Htm C0S[2( A -h K,„) — K
^p=P |aH^cos(A-f-K« — ,«k) 4-o,683H^cos(A-t- 2P4-K;„— k^)
H-pHoCOS ^(A + K^) — t'-+-^— oK
+ o,683H,co8ri(AH-K;„)4-(^~^-K,jj,
[76] CHAPITRE VI. — NOUVELLES FORMULES, ETC. ll{ï
hQ=: COSÛj — H;„O,0372C0sA -H H^0,283C0S(A H- 2t^-f- lt;„— Ky)
-hHoO,l88cOS -(A-i- Kfn) — V Ko
-+-H,o,ii5cos ^(A-i-K^)-4- p— ^ — kJ
4- sinûj H;,tO,o372 sinA+ H,,o,3o8 sin(A -+- k,„-+- 2i' — k,,)
— HoO,i88sin -(A-f-K;n)— ^^"^ — "^o -f-H,o,i54sin i(A-f-K;„)H- p— ^ — K, .
76. Le temps et la hauteur de la mer rapportés au passage d'une Lune fictive. — Dans les expressions précédentes entrent les trois fonctions du temps : A, retp,. Au lieu de les exprimer toutes les trois en fonction du temps, on peut exprimer les deux dernières en fonction de la première, de façon à n'avoir que celle-ci comme seule variable indépendante dans l'expression de la hauteur de la mer.
Pour atteindre ce but, nous observons que, pendant un court intervalle de temps comme celui qui sépare une marée du passage correspondant de la Lune au méridien, on peut regarder les fonctions du temps dont it s'agit comme linéaires, de sorte que
/ A = Ao + AT, (39) N =«^0 -^-ï^oT,
T étant le temps, Ao, (^o» ^oi l^s valeurs des fonctions à l'instant initial T = o;
A, ^, ^, leurs dérivées ou vitesses à cet instant initial. En remplaçant A par sa valeur de définition
les équations (Sq) deviennent
IA = 2ro— 2(^0— K/if-V-(2a) — 2f')T, v=^Vq -+-(>T,
Elles ont lieu quelle que soit l'époque ou origine du temps.
Supposons une Lune fictive se mouvant dans le plan de l'équateur comme la Lune vraie se meut dans son orbite, c'est-à-dire de façon que l'ascension droite de la Lune fictive soit à chaque instant égale à la longitude v de la Lune vraie dans son orbite et prenons l'instant du passage de cette Lune fictive au méridien pour origine du temps.
l42 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [76J
On aura alors
g étant pair ou impair suivant qu'on rapporte le temps au passage supérieur ou au passage inférieur de l'astre fictif.
Il résulte de là
A =: a^TT — lt,„4- 2(ci) — <>)T,
On peut toujours supprimer un nombre entier de circonférences» de sorte qu'on peut écrire
et l'on peut écrire aussi
à la condition de changer le signe des cosinus où entre ^A lorsqu'on rapportera le temps au passage inférieur, cest-à-dire lorsque q est impair. Le principe des aires donne la relation
p^if =z nc^(i — e*)=:/ic',
en négligeant le carré de l'excentricité; d'où
ne*
Mais nous avons posé (n® 72)
d'où résulte approximativement
(42) i^^n(i^iP),
OU, à cause de (4o),
ou
2W — SÎ/iV 320) — 2/1 J
(43) T=A±J^+ ^iL^(A-HK,„),
et
(44) -T^ /^CA + K^j r ^ Q^p-1
[76] CHAPITRE Vï. — NOUVELLES FORMULES, ETC. l[\i
Soit
(45) ^=| ,(^'l!^)« -g/^.(A^"-0^o,oi3ii.
Il en résulte
Pour le Soleil on aurait de même
(47) (5,= /l,(i-+-|Pt).
. Mais nous pouvons négliger Teffet de la parallaxe du Soleil et écrire
(48) t\=/ii,
en sorte que, par les relations (43) et (3i'),
(A-4-K,„) , /Il
<\'^={P.-Ps) ' \ "- +-^£P(A4-K^)
A cause de la petitesse du produit ~ e, on peut encore négliger le second terme, ce qui donne
(48) <>x'^^{Pn-Ps)^-^^^^'
Les relations (44) et (48) nous permettent d'exprimer les longitudes r et i?^ données par (4o) en fonction de la variable A et, par suite, d'exprimer à l'aide de cette seule variable tous les arguments qui entrent dans A, Ap et Aq.
On aura d'abord
, . Ah-K;„
Vi — ^01 4- {p„ —Ps) — ^; puis, pour les arguments qui entrent dans (38), (38'), (38") :
A + 2 (^ -h K^, — K,, — a To — K,, -h^^ (A -h K,„ ) -H 2eP( A -H K;„),
A -h 2 i^ — 2 t'i -H K,« — K,— 3 Po— 2 C'oi — K,4- /?,(A -h K^) -h 2eP( A -h K;„ ),
- (A-HK;,,) -h (' + -— Ko = -<'o+ ^ — Ko4-/?o(A-hK;;,)-+-eP(A-f-K;„).
^(A + K,„) 4-^— ^ — X,= i^o— ^ — K,4-/?,(A4-K,,0 + eP(A-f-K;„), -(A-f-Km)-+-^ — 2i^l-+-- — Kj,= (>o— 2(^joH hKp-f-;?p(A-hK,J-l-eP(A-+-K,„)
l44 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [76J
On tire de là les formules suivantes, qui se vérifient aisément si l'on observe qu'on néglige le carré de P.
o,683P cos[/?/A H- K;„) -+- at'o— kJ
= cos[/?^(A -H Km) -f. at'o— kJ + o,683P cos[,p{à 4- k«) -f- a c'o— kJ,
en posant
Icos[(A -h %n) -h2(v — (;,) — Ks] = COS[/?,(A 4- K,„) 4- 2(^0— 2Po|— kJ — 2eP(A4-K^)sin[/?,(A-hK,„)-h2ro— 2f>oi — K,].
L'angle A -h k,„ ne diffère pas beaucoup de k,„, d'autre part, k,„ est toujours, en valeur absolue, moindre que 180^. La plus grande valeur de P est moindre que ^. Donc le dernier terme est moindre que
2X o,oi3 ^> o
soit environ o,oi3. Il peut être négligé.
On a de même
COS i(A-f-K^) — i'-f-^ — Ko 4-PPcOS ^(A + K^.) — (^4-^— oK
en posant
(5o bis) oP — /?o— g — 0,484 g — >
C0sU(A4-K;;,)4-r— ^ — K, 4-0,683Pc0S i(A4-K^) 4-«»o— J "~ '^z ( c** ) {
= cos/7t (A4-K;„)4-ro— ^ — K, 4-o,683PcosLp(A4-K;n)-Hro— ^— "^/ •
où
(5o ter) p=p.^ ___ =1;?^ 4- 0,0192=10,5381.
|76] CHAPITRE VI. — NOUVELLES FORMULES, ETC. l4^
La parallaxe moyenne de la Lune est de 57'. Soit 37' -h II sa parallaxe vraie, de sorte que
d'où
,.P = (£)--(,.iiV=,
C'est ce dénonfiinateur 19 qui justifie qu'on ait posé, dans les termes parallactiques,
D'ailleurs
Par là et par les formules (cr), (c'), (c")? (^ ) ^^ (^O» ^" P^"^ écrire ainsi les expressions (38), (38'), (38") de A, Ap, Aq :
I A = H,„ cos( /?,„ A -f- &,„ ) -4- U„ cos( />,, A -+- 2r J 4- H, cos(/?, A 4- ^5) (52) \ ±na cos(/?oA-h&o )dzll, cos(/>, A4-&, )itiHpCOs(/>pA-h&p)
llj,,, ces (2/^,„ A -!-&„„) -h Hî5 C0S(2/7,A -h 3r„).
( a'II,„cos(/?,„A-i-„.&)4-o,o36oH„cos(^/>A4-p) (02) /ip 1= Il
/±:;34Io cos( o/>A-i-o^ )±o,o36oH,cos(,/?A-f-&,),
i — n,„o,o37Cos(/?,„A-+-&,„) -+-H„o,283 cos(/?„A 4-%)/
COS ifa /
,. ,, , , ( =bHoO,i88cos(/?o A-H&o )±:H,o,ii5 cos( ;?, A 4-^,)*
. ( lI;„o,o37sin(/?,„A4-^,„) 4- H^o,o3o8sin (^^A 4- &J) 4- smii '
( qiHo o,i88sin(^o A 4- ^0 ) ± H,o» 1^4 sin (/>, A 4- &, )'
Dans ces expressions entrent :
1° Les neuf coefficients /?Mr^/we/2/ numériques
Pm = i> P„, Psy /?o» P,^ Ppy
,Py o/>, iP,
dont les valeurs numériques ont été données, valeurs se modifiant légèrement
d'année en année et qu'on trouve d'après les moyens mouvements des deux
astres parles formules de définition (3 1). Celle ^p dépend seule du port puis- L. — I. 19
l/jG PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [76]
qu'on a
£ ,^ 0,Ol3l
Comme p est (n*^ 72) compris entre i et ~, ^P est compris entre
0,481 1 — o,oi3i — 0,4680 et
dont la moyenne est 0,4696, soit 0,47» différant de 0,002 environ de ses valeurs extrêmes. On peut donc, si on le veut, regarder aussi ^p comme connu d'avance. On y a ajouté les deux constantes/?;, etpç qui entrent dans les ondes elliptiques
2W — 3/1 -f- TÊT
Ph = : »
'2 co — 2 n
fji — 3 /^ H- ?& ^ 2 w — 2/1
OU, à cause de la lenteur de la marche du périgée lunaire ou de la petitesse de tb,
2C0 — 3/1 ^Pm—Pn
Pu J
2 Cl) — 'Itl '2.
(tJ — 3/1 3/>o — P,
2** Les douze coefficients
qui dépendent, en partie, du port par les constantes k,;,, k,,, etc., qui y entrent et, en partie, des longitudes ^0 et t^o, de la Lune et du Soleil vrais à l'instant du passage de la Lune fictive qui précède la marée considérée.
La comparaison des formules (52), (12'), (52") avec celles (c), (c'), (//') donne pour la définition des 2r
^„ z=2ro-t-/?„K,„ — K,„ ,,3r — %-|- („/^--/^jK,„ — ^^4- o,o384K;„,
&, = 2(c'o-ro,) -l-/?,K
m ""Jî
(54) ( 2ro=:— ro-f-/?oKm~Ko+90«, o2r=— ro-+-/?oKm — oK ^-ô — Km-H9o«,
[76J CHAPITRE VI. — NOUVELLES FORMULES, ETC. l47
Darwin trouve plus commode pour les Tables et calculs numériques de poser
d*où
2i'o— 2(3+0 — 5*>), (^^) 1 2(ro-i^o.)--^2 3,
En désignant par la lettre K avec des indices les portions des S qui ne dépendent que du port, on aura
3„ = -O4-0)4-Ko, oS=-0+0)+(.K,
= 3+0 -hK„ ,3r=: 3-+-0 4-,K,
2rp= 3-0 4-K,„
OU
^ - 0,Ol3lI ^
Kp= /?pK;„ — itp-h95°.
3*^ De la parallaxe 57' -h II de la Lune.
Aux termes ci-dessus, Darwin ajoute encore une marée semi-annuelle et une marée annuelle, mais qui sont dues plutôt à des causes météorologiques. Dépendant du Soleil, elles sont de la forme
l48 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [77]
le premier terme étant annuel, le second semi-annuel. On a
77. Méthode générale pour la recherche de l'heure et de la hauteur des pleines et basses mers. — Nous commençons par négliger hp et Aq. La hauteur A de la mer est exprimée par des termes semi-diurnes, diurnes et quart-diurnes. Elle est de la forme
(69) A = 2H2Cos(/?jA-h^i) -f-IH, cos(/?,A-f-&i) -+- 2H4 cos(/?4A -f-^*),
la première somme représentant Tcnsemble des termes semi-diurnes, la deuxième l'ensemble des termes diurnes, la troisième l'ensemble des termes quart-diurnes. En comparanl à (52), on a, par exemple,
iH, cos(^, A 4- 3r,) =l: H,;^ cos(/7;,. A -+- &;„) -+- H„ r.os( />,, A -H %) + H, cos(/?, A -f- &,). L'équation
soit
i iH,/>jsin(/?jA-+-3r,) -h iH,/>i sin(pi A 4- 2r,)
donne les valeurs de A qui répondent aux pleines et basses mers. Ces valeurs portées dans (69) fournissent ensuite les hauteurs de ces mers.
Nous nous occupons actuellement des pleines mers. A cause de la prépondérance du terme
H,„ sïnipm A -h &,„ ) — H;;, sin A,
les valeurs de A qui les donnent sont voisines de zéro, tandis que celles qui donnent les basses mers oscillent autour de 180°.
On peut considérablement simplifier les équations précédentes en observant que tous les p^ sont voisins de i; les /?, voisins de ~ et les /^^ voisins de 2, ce
qui équivaut a dire que, pour/i = 2, i,/|, le nombre -^ est voisin de i. Or on a sensiblement, si k est voisin de i ,
sinXra::^ Xrsina ( n — sin'a J,
cos/ra= cosa(iH sin*a|.
«zzz cosa [
Ainsi
[77] CHAPITRE VI. — NOUVELLES FORMULES, ETC. l49
Donc, en faisant
A — > OLZ=L y
sin/?„A=: -^-^ sin — \ i ^^ sin* — /,
cos^„A=: cos — \ I sm' —
1 siny3,A = p, sinA( I — ^^-^ — sin'Aj,
/ cos/?,A= cosAfi— ^^ sin'Aj.
Pour les termes diurnes, les seconds termes de la correction qui comprennent le produit des deux facteurs très petits, ^p] — i et sin^ -y sont négligeables et l'on peut écrire
i sin/?iAi= 2/?i sm — > (6iO ) '^
I cos/?! A = cos - •
£t comme la marée quart-diurne est très faible, nous pouvons de même nous borner à écrire
s\np^à=z i— sm2A, A-* 2
COS/^^Anr COS 2 A.
Par suite, l'expression (39) de la hauteur h de la marée devient
h = cosA^HjCOS^, fi - ^i^ sin'A^ - sin A^H,/?, sinSr, fi - ^^^ sin*A^ (62) < -f-cos - VHi COS&, — sin - 22H,/?i sin&,
COS2AVH4COS&4 — sin2AV — ^ sinSr^,
et l'équation (60) devient de même
COS
A^H,/?, sin^, (i - ^^-î- sin» a)
sinA Vh,/?îcos^,( I — ^î-^— î- sin'Aj
(62 bis) { ^ ^
