ty-\- E
E étant l'équation du temps ou l'heure moyenne à midi vrai; on la trouve, pour chaque jour de l'année, dans V Annuaire du Bureau des Longitudes ou la Connaissance des Temps.
Par définition, le jour moyen est aussi le temps que met la Terre à faire une révolution ou à décrire 36o° dans sa rotation relative au Soleil moyen. Sa vitesse relative en degrés par heure est donc i5**, et l'on a
La division adoptée sur les feuilles se prête donc exactement aux ondes dont
la vitesse est de i5" à l'heure ou d'un multiple de ce nombre.
Les Tableaux du Chapitre précédent montrent que l'onde solaire semi-diurne
de vitesse
est la seule dans ce cas. En l'appelant Y*^^ son expression est de la forme
Y^'J=: Acosi5 X2i4-Bsini5x2^; c'est la formule générale (6) réduite au seul terme relatif à ^ = 2. La formule ( 7 bis) donne donc
A=:-ï^ ^ hiCOsSoi,
B = ,*î \^ hi sinSof,
qui, à cause de
cos3o(i 4-12) =— cos3o(£ -H 6) ~- sin3o(t -h 3) :^cos3o«, sin3o(/-+-i2) = — sin3o(£ -+- 6) ^= — cos3o(t -h 3) = sin3o{,
et en posant
I51J CHAPITRE IV. — RÉDUCTION DES OBSERVATIONS. 8l
devient simplement
A =iV (H/COs3oi -4-K/sin3oOj
B=V(H/sin3o« — K/Cos3o0>
soit
A = Ho + (H, 4- K,) cos3o«4- (H,-+- Kl) sin3oo, B ziz Ko -H (Hi - K,) sin3o« -h (H,- K,) cos3o\
Supposons en second lieu qu'on veuille représenter les trois ondes lunaires M,, Ma, Ms de vitesses respectives
La période t' correspondante à la vitesse co — n, c'est-à-dire le jour lunaire, serait
36o Câ) — n
(9) ( OU, par le Tableau 1, page 6i,
d'où, pour l'heure lunaire,
24 l4,49'^OJ2I
= i*»,o3o5, temps moyen,
Pour être exact il faudrait diviser la ligne des abscisses de la courbe du marégraphe en heures lunaires dont la grandeur dépasse de o,o35o5 les divisions solaires, mesurer les ordonnées relatives à ces nouvelles divisions, ordonnées
que nous appellerons h'^ et remplacer, dans les formules, les moyennes h^ par
celles Ai^. Mais, comme il a été dit plus haut, on remplace les divisions exactes par les divisions solaires tant que leur écart est de moins d'une demi-heure. Or, la y'*™* division exacte est en avance sur la/*^™® division solaire de
On conserve les divisions solaires tant que
/xo^o35o5<|^ L. — l. II
82 PREMIÈRE SECTtON. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [51]
d'où
Le second membre est compris entre i4 et i5; donc les i4 premières divisions solaires peuvent remplacer les divisions lunaires; mais la iS^'^^de celles-là diffère de plus d'une demi-heure (et de moins d'une heure) de la i4^™* de celles-ci ; donc c'est la lô''"* division solaire qui diffère de moins d'une demi-heure de la i5^™® division lunaire; en conséquence, on sautera la i5^"* division solaire et l'on donnera à la 16*°'* le n** i5 pour qu'elle remplace la iS^"'' division lunaire. Puis les divisions solaires n*** 17, 18, ... seront prises respectivement pour les n**' 16, 17, . . . des divisions lunaires jusqu'à ce qu'on arrive à un nouvel écart d'une demi-heure. Cela aura lieu manifestement lorsque l'écart y" x o,o35o5 entre les deux divisions de même numéro dépassera i*^3o™, soit pour
Le second membre est compris entre 4^ (ou 3 x i4) et 43.
Pour la 42^"% l'écart est I** 47" < i^^So"; pour ^43^*"*, il est i*'5i"'> i^'So™. Donc la 42^™* ordonnée solaire sera encore conservée, remplaçant la 4i^"* division lunaire; on sautera la 43^°"* division et c'est la 44^"* qui remplacera la ^^èmc lunaire. On conservera cette avance de deux numéros jusqu'à ce qu'on arrive à un numéro pour lequel l'écart dépasse s'^So"* ou tant que
Il est donc facile, sur un papier quadrillé une fois pour toutes en heures solaires, de marquer d'avance les divisions qu'il faut sauter.
Les ordonnées hi des divisions conservées étant une fois mesurées, on les tient pour les hauteurs exactes et l'on calcule les coefficients de chacune des ondes de vitesse co — w, 2(0) — n), 3(a) — /i), respectivement par la formule (7) en y faisant successivement ^=1, ce qui donne les formules (8), puis ^ = 2, 3, qui donnent lieu à des simplifications analogues.
Si l'on voulait chercher les ondes sidérales dont la vitesse fondamentale co est supérieure à celle correspondante co — /i des ondes solaires, au lieu d'avoir à sauter des divisions, on en aurait à compter deux fois, et l'on déterminerait celles à compter deux fois comme nous l'avons fait pour celles à sauter dans l'exemple précédent.
Observons encore que comme, pour les ondes qui ne répondent pas exactement à la division en temps moyen, on ne prend que les ordonnées répondant à une époque rapprochée à une demi-heure près de l'époque vraie ; on considère chaque ordonnée comme la moyenne de celles qui la précèdent ou la
suivent d'une demi-heure. Or une ordonnée quelconque ayant une expression de la forme
AfcCOska: -h BkSÏn ko:,
six = a représente une certaine heure, on regarde une ordonnée comme représentant la moyenne
{Akcoskx '{-Bj^smka:)dx =:
—^ — (Akcoska: -h BjiçSinkx),
La correction à faire subir de ce chef est donc
\ka sinJ-Ara
Comme a= i5®, cela fait
arcA: x 7%5
sink X 7%5 ~ sin(/: X 7^,5)'
on a ainsi les facteurs d'augmentation suivants :
Facteurs.
I,OIl52
Ce sont les valeurs k multipliées par ces facteurs de correction que l'on emploie.
52. Héthode générale pour la détermination des ondes à longues périodes. — Reprenons l'expression générale (i) de la hauteur A de la mer fournie par le marégraphe, mais en modifiant légèrement les notations de manière à distinguer les ondes de courtes et de longues périodes.
Nous désignerons par a^t la vitesse de l'argument d'une onde quelconque de courte période, par A;^, B^t les coefficients correspondants, de sorte que toutes les ondes de courtes périodes sont représentées par une somme unique de termes
V {AkCOS(Xkl -+- B*sinaA-0»
k prenant les valeurs i, 2, 3, . . ., w s'il y a en tout m ondes. Nous n'avons plus
ici à distinguer celles dont les vitesses sont incommensurables entre elles de celles dont les vitesses ont des rapports commensurables. C'est pourquoi nous pouvons adopter cette notation qui simplifie les écritures en remplaçant les diverses sommes qui entrent dans (i) et (2) par une somme unique.
Nous désignerons par py la vitesse d'une onde à longue période, et par Cj et Dy les coeiTicients correspondants. De sorte que les ondes à longues périodes sont représentées par une autre somme
2(CyCosPy/ + Dysin(3yO,
où j prend les valeurs i, 2, 3, . . ., /i s'il y a en tout n ondes de cette nature (Dans la réalité, on en considérera 5.) Nous aurons ainsi
h = a + y^ (A;tcos«^^ -i- Bjtsina^^
-^2 ^^^' ^'^S(3yi 4- Dy Shl(3y 0-
Les vitesses a^^ et py sont données par les Tableaux du Chapitre précédent. Les coefficients A^, B^ et la constante a sont connus par ce qui précède ; la hau teur totale h est donnée par le marégraphe, de sorte que, si l'on pose
(n) Z = /i — a — "V (A^cosa^t^ -H B^sinaA:^),
Z est une fonction connue de t et l'on a pour déterminer les coefficients Cy et Dy l'équation
(12) 2(^y^^s(3y^-+-Dysin(3yO = Z.
Dans le premier membre on connaît les vitesses Py et il s'agit de déterminer les constantes Cy, D^ (en nombre double du nombre des ondes à longues périodes), de façon à satisfaire le mieux possible à cette équation (12) pendant la durée des observations que nous supposons être de 365 jours moyens.
Z représente les variations du niveau de la mer dues uniquement aux ondes à longues périodes, c'est-à-dire aux ondes semi-mensuelles, mensuelles, semiannuelles et annuelles. Cette variation pendant la durée d'un jour moyen est extrêmement petite.
Prenons-en la valeur moyenne pendant un jour quelconque de Tannée d'observation. Soit Z, cette valeur moyenne pour le i*^*"' jour des observations; on aura, par l'équation (12),
I w ^ •» « — Vf T-IJZ*
OU, en posant
{l3) 24x(3y=ifXy,
[Lj étant ainsi la vitesse journalière de l'argument Py/,
IVJ Cy|
fX^|+Dy|
Cy [Sin(«-f- l)|Jly — Sin«/JLy]
[C0S(t4-l)fXy — COSIfXy] = Z/ ; = i
ou
; = n 04) 2-^^^[CyC0S{£ + i)fXy-+-DySin(*-+-i)fXy]=Z,,
la somme ^ s'étendant à toutes les ondes à longues périodes.
La valeur Z/ peut, d'ailleurs, être obtenue ainsi qu'il suit, à l'aide de l'équation (11) : en appelant h^ la valeur moyenne de h pendant le e*^™' jour des observations, et en appelant
(l5) 2icCjk=zlj^
la vitesse journalière de l'argument a^, on a
/.A\ 1 h ^ V?l!ii^) AifcCos(t-+- J)Xa
^ ^ ï^k / -i-BAsm(t-+- J)Xa,
la somme ^ s'étendant à toutes les ondes de courtes périodes. Quant à la hauteur moyenne A,, si l'on appelle
ti
les 24 hauteurs précédemment relevées sur la feuille du marégraphe pour le «*™* jour des observations, et encore A^' celle relevée à midi du {i -h i)*™*jour, on aura, approximativement,
(17) ^'-^^ à (^^^^^ -*-'** -i- yi.-^-. . . 4- A„).
D'ailleurs la cote a du niveau moyen est connue (n** 43).
Tout le second membre de (i6) est ainsi connu et l'on a les Z/.
Revenant à présent à l'équation (i4)> et y faisant i = i, :i, 3, . . ., 365, on obtient 365 équations entre les coefficients inconnus Cj et D^ qui, dans la pratique, seront au nombre de lo (le nombre des ondes à longues périodes que nous considérerons, étant de 5), et qui, dans cette exposition générale de la méthode sont supposés au nombre de 2n.
On résoudra ces équations par la méthode des moindres carrés.
Posons, pour simplifier les écritures,
en sorte que, si l'on connaît les C^ et Dy, les Cy et Dy s'ensuivent.
Il est, d'ailleurs, à remarquer que, les vitesses des arguments des ondes à longues périodes étant très faibles,
sîn ifXy
est très voisin de l'unité, de sorte que les Cj et Dy sont très sensiblement égaux aux Cy et Dy.
L'équation (i4) devient ainsi
La méthode des moindres carrés se réduit à ceci :
Soit 5 l'une quelconque des valeurs dey. Ajoutons les 365 équations (19) obtenues en faisant i = i, 2, 3, ..., 365, multipliées successivement par cos(i-h^)(jL, et sin(/-i-^)p.,; nous aurons, en intervertissant l'ordre des sommations.
l 2 C}2cos(f+})|:Aycos(t4-J)fA,-+-D}2sin(t-+-{)fXyCOs(t+ i)fx, 1=2^
= y z,cos(* + i)/x„
I 2 C;2cos(«4-î)fAysin(i-4--î)fA,-hD;2sin(t + {)fXysin(t-hi)/x, =z^ Z/ sin(i -hi)fx„ OÙ les sommes ^ se rapportent toujours aux n ondes de longues périodes.
Mais
COS(l 4- -î)fAy ces (l 4- î)fA,—
C0S(£H-î)(fXy-+-fX,)-f-C0S(l4-i)(fX^— fX,)
Sin(« 4--J)fJiy COS(t 4--î)fX,=
__ Sin(ï-f- })(fXyH- fX,) 4- Sin(£-4-|)(fXy—fX,)
cos(/-f- Dfxy sin(« 4- Dfx, ==
sin(/4-î)(fXy4-fx,) — sin(t4-î)(fxy— |x,)
C0S(l4-{)(fXy4-fX,) — C0S(«4-i)(fXy— fZ,)
sin(ï 4-|)fAy sin(£ 4-î)F*= —
d'où, par les formules
*=« sin/i-cos(a4 h] '-" sin/i — sinlaH h]
(20) >cos(a4-tA) ' — 7 y > sin(a4- iA)i= ^^ -
et, en posant
sm -
sin-
cîn ^ ^ ^ /p
sinj^r
2 C0S(/ 4- DfXy C0S(« 4- l)fX,= <p(fXy 4- fX,) COS ^P(fXy 4- fX,) 4" ? (fXy — fX,) C0S^(fXy — |X,),
2 sin (1 4- 1) [>-j cos (* 4- J ) f^5 = ? (Fy 4- fx,) sin-'-f' (/xy 4- fx,) 4- 9 {i>.j — fx,) sin^ (fxy — /x,),
i=ses
2 cos(t 4- i)fxy sin(« 4- \)^s= 9(fAy 4- fx,) sinâft (fxy 4- fx,) 9(;xy— fx,) sin^^CfXy — fX,),
2 SÎn {i 4- {)fXy Sin(l 4- î)fX,=:— 9(jXy 4-fX,) C0S4J-(fXy 4- fX,) 4- 9(fXy — fX,) C0S»-P-(fXy— p-s).
Par suite, les équations (19 his) deviennent
^!4-[ 9(Fy
fX,)COS^(fXy
fx,)sin^(fxy
M*) + ?(Fy - l^s) cos Hi(fxy - fx,)]C; F*) -+- 9^l^J - f^O sin ^-^{[i-j — fx,)] D;
— 2Z/C0S(f 4-l)fX„
/x,) sin ^(fxy
fX,) cos ^î-^(fXy
F*) - ?(f^y - F*) sin ^P■{^i.J — fx,)] C
Fs) H- 9(Fy — F*) COSl|^(fXy — fX,)]Dy
= 22'Sin(«4-|)fx,.
Dans ces équations 5 représente Tune quelconque des valeurs dey; si donc on fait successivement ^ = i, 2, 3, . . ., n, on aura autant d'équations qu'il y a de coefficients inconnus Cy et Dy. C'est ce système d'équations linéaires qu'il s'agit de résoudre. La résolution en est facile par approximations successives.
Pour le montrer, observons que les sommes ^ se rapportent à toutes les va-
leurs dey qui sont les mêmes que celles que peut prendre 5. Il y a donc dans chaque équation un terme pour lequely = 5. Isolons ce terme. En appelant £y une somme où y prend toutes les valeurs dont il est susceptible sauf celley = 5, c'est-à-dire les valeurs
et observant que ç(o) = 182,5, les équations (aS) deviennent
9(2fjL,)cos367fx, -Hi82,5]Ci-+- 9(2fjL,) sin367fjL,Di
[9(fXy -+- II,) C0SH^(fXy 4- fA,) ^ (^(llj — Ils) cos^P (/J
■.^ZiCOS{i-hi)lls, 1=1
cp(2/jL,)sin367fjL,Ci-i- [— 9(2/jl,) cos 867 fx, 4-182, 5]Di y M [ ?(Fy + F-s) sin ^(fxy -4- fx,) (p(^y - |:a,) sin A|i(|:xy - fji,)]C; ^ I -h[— 9(Fy-^f^*)cosH^(fXy-+-fx,)-+-9(fXy-fx,)cosHi(fXy — /x,)]D;
= 2Z/sin(£-4-|)fz,.
Il importe d'observer que les coefficients des inconnues C^, D^, Cy, Dy ne dépendent pas des observations des marées (ces dernières ne figurent que dans les seconds membres), mais seulement des vitesses (jl„ (Xy par vingt-quatre heures, des ondes à longues périodes. Ces coefficients ne sont donc à calculer qu'une fois pour toutes.
D'autre part, tous les coefficients (p([Xy — [x,) et 9(2 [x,) qui entrent dans les équations sont très petits par rapport à 182,5. On voit, en effet que la fonction
, , sin H- a?
2sin —
qui est égale k 182,5 pour x = o diminue rapidement pour x^o. Ainsi, déjà
pour a; = i*', on a
, , sini82<»,5 sin 20, 5
2 sin — 2 sin — 2 2
qui est voisin de 2,5. On peut donc, dans une première approximation, négliger tous les termes, sauf ceux qui sont multipliés par 182,5. Les équations (24) donnent ainsi pour les inconnues
Cette approximation suffit en général; si Ton en veut déduire une seconde, on remplacera la lettre s par la lettre y, ce qui donnera
On portera ces valeurs dans les termes négligés des équations (24), c'està-dire à la place des Cy et D'j dans les somnies Sy. On aura ainsi de nouvelles valeurs de Cj, et D^ qui suffiront en tous cas.
53. Remarque sur les calculs. ~ La résolution de ces équations exige le calcul des sommes
(a) ^^iCOs{i'^{)iij et ^Ztsin{i-]-\)iij
pour chacun des indicesy = 1, 2, 3, ..., /i relatifs aux ondes à longues périodes. Z, a la valeur (16). L'expression
Z/ = ht — a
représente déjà une première approximation de Z/ et la somme 2) qui suit dans (16) doit être regardée comme une correction. Il n'est pas nécessaire de faire cette correction pour chacune des 365 valeurs de Z,. Il suffit de la faire dans les 2/1 sommes (a) où, dans les applications, 2w = 10. Portons donc les valeurs complètes (16) dans les expressions (a). Appelons
Gy = 2 (^^' ~ ^) ^^^(' ■+" î)^>'
Sy = 2 (^' "" ^) ^^^ (' "^ ^^^J
la
les valeurs de première approximation de ces expressions et désignons par — àCj et — ASy les corrections à leur faire subir, en sorte que
i = MI
2Z,C08(l + i)f*y = G/-AGy
2Z,sin(j+|)f*y = Sy-ASy,
d'où, par les valeurs (i6) et, en intervertissant les sommations, on a
