A VI., . . .A

-H cos - y^Hi/?! sin^, -H sin - V2 Hj/?} cos&,

-4- cos 2 A ^ H»/?» sin ^4 4- sin 2 A "V -i-^ cos% = 0.

l5o PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [77J

Adoptons les notations du numéro précédent et posons encore, X étant l'un quelconque des indices qui entrent dans les équations (52), (Sa'), (52") :

(63) Ax = Hx cos^x, Fx = HxA>xsin&x, Gx - Hx/>îcos^,

De plus, nuos désignerons respectivement par As, F,, G^ les sommes des Ax, Fx, Gx concernant les termes semi-diurnes; par A|, F<, G< les sommes des Ax, Fx, Gx concernant la marée diurne; par A4, F4, G4 la somme des Ax, Fx, Gx concernant les marées quart-diurnes, en sorte que

IA, -- 1 H, COS&, = \fn -+- A^ ~h A„ F, =z 2H,/>,sin2r, — F,„ -+- F, 4- F, 1= F^-+- F, (à cause de ^,n— o), G, = 2 H.pl cos^, ^ G,„ 4- G, -h G„

[A, = 2Hi C0S&, = Ao 4- A, 4- Ap, A^^iHv cos^* ~ A,;„-+- A,,,

(64) ! Fi^2H./?,sin^,r:=Fo-+-F, -hF^, F* = 2H, sin&, ^F,;„4-F,„

G| = 2H, p] cos^i = Go H- G, 4- Gp, G4 = 2 H^/? J C0S&4 = G„„ 4- G,^,

soit encore

sin'A

d\,rrz — 2(/?»— I)H,C0S&„

dFt=— ^^ ^(/^î— OH,/>,sin&„

sin*A

5G, = - — g— 2(/^î-2)H,/?*cos&„

en sorte que, comme /?,„ = i,

aA,=— ^^ [(/?; — i)H^cos&^ 4- (/>,* — l)H,C0S9r,],

dF, = - ~- [(/>« - i)U,p, sïn% 4- {pj - 1) UsPs sin&,],

iG,=- ?l^[(/>,?-i)H,/>*cos%4-(/>i -i)H,/>;cos&,]. Or, on a

p^=i ,o3S, pg= i,o35,

d'où, approximativement,

/?« — i^pî — 10,072, ^^V^ ~ ^6^^ =0,012, d'où

!ôA,=r— 3 X o,oi2sin'A(A^4- A,), 3F, = — o,oj2sin«AF„ dG,= - 0,012 sin» A (G^ 4- G,),

de sorte qu'au facteur sin^A près, ces grandeurs sont aussi connues

[77J CHAPITRE VI. — NOUVELLES FORMULES, ETC. l5l

Les équations (62) et (62 bis) deviennent ainsi

h ■= (A, -H ÔA,) cos A — (F, + dFt) sin A

±: A, cos — in 2 Fi sin — 2 2

-h A^ cos a A — ^F* sin 2 A

(66) { et

(F, 4- ÔF,) cosA -+- (G, -h SGf) sinA

± F, cos — dz 2 Gi sin - 2 2

-h F4C0S2Ah- |Gvsin2A=:o.

Nous négligerons d'abord les termes qui contiennent 8A2, SF^, SG2, de sorte que les équations deviennent

(67) /i = AjCOsA — F, sin A d: A| cos — =p 2F, sin — h A^cosaA F^sinaA

(68) F, cosA-+-GjSinA± ( Fj cos — h 2G1 sin — ) 4-F4COS2A -h - G^sinaA^o

dont tous les coefficients sont connus.

Nous résoudrons cette dernière équation qui nous donnera, soit pour la pleine, soit pour la basse mer, une valeur approchée de A, et en la portant dans la précédente nous aurons une valeur correspondante h.

En général, on pourra se contenter de cette approximation. Si A est inférieur à 45^ ou 5o**, elle est suffisante, et même pour des valeurs un peu plus grandes de A, la correction à faire est peu importante. Pour la faire, on portera la valeur trouvée de A dans les expressions (65) de SA2, SF2, SG2. Connaissant ces expressions, on tirera des équations complètes (66) les valeurs définitives de la forme

A + ÔA, Pour avoir SA, SA, il suffit d'observer que si, dans une équation

on change les paramètres a^, aj, a»» ... respectivement en a, -h Sa,, a^ -t- S^a. ^3 -^ Sflj, ..., l'inconnu x devient x -h Sa?, et Ton aura approximativement

da ' ôa^ da^ ox

l52 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE PRATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [78]

d'où

"i- dax -4- 3^ daj -h -J- dai -h- . . .

*^çyaj âa^ Oa^

ôar- -^

âx

Donc on aura, d'une manière générale, pour les corrections dont il s*agit ici, comme pour d'autres que nous aurons encore à faire (mais qui ne porteront jamais sur A4 et F4) :

dh m dAt cos A — dFf sin A -h 5Ai cos 2 oF, sin - •

(69) < / A A\ ^ ^ ÔF,cosA4-(ÎG,sinA±:(5F, cos- -h2dG,sin-)

aA = \^ » ii,

en posant, pour abréger,

(70) D = F, sinA — G, cos Ait - ( F|Sin 2G1 cos- | -h 2 (F4 sin 2 A G4 sin2A j.

Ici, on aurait

dh = 5Aj cos A — ôF, sin A,

(7O \ .. aFîCosA + dGjSiriA

On voit donc que toute la question est ramenée à la résolution de l'équation (68). Pour cette résolution, nous procéderons un peu différemment, suivant qu'il s*agira des pleines mers ou des basses mers.

78. Heures et hauteurs des pleines mers. — Nous nous occuperons d'abord des pleines mers. Nous écrirons l'équation (G8) ainsi

(FjitF|)cosA-+-(G,±:G,)sinA

^ . Af-, / A .A\ ... Al

± 2sin»^ F, (cos — h 2Cos*^ j -4- 2G1 sm-

-h F4C0S2A-f-^G4Sin2A zno.

Le terme sin^T- est, en général, petit; il en est de même des termes relatifs à la marée quart-diurne. Nous prendrons donc, comme première approximation,

(72) langA = langAo —

Si Ton pose ensuite comme nouvelle et (sauf le cas exceptionnel des ondes évanescentes qui sera signalé plus loin) suffisante approximation

(73) A=:Ao-+-6Ao,

[78] CHAPITRE VI. — NOUVELLES FORMULES, ETC. l53

(74) aA.= N,,

où Ton désigne par N© ce que devient le premier membre de cette équation pour A = Ao, et Do ce que devient D ou le second membre de (70), de sorte que

No— F, cosAo4-G,sinAoi: ( Ftcos— -+- 2G, siii— J

-h F4 C0S2 Ao-hiG^ sin^Ao,

Do=:^ F, sinAo— GjCosAodb -f F,sin~ — 2G,cos — j

2{F^ sin2 Ao — JG4 C0S2 Ao).

Observons d'ailleurs que, quand N© et D© sont calculés, ce qui donne A, la valeur D qui entre dans la correction de A indiquée par l'équation (71) s'ensuit facilement. Car on a sensiblement

!F, cosAo-h G, sin Ao ±:7fF»cos^-h2G,cos— ) -h 4 ( F4 cos 2 Ao H- 1 G4 sin 2 Ao )

dont les divers termes entrent daniî N„.

Ayant ainsi la valeur de A, l'heure correspondante de la marée comptée depuis le passage de la Lune fictive au méridien (on se rappelle que, dans toutes les équations, le signe + des termes diurnes se rapporte aux passages supérieurs et le signe — aux passages inférieurs de l'astre) est donnée par la formule (43)

. K „ + A / ^ 3 P/i \ 2(û3 — n)\ Sa) — nj