TZkqT I SinTTÊ

- sin — r- = '

quantité aussi petite qu'on le désire, et, comme la parenthèse de (af) est moindre

que v^À'^* 4- B]t% l'expression {a') peut elle-même être rendue aussi petite qu'on le désire. Darwin a été ainsi amené à reconnaître que, pour toutes les ondes, 36o à 370 jours moyens d'observations suffisent.

46. Détermination des coefficients caractérisant chaque onde. — L'équation

Yi=/i; ou

V' /â 27:fit „ . 2T:kt\ y-, > ( Ait cos -\- Bk sin j = /if

permet de déterminer les coefficients Ay^ et By^.

Pour montrer comment on procède pour cela, je suppose, toujours pour fixer les idées, que les ondes à déterminer soient celles dont la période t est le jour lunaire ou un sous-multiple de ce jour.

Admettons qu'on ait les courbes du marégraphe pour 365 jours lunaires. On divisera la ligne des abscisses en 365 parties égales ou en 365 jours lunaires, et chaque jour en 24 parties égales ou en heures lunaires. On mesurera les 24 ordonnées de la courbe pour chaque jour; soient

"0' '^|> ''ï> •••» '*ÏS

ces ordonnées pour un jour.

On fera la moyenne des 365 ordonnées h'^; celle des 365 ordonnées h\ ; celle des 365 ordonnées h'^ et ainsi de suite.

On obtient ainsi 24 moyennes

qui sont les valeurs de h'^ pour les 24 heures lunaires formant un jour lunaire, c'est-à-dire pour les instants

^t Î4> ÎV» • • • • 14*

Si l'on porte ces valeurs dans la dernière équation, on aura 24 relations entre les coefficients A^ et B;^, qui sont généralement en nombre très restreint.

Supposons généralement qu'on ait observé les valeurs de A^ pour r instants équidistants

et appelons leurs moyennes annuelles

T7" "7T TT ^7" Il

on aura, pour déterminer les coefficients A^t et B^, les r équations de condition

(5) J^fA^cos—^-hEASin—— )=:/!,,

OÙ Ton fera (: = o, i, 2, 3, . . ., r — i.

Il va de soi que le nombre r des équations ou des valeurs mesurées h', doit être au moins égal à celui 2/1 des constantes à déterminer A^, Ba. Mais il sera en général très supérieur, et alors, ne pouvant pas satisfaire rigoureusement à toutes les équations (5), on déterminera les constantes par la méthode des moindres carrés.

Elle donne ici, pour les inconnues, des expressions analogues à celles que donnerait la formule de Fourier, à savoir

Observons que A^ = A, — a et que r> A. Donc, en vertu des formules (A) du n® 45, on a

d'où

V^ 2T:ki v^ . 'iT:kc

2^ cos-^=o, 2^ sin-^z=o^

{5 ter)

iz=r — l

. 2 xri 7- 2T:ki

Ak= - 2^ /J/COS- ^;-, «=p

2 ^ri T- . 2T:ki

OÙ d'ordinaire on aura r= 24.

Ces dernières formules montrent que le niveau moyen a n'entre pas dans les expressions de A^t et B^, ou, ce qui revient au même, que l'altitude du zéro de l'échelle du port n'y entre pas, en sorte que ces coefficients sont déterminés en fonction des hauteurs A, directement enregistrées à partir de ce zéro quel qu'il soit.

47. Résumé de la marche à suivre. — En résumé, si l'on veut représenter la hauteur des marées observées par une expression de la forme

A = a -h > ( A* cos h Bjfc sin j -h . . . ,

les termes non écrits ayant des périodes t', t", ... incommensurables avec celle T dont on veut déterminer l'expression, prenez la courbe du marégraphe pour environ 365 périodes, divisez chaque période t en 24 parties égales, mesurez les ordonnées

de chaque division; faites la moyenne des 365 valeurs h^; celle des 365 valeurs A^, etc.; soient

"OJ "1> "I» • • • > ''l3>

les 24 moyennes ainsi obtenues.

La constante a est égale à la moyenne de ces 24 valeurs.

Les coefficients Aa et B^ sont donnés par les formules (5 ter) où r = 24.

48. Observation théorique. — Cela suppose que le nombre total de ces coefficients est au plus égal à 24; ce cas se présente toujours dans la pratique où le nombre des coefficients est d'ordinaire 2 ou 4- S'il était juste égal à 24 ou, en général, à r, les valeurs obtenues pour A^, Baseraient rigoureuses. En effet, elles sont, en tous les cas, telles que la somme des carrés des écarts entre les deux membres de chacune des équations (5) soit la plus faible possible. Or, si ces équations sont en nombre égal à celui des coefficients A^, Ba, comme elles peuvent être satisfaites exactement, le minimum de la somme des carrés des écarts est nul, ce qui exige que chaque écart soit séparément nul. Les valeurs obtenues par la méthode des moindres carrés sont donc en ce cas les valeurs exactes.

49. Observation d'ordre pratique. — Si, après avoir trouvé les coefficients relatifs à la période t, on veut trouver ceux relatifs à la période t', on appliquera la même règle, ce qui exige qu'on prenne sur la ligne des abscisses de la courbe du marégraphe 365 périodes t' et qu'on divise chacune en 24 parties égales. On aurait donc à faire de nouvelles divisions et à mesurer de nouvelles ordonnées pour chaque groupe de termes à calculer.

Dans la pratique, on peut éviter cette complication par la raison que toutes les périodes t, t', ... dont nous nous occupons ici (courtes périodes) sont très voisines du jour, temps moyen. On se contentera donc de prendre à partir de l'origine du temps (midi moyen du premier jour du fonctionnement du marégraphe) de 'i^65 à 370 jours moyens qu'on divisera chacun en 24 parties égales ou heures temps moyen. Cette division ne convient exactement qu'à la détermination des termes concernant des ondes d'un jour solaire ou d'un de ses sousmultiples. Nous les appellerons les ordonnées solaires.

S'il s'agit d'un autre groupe de termes, par exemple de ceux concernant des ondes d'une durée d'un jour lunaire ou de ses sous-multiples, il faudrait mener

de nouvelles ordonnées basées sur la division en jours et heures lunaires que nous appellerons les ordonnées lunaires.

Mais on remplace chaque ordonnée lunaire par celle des ordonnées solaires qui en diffère de moins d'une demi-heure, de sorte que les ordonnées solaires servent pour toutes les ondes.

50. Forme usuelle des équations. — Les Tableaux des ondes théoriques du Chapitre précédent donnent, non les périodes, mais les vitesses des arguments des diverses ondes, vitesses exprimées en degrés par heure. Si a est cette vitesse pour une onde, sa hauteur a une expression de la forme

Acosa/-!- B sina^

La période correspondante t, exprimée en heures moyennes, est

T = — heures moyennes,

ou

T = —T— = — jours moyens.

Posons donc dans les équations précédentes

a cl'

on aura

(6) Y= 'V(A;fcCOSÂ:ar + BASinÂ:aO>

et les équations (5 1er) qui donnent k^ et B^ deviennent, puisqu'on mesure les arcs en degrés,

2 v^ 7- 36oA:/ (7)

/=/ — 1 2 V^ -;- . 36oA'/'

et, si Ton mesure r= 24 hauteurs équidistantes par période t.