*— ^* ) sin 2 t'rt, sinôcosdcosart =^pq{p^-^ q^) sin2t'rt, sindcosâ sina„— /?^(/?'— q^){i — cos2^fn)f sin*3=i 2/?'^'(i — cos2('„).
Par suite, en appelant c la moyenne distance de Tastre, posant
3La*
et profitant de l'identité p^-{- q^=i et ^, on aura
pour rendre les formules homogènes en p
cos*0
[/?*C0S2(r„— l'„)4-2/?«^*C0S2r,jH-^*C0S2(r;,-f-(;„)]
■}- sin20[— /?'^ sin(r„— 2i^„) -+-/?^(p'— ^*) sinr„-f-^^»sin(r„H-2('„)]
I — 3sin*0
p^-hq^— ip^q^
Si le mouvement était elliptique, on aurait
— I + e cos (i^n—^n).
GT^ étant la longitude du périgée comptée depuis le nœud N et e l'excentricité de l'orbite.
5o PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [29]
Désignons par a le terme à ajouter en vertu des inégalités lunaires que l'on veut considérer, en sorte que
(7) -^ -' =l-heCOS(Çn—^n)-^^'
Nous négligerons le cube de l'excentricité, le carré des inégalités Si ainsi que leur produit a^ par l'excentricité; il en résulte
(8) — ^^ — - — ~ — h3ecos(t'«— Gy„) h cosaCt^^— By„) -1- 3^=: S,
en appelant S le premier membre de cette égalité.
29. Développement harmonique du potentiel. — L'expression (6) du potentiel, si l'on y remplace -3 par son expression (8). contient, au facteur . 2 t\3 près, des termes de la forme S(cosaf'^H- 6). Or,
(3e'\ iH j cos(a('„-h6)
