MÉTHODE GÉNÉRALE ET EXEMPLE

A. Canaux de largeur cotistante.

102. Intégration des équations du Chapitre précédent pour des canaux non fermés. — 103. Méthode générale pour déterminer les constantes : (<z) canal circulaire fermé; {b) canal indéfiniment prolongé dans les deux sens; ( c) canal limité par deux continents; (<i) canal limité par un continent et indéfiniment prolongé dans un sens. — 104, 105. Canaux en communication avec des mers. — 106. Vérification, sur les problèmes précédents, du principe de Laplace. — 107. Développement des calculs pour un canal, sans marée, communiquant ayec une mer et un lac. — 108. Ondes partielles. — 109. Réunion des ondes. — 110. lloure et hauteur de la marée en un point du canal. — 111. Vitesse de propagation. — 112. Sur le moyen de comparer la théorie à Tobservation. — 113. Courants. — 114. De Timportance du frottement. — 115. Extension des formules de première approximation à des canaux de section constante quelconque. — 116. Application au canal de Suez. — 117. Hauteur des marées au canal de Suez. — 118. Retard de la marée surcelle de la mer Rouge. — 119. Courants à l'entrée du canal; divergence avec l'observation.

B. Canaux de largeurs vai tables.

120. Formules relatives à un canal dont la largeur varie suivant une loi exponentielle. -> 121. Simplification des formules, si l'on fait abstraction du frottement. — 122. Succession de canaux de sections variables, avec ou sans changements brusques dans les sections.

A. Canaux de largeur constante,

102. Intégration des équations du Chapitre précédent pour des canaux non fermés. — L'application du principe de Laplace à des canaux circulaires fermés nous a amené à n'employer au Chapitre précédent qu'une solution très particulière de l'équation (6) de la page i86, à savoir : la solution représentée par les équations (lo) et (i i) delà page i88 répondant à l'expression (8) de la force des astres, expression qu'il suffit de considérer parce que les effets de termes similaires se superposent. Si l'effet des astres sur un canal est insensible, on fera H = o, et la solution particulière dont il s'agit se réduit, comme cela doit être, à h = ^ = o.

Ajoutons à présent à cette solution des solutions de l'équation privée du second membre. Prenons la solution périodique

(i) ^==:Pcos(T^H- Qsina^,

0" étant une constante arbitrairement donnée et F et Q étant des fonctions de x. En substituant dans l'équation (6) sans second membre, nous trouvons pour déterminer ces fonctions les deux équations différentielles ordinaires du second

[102] CHAPITRE Vni. — CANAUX A MARÉES, ETC. 201

ordre à coefKicients constants Soient

(a) P = Ae% Q = Bc«*.

Les constantes A, B, a satisferont aux deux équations

|/(TA-t-(<y«-+-^ya«)B = o.

En éliminant le rapport tt entre ces deux équations, on obtient Téquation

caractéristique qui donne

(4) «'= -.'±Av ^, d'où

(5) »=p<i+qW—'' p„ et ^a étant définis par les équations

ff»

qui donnent

Posons

On aura les deux solutions

(9) ^=pa-^g<j\/—if Oi — -pa-i-qW—*f

et celles qui résulteraient du changement de q^ en — 9^. La première donne

a^ziz ^ — ï

et par suite, à causé de (3), La seconde donne

et par suite

Donc, au facteur A près, la première donne

P — e^ /'•-»- ^•v^)'', avec Q =v/^ e^ra+^y.v^^^)' ou

p = e^ff*( cos^<j^ -H v/— i sin^ff^)»

Qr= ePe^(— sinç<y.r 4- v^— 1 cos^g^),

d'où les deux solutions

p — e^a«sinç<y^i Q =^ e^-^'CGS^jj^.

La seconde valeur (9) de a donne

P = e-''<r^(cos^<j^ -"- v^^^ sin ^,j.r), Qiri e-''«T*(sin q^^ — V^— « cos^,j.r),

d'où les deux nouvelles solutions

P = e-PT^s\n qtsXy Q = — e-Pn^Ç.Q%qtsX.

Ajoutant ces quatre solutions multipliées par des constantes, on aura la solution générale

l p = eP^'( C C0Sçr<yX -h 1) sin q^a:) -+- 6-^»^(C'cos^<r^ H- D'sin q^x), ^'^^ j Q=e''<T*(— C sin 7^-2^ -+-I>cosçr<TJ?) + e-'»<'*(C' sin Ça^ — D'cos^ff^), .

avec les quatre constantes C, D, C, D'. Les valeurs de a obtenues en changeant Çfj en — q^ donneraient la même solution.

On a donc ainsi, pour le déplacement horizontal,

Ç = P cosor^ 4- Q sinor^

[103] CHAPITRE VIII. — CANAUX A MARÉES, ETC. 2o3

une solution,' avec les cinq constantes arbitraires

de l'équation (9) du n** 94 privée de son second membre. On peut ajouter autant de ces solutions qu'on le veut à la solution de l'équation avec second membre trouvée à la page 188.

A chaque expression trouvée pour le déplacement horizontal $ en répond une pour la hauteur A, par la formule

En ajoutant à la solution de l'équation complète, résumée dans les équations (10) et (11) du Chapitre précédent, la solution de l'équation privée de second membre qui vient d'être obtenue, on aura la solution suivante, avec les cinq constantes arbitraires œ, C, D, C, D%

H — T-q r:i TT^ [(*' — gy^^) sin( i7 — mx) -\-fi cos{U — mx)]

^^'^ \ ^eP"^ [C cos(or^-h^,jj7) 4-D sin((T/ H-^ffj?)] -h e-P^^[C cos(<y/ — q^jx) — D' sin((T^ — Çfrx)],

' ^' - (it^gyliTy^ni^ [-(*■*- ^yw') cos(i7 - mx) -^/isïn{it - mx)]

^'^^ ^ —yePo^ [{C po-\-ï) g^)cos{fft-hg<Tx)'h(l) Pa—Cq(T)sïn{(je-hqt,x)]

-i-ye-P<''[{C'pa'-ï)'qtj)cos{fft — q„x) — {l)'pa-\-C'qtj)s\n{(jt — q^x)],

Si le canal n'est pas lui-même sujet à marées, on fera H==o. Rappelons, d'ailleurs, qu'on peut ajouter autant de termes qu'on le désire comme ceux qui contiennent les exponentielles. On aura, à chaque fois, cinq nouvelles constantes arbitraires, telles que œ, C, D, C, D'.

Les constantes se déterminent dans chaque cas d'après les conditions particulières du problème.

103. Méthode générale pour déterminer les constantes. — Voici les principaux cas qui se présentent :

a. Canal circulaire fermé . — Dans ce cas, la solution doit être périodique re* lativement à la variable Xy ce qui exige que toutes les exponentielles disparais^ sent, et l'on retrouve la solution du Chapitre précédent.

6. Canal inde^niment prolongé dans les deux sens. — Si un canal est indéfiniment prolongé dans les deux sens, comme alors A et ^ doivent rester finis pour

a? = dboo, il faut encore que toutes les exponentielles disparaissent et les formules du Chapitre précédent s'appliquent encore.

c. Canal limité par deux continents. - Dans ce cas, pour deux valeurs données, par exemple a: = o et x = x^, on doit avoir Ç = o, quel que soit /. Pour satisfaire à ces conditions, on fera, dans les formules (i r) et (12),

La solution sera donc de la forme

4 Ç = (P/ cosi^ 4- Q, sinit).

Pi et Q„ P; et Q; étant quatre fonctions de x. Elles doivent satisfaire aux conditions

pour a? = G et pour x = x^, ce qui fournira, entre les quatre constantes C, D, C, D', quatre relations qui les déterminent.

d. Canal limité par un continent et indéfiniment prolongé dans un sens. —

Prenons comme origine des x la section du canal barrée par le continent et la

direction du canal suivant les x positifs. On fera encore o- = £. Comme A et ç

doivent rester finis pour a? = 4- x), on devra avoir C = D = 0. L'expression de

^ sera donc encore de la forme (i3), mais P, et Q, ne contiendront que deux

constantes C, D'. On les déterminera en exprimant que, pour a? = o, on a

Ç = o, soit

ce qui fournit les deux relations nécessaires pour déterminer C et D'.

104. Canaux en communication avec des mers. — Supposons à présent un cas spécial, mais utile pour ce qui va suivre : celui d'un canal indéfini dans un sens (sens des x positifs) et communiquant à son origine avec une mer sans marée.

On fera toujours g = i.

Par cela seul que le canal est indéfini, on aura, comme ci-dessus,

de sorte qu'il ne subsiste que les deux constantes C et D' qu'on déterminera en exprimant qu'à l'origine du canal c'est cette fois la surélévation h de l'eau du canal qui est nulle; soit P^ = Q^ = o, pour a? = o.

[105] CHAPITRE Vin. — CANAUX A MARÉES, ETC. 2o5

Si, à son origine, soit pour a? = o, le canal communiquait avec une raer dont les oscillations fussent synchrones à celles du canal lui-même, c'est-a-dire ayant à l'embouchure du canal les oscillations de la forme

(i3 bis) h = Xcosit-h Bsinit,

le problème ne serait pas plus difficile. On exprimerait qu'en ce point la hauteur A, au lieu d'être nulle, aurait la valeur (i3 bis)^ ce qui donnerait

pour a? = o, équations qui détermineraient encore les deux constantes C, D',

Si le canal était limité par un continent, la condition de h nul ou égal à (i3bis)k l'origine du canal et celle $ = oà son extrémité fourniraient les quatre équations nécessaires pour déterminer les constantes C, D, C, D'.

Si le canal communique avec deux mers sans marées et de même niveau ou avec deux mers ayant des marées synchrones au canal, les quatre constantes se détermineront en exprimant que h est nul ou a des valeurs données de la forme (i3 bis) aux deux extrémités du canal.

Si les deux mers sont sans marées, mais à des altitudes différentes A = a^ et h = bç^y on résoudra le problème comme si les deux mers étaient de niveau, et, à la solution obtenue qui donne A = o aux deux extrémités du canal, on ajoutera, pour A, le terme linéaire en x et indépendant de t,

(i4) h = ao ;: a;

et, pour Ç, l'expression

OÙ Xq désigne la longueur du canal. Ces expressions satisfont bien aux équations (7) et (9) du n** 95, cette dernière privée du second membre, et aussi à la condition de donner A = a„ pour x = eih = b^ pour x = x^.

Le mouvement qui en résulte est un courant permanent et uniforme de vitesse -^y I = ^°~ ^ étant la pente par unité de longueur entre les deux mers.

Ce courant vient se superposer aux mouvements périodiques représentés par les autres termes de la solution.

105. Supposons à présent un canal illimité dans un sens et communiquant à son origine avec une mer dont les oscillations, comptées depuis le niveau

moyen sont données sous la forme harmonique

(i6) A=^ A coso-^-f-Bsinor^

Nous n'envisageons qu'un terme. S'il y en a plusieurs, on les étudiera successivement et l'on ajoutera les résultats obtenus. Si ces oscillations sont synchrones aux termes connus des équations (i i) et (12), c'est-à-dire si les q sont pareils à i^ ce qui a lieu en général en vertu du principe de Laplace, le problème se trouve résolu au numéro précédent.

Dans le cas contraire, on le résout d'abord dans l'hypothèse où le canal communiquerait avec une mer sans marée (numéro précédent), et, à la solution obtenue, on ajoute, pour h, l'expression

(17) y6-^a* [C'/7<,H- D'^<t) cos(crf — qx) -f- (D'/?»— C'^,,) sin(af — qx)^

et pour Ç, l'expression correspondante résultant de (i i). Quels que soient les coefficients C et D',on continue toujours à satisfaire aux équations différentielles du problème, et, comme la valeur précédemment obtenue de h s'annule pour a; = o, il s'ensuit que, pour cette valeur de a?, la hauteur h se réduit à la valeur (17), soit à

et, comme elle doit être identique à (16), on aura, pour déterminer C , D' , les deux équations

Si le canal dont il s'agit était limité par un continent, on résoudrait toujours, d'abord le problème comme s'il communiquait par son origine avec une mer sans marée, et, à l'expression ainsi obtenue, on ajouterait les termes en a, 0- ayant la valeur donnée dans (16). On déterminerait les constantes C, D, C, D' en exprimant 1° que, pour a? = o, le terme additionnel de h se réduit au terme correspondant de (16), ce qui donne deux relations, 2** que, pour a? = ot^ {x^ étant la longueur du canal), le terme additionnel relatif à \ s'annule, ce qui donne encore deux relations.

Supposons enfin un canal débouchant dans deux mers, dont l'une a des oscillations données par l'expression

(17 his) h=zaQ-{- V (Acosff^-t-Bsino-^),

et l'autre par celle

(18) h =:z bo-h ^{X' cosa' t -^B' sitid' t).

Ici il faut que, pour a? = o, A prenne la valeur (17 bis) et, pour x = Xq^ la valeur (18).

On résoudra le problème comme si le canal communiquait avec deux mers sans marées (n° 104), et dont les niveaux constants seraient

h =z ao, h :=:z b

et, à cette solution, on ajoutera :

I** Dans les équations (11) et (12), autant de termes en o- qu'il en entî'e dans (17 bis)y et, pour chaque terme, on déterminera les quatre constantes C, D, C D' par les conditions que

pour 07 = o et /i = o pour a? = Xo ;

2*^ Une seconde série de termes où les œ sont remplacés par les a' de (18), et l'on déterminera les nouvelles constantes C, D, C, D' par les conditions que A = o pour o? = o, et

h-ji^K! cos or' ^ 4- B' sin c' t pour a? = Xq.

106. Vérification, sur les problèmes précédents^ du principe de Laplace. — Dans tous ces problèmes, nous avons admis le principe de Laplace, consistant (n^ 15) en ce que les circonstances initiales du canal considéré sont sans influence sur les résultats, étant rapidement annihilées par reffet du frottement. Il n'est pas difficile de vérifier qu'ici il en est effectivement ainsi.

Supposons, en effet, que, outre les conditions des numéros précédents, on s'impose encore de satisfaire aux conditions initiales consistant en ce que, pour / = o, on ait, dans le canal que Ton considère,

F et/étant deux fonctions données.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse du problème d'un canal com-

2o8 SFXONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [106]

muniquant avec deux mers. Soit

la solution précédemment trouvée. Ajoutons-y une solution de l'équation (9) de la page 186, privée du second membre et telle qu'elle donne A = o à l'origine et à l'extrémité du canal; de sorte que les conditions aux extrémités restent toujours satisfaites.

Il suffit de prendre cette solution de la forme

y Tacosâ:^,

OÙ ^ est zéro ou un entier positif, x^ la longueur du canal; les T^ sont des fonctions de t seulement. On aura ainsi

Ç = X4-yT^cosA:^,

qui satisfera encore à toutes les conditions du problème, sauf celles relatives à l'instant t = o. Les fonctions T^ doivent d'ailleurs, en vertu de l'équation (9) susmentionnée, satisfaire à l'équation différentielle

Tk=e * (AjtC0Sfx^4- BjtSÎnfjL^), avec

et Aa et Ba étant des constantes arbitraires, en sorte que

Ç=rXH-e * > cosA: — (AACOSfx^-4- BA^sinfjL^),

, c?X yk -1' V» • / «^ / A * i> • -V

A = — y-r \- '—e ' >smA: — (A^cosfx^H- BA-sinjx^),

qui satisfait, quelles que soient les constantes A^^ et B^, à toutes les conditions du problème, sauf à celles relatives à l'instant initial. Pour remplir ces der-

[107] CHAPITRE VIII. — CANAUX A »l\RÉES, ETC. 20i)

niëres on devra avoir, pour toutes les valeurs de x comprises entre o et a?o,

2Aa.cosX: — :=zF{x) -X(j:, o), 2(.B.-{*.)c„,*i=/(.,-p<f^>]^,

ce qui fournit les constantes A* et B^ par la formule de Fourier. On voit

que les termes ajoutés pour tenir compte des conditions initiales sont multi-

. -// plies par le coefficient e * et, par suite, s'éteignent plus ou moins rapidement,

suivant la grandeur du coefficient de frottement /, ce qui est conforme au

principe énoncé par Laplace (n** 15).

107. Développement des calculs pour un canal sans marée, communiquant avec une mer et un lac. — Puisque le canal considéré n'a pas de marée propre, on doit faire H = o dans les équations (i i) et (12) du n^ 102. Nous écrirons d'ailleurs, pour simplifier,/? et 9 à la place desp^ et y^,, les valeurs de ces constantes étant définies par les formules (8) du n° 102. Enfin il sera ici un peu plus commode pour les calculs de remplacer les quatre constantes C, D, C, D' par quatre nouvelles constantes A, B, A', B' déduites des premières par les relations

Cp + Dq=-, Cp — D'q—-,

- C^ -t- D/? = - , CV/ -H D> =: - , d'où

Par suite, les deux dernières équations du n® 102 deviennent

(ao)

e-p'[ A'cos(a^ — ^a?) — B'sin(ori — ^j:)],

^ I i eP' [{p\ --qB )cos((jt-hqx)'h{qX -hpB)sïn{<Tt-h ga:)]\

y(A>*-*-^') \ -h e-P^[{pX'-^ qB') COS(or/ — qx) -f- {qX'^pB') sin (ff/ — qx)] ]

Prenons comme origine des a: l'embouchure du canal dans le lac et soit L la longueur du canal. On devra avoir

{a) Pour^ = o /i = o,

(^) Pour J7 = L A = /ioSinor^,

Ao et Œ étant donnés. On peut toujours, en prenant l'origine du temps convenablement, réduire le mouvement sinusoïdal au point x = Lk l'expression (b). D'ailleurs, /zq représente la demi-amplitude de Toscillation ou la demi-diflerence

de niveau de la pleine et de la basse mer et Ton a a = y^y si T est Tintervalle de

temps compris entre deux pleines ou deux basses mers consécutives. Nous aurons, par suite, pour déterminer A, B, A', B', les quatre relations

( ei'^i— ACOS7L — Bsin</L) -i-e-''''(A'cos^L -h B'sin^L) = 0, / eP^( Asin ^L — Bcos^L)-*- e-/'''(A'sin«7L — B'cos^L)^: Ao.

On tire de là, en posant

(22) à^=^2i COS27LJ,

A HZ A'= f^{eP^-^-e-P^)singU (23) 1

( B=:~B' = - J(e^»'-e-/''-)cos7L;

puis

^^ i e^'^'^+'^sin [or^ — g{L — jo)] — e-P^^'^^in [at -+- ^(L 4- j:)], * — Â" / — eP^^-^'^s'm [at — ^(L + x)] -4- (?-''<'' ^•'' si n [at 4- q{L — ^)],

/ j eP'^^'^sin [<Tt — g{L-'X)]'+- e-/'"'-^'sin [at + ç{L + a;)]

u \ ^\ — e/">--'>sin[(7^ — <7(LH-:r)]-he-/'^'--^''*'sin[(7^4-<7(L — a?)] j

^ yA(/>«-hr/») J ( e'""'-^-^'cos[(7^ — ^(L — jc)]--e-A'(''-'>cos[(7^-+-^(L-+-x)] i

I 4-e'""'-''>cos[a^ — ^(L4-^)] — e-A'<»'-^'*'»cos[tT/H"7(L--;r)] )

Le courant a pour expression

!/ — e'''''-^''cos[(7^ — ^(L — j7)]4-e-''<''"-''cos[(j^-hç(L-Ha:)] ^ ^ j — eA''"— ')cos[(7/ — y(L-ha7)]-+-e-/''»'-^-»)cos[ŒiH"^(L — a;)] j / — e^'L-»-')sin[(7^ — ^(L — ^)]-+-e-/'«'--'>sin[Œ^-+-^(L-h:r)] | "^'^ / -.ei'(L-'>sin[(T^ — ^(L-hx)]H-e-A''''-^'>sin[Œ^-h<7(L — ^)] j

lOS. Ondes partielles. — On voit, par ces formules, que le mouvement qui se produit dans le canal peut être regardé comme la superposition de quatre ondes simples, deux dans le sens des x négatifs, c'est-à-dire allant de la mer vers le lac et deux dans le sens des x positifs ou allant du lac vers la mer. La première

a pour vitesse de propagation ; la seconde H La valeur absolue com-

mune à ces deux vitesses est, d'après les formules (8) du n° 102,

se réduisant à

si Ton fait abstraction du frottement.

109. Réunion des ondes. — Ces quatre ondes, qui ont toutes même période — = T que Tonde de la mer avec laquelle communique le canal, peuvent être réunies en une seule, dont la hauteur h est donnée par la formule

(28) ^ = P coso-f -+- sino-/,

^ ^0 i e/'<''-^')cos^(L — ^) — e-P<*'-')cos^(L4-^)

Soit

(29) 7c=tangX.

On pourra écrire

(29') ^ = v/P*-+-Q'sin(<T^4-X).

On a d'ailleurs, en désignant par sin^, cos^, tang^ les sinus, cosinus et tangentes hyperboliques, soit

^ 2 2 ° COS

P = -. - [sinAp(L— a?) sin7(L-ha?) — sinA/?(L -4- jt) sm«7(L — a:)],

Q = -^ [ — cos/,/?(L — ;r)cos7(L4-.r) -h cos/,p(L4- jr)cos7(L — ^)],

212 SECONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [*tO]

Et Ton trouve aisément, à cause de la valeur (22) de A,

(3a) K ^ y/p^TQ'^ Api A^^^'^^f ~ ^^I^,

V cosa2/?L — cosa^L

(32 bis) Vjinç:X = "" ^^"^"^ '^ tangA;>.r + tang/,pL tangy^r

lang/,/;Llang/,/>j: -hlang^Llang^^

110. Heure et hauteur de la marée en un point du canal. — La hauteur K de la marée en un point d'abscisse x est donnée par la formule (32). Si Ton fait abstraction du frottement, on a/? = o. Par suite

(33) K = A,!iMf.

En supposant que p est très petit, cette formule peut être regardée comme approximative, si la longueur L du canal n'est pas trop grande. L'heure de la marée en un point d'abscisse x est donnée par la formule

d'où

ao" (7 4 air *

A l'embouchure, soit pour a; = L, on a X = o et / = t» de sorte que le retard

de la pleine mer à la distance L — a? de l'embouchure sur celle de l'embouchure est

^ ^ aTT

Si Ton fait abstraction du frottement, on a /? == o et, par suite, X = o. Le retard serait nul. Les pleines et basses mers auraient lieu sur tout le canal à la fois, avec, bien entendu, des hauteurs variables d'après la formule (33). Le canal oscillerait comme ferait une des moitiés d'une corde de violon abandonnée à elle-même, après avpir été pincée en son milieu.

En supposant/' non pas nul, mais petit, et négligeant les quantités de l'ordre de/>*, on a

(35) langX z=X == tang/,/>Lcol«7L — i^ng^px coigjr,

d'où, pour le retard,

(36) — ( lang/t/>^' cot^^ — taiig/,/7L C0I7L).

[111] CHAPITRE VIII. — CANAUX A MxVRÉES, ETC. 2l3

Si L n'est pas trop grand, les formules (35) et (36) deviennent

(37) X ^= p{LcolqL — X COiqx)

(38) ^ {xcoigx — Lcol^yL).

111. Vitesse de propagation. — Pour avoir la vitesse de propagation de la pleine mer, vitesse variable d'un point à un autre du canal, j'observe que l'heure de la pleine mer est donnée par la formule

d'où

soit

ddl-h

dX^ dx

dx dt

dX dx

c'est-à-dire qu'un observateur qui, partant de l'embouchure du canal avec la pleine mer, cheminerait le long de ce canal, avec la vitesse de marche

(39) ~^ = X' = TX^'

verrait toujours la pleine mer à côté de lui. C'est donc là la vitesse de sa propagation, vitesse qui est ici variable; à l'aide de la formule approchée (37) on a

p[ — COlqx -H qx{i -h COi^qx)]

Or, si l'on suppose le coefficient de frottement /suffisamment petit, les formules (8) du n"" 102, où l'on se rappelle que /?<y eiq^j sont ce que nous appelons ici/> et q, donnent approximativement

2V^y s/gy iv^y

d'où

/ cot— = ^- — = ( H- C0l«-=r )

L vgy s/gy\ vgyJ]

2l4 SECONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [1^3]

112. Sur le moyen de comparer la théorie à Tobsenration. — II résulte de là que si Ton a observé la vitesse de propagation en un certain nombre de points» on peut déduire de là la valeur du coefficient/ et, par suite, celle du coefficient /,

ou du rapport ^^ où II = looo si Ton prend le kilogramone et le mëtre pour

unité et si Teau n'est pas trop salée. Si Ton suppose, comme nous le faisons, le frottement à la paroi proportionnel à la vitesse i/, et que Ton compte la pente de fond I dans le sens des x positifs, ce qui revient à changer I en — I dans la formule (I)du n^91,le mouvement permanent uniforme est régi, d'après cette formule, par l'équation

Rl = ^"«,

fî f

où R = —est le rayon moyen de la section. Le coefficient ^ est donc l'analogue

de celui habituellement usité dans l'Hydraulique des eaux courantes.

On peut aussi déterminer / et, par suite /©, à l'aide de l'expression (34) du retard d'une pleine ou basse mer à la distance L — a? de la mer, sur celle correspondante qui se produit à la mer. Si/? est sufYisamment petit, on peut se servir de l'expression (38). Cette expression, en vertu de (40' devient

(43) ..J^/^cot^^-Lcot^V

Ayant le coefficient/ on peut comparer, dans un canal donné, les résultats de la théorie avec ceux de l'observation.

113. Courants. — L'expression (26) du courant peut aussi être ramenée à la forme

(44) —37 ^Mcoso-^ -hNsina/.

Si l'on néglige le frottement, d'où/? = o et par (22)

A— 4sin*<7L,

on trouve

^ ' àt yq sm^L

Si l'on a égard au frottement, on trouve

a/fpg ( p[ sin/,/9(L-hJ:)cos7(L — a?)4-sin/,/?(L — ^)cosç(L-hJ:)] j

~"yA(/>»H-^*)| -f-âr[— cosA)o(L-h^)sin9(L — a:) — cosa/?(L — a?)sin^(L4-a:)] )'

__ ih^fj ( p[ cos/,p(L-4-J?)sin^(L — .r)4-C0SA/?(L — J:^)sin«7(L-hx)]

""yA(/?*-i-^*)( + ^[ sin/i/>(L-+-a7)cos^(L— j:)-l-sinA/?(L — d:)cosçr(L-+-:r)]

fH4] CHAPITRE VIII. — CANAUX A MARÉES, ETC. ai5

Près de la mer, soit pour x = L, on a

Près du lac, soit pour a? = o,

( ^ ^ yA(p'"-^r7-) ^^ ^^s^ï- sinA/?L— ç sin^L cos/./?L),

Si Ton rapproche la formule (44 bis) de celle

h=:no . . sina^ sin^L

qui donne la hauteur de la marée, abstraction faite du frottement, on voit que les courants seraient alors nuls aux moments des pleines et basses mers et

maxima à mi-marée. De plus, si yL<-j on voit que -r^ est positif depuis

(Jt = à 0-/ = ^- -> OU pendant la montée, et négatif pendant la baissée; et,

comme le sens positif des x va vers la mer, on voit qu'il y aurait, dans ce cas : courant de jusant pendant que la mer monte; étal de jusant au moment de la pleine mer, courant de flot pendant que la mer baisse et étal de flot au moment de la basse mer.

Plus généralement, il en sera ainsi si l'extrémité de Tare qL tombe dans le premier ou le dernier quadrant de la circonférence. Ce sera l'inverse si elle tombe dans le deuxième ou le troisième quadrant, en particulier si

- <gL<

Mais ces résultats, comme tous ceux qui sont obtenus en faisant abstraction du frottement, peuvent être considérablement modifiés par l'influence de cette force.

114. De rimportance du frottement. — Cette influence est manifestement d'autant plus grande que la profondeur du canal est plus faible. Dans un détroit de plusieurs centaines de mètres de profondeur, elle pourra le plus souvent être négligée; elle sera au contraire d'un grand eff*etdans un canal de naviga-

2l6 SECONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [ll'î]

tion» comme le canal de Suez, ayant moins de lo*" à 12"^ de profondeur. Ce fait, qui est évident a priori, ressort aussi d'une façon précise des formules. En effet, le frottement n'entre dans celles-ci que par les constantes /i et 9, désignées ^^vpa et qa dans les expressions (8) de la page 201. Elles dépendront donc elles-mêmes du seul rapport

or 271 iTzVL R

en vertu de la formule {e) de la page 180, et en désignant par R = — le rayon

moyen de la section mouillée du canal considérée. Pour une section de grande largeur, ce rayon moyen est à peu près égal à la profondeur du canal. On voit

f donc que le coefficient - est en raison inverse de la profondeur.

On voit, de plus, qu*ilest en raison directe de la période d'oscillation de Inonde que Von considère. Ainsi, le frottement a plus d'importance pour les vagues de longue période, comme la vague-marée, que pour les oscillations rapides.

Prenons, pour la période d'oscillation de la mer, 12'' 25*°, soit en secondes

T zz: 44 700.

On aura

d'où

1 = 6978.^ xi.

Ainsi qu'il résulte du n"" 93, le coefficient ^ est l'analogue de celui qui entre

dans les formules du mouvement permanent dans les canaux.

Prenons

(a) ij =o,ooo5.

Il va de soi que cette donnée est très variable avec la nature des parois.

On aura

cx~ R

On voit par là que, si l'on a un canal d'un rayon moyen, c'est-à-dire pour un canal large, d'une profondeur de moins de 10" à 1 1™, le rapport i- est égal ou

supérieur à 3; son carré ~^> égal ou supérieur à 9, donnera à /? et ^r des valeurs presque égales. Si, au contraire, la profondeur dépasse 100™ à i5o", le rapport ^ commencera à être négligeable et, par suite, il en sera de même de p.

Mais, même dans un canal de 35™ de profondeur, on voit que le frottement conserve de l'influence, du moins avec la valeur adoptée pour le coefficient ^•

115. Extension des formules de première approximation à des canaux de section constante quelconque. — Nous allons appliquer les résultats qui précèdent au canal de Suez qui communique, d'une part, avec une mer à marées, la mer Rouge, et, d'autre part, avec les lacs Amers. On peut donc lui appliquer les formules des n*** 107 et suivants. Il est vrai que ces formules n'ont été établies que pour des canaux de section rectangulaire, tandis que le canal de Suez n'est pas assez large pour qu'on puisse négliger Tinclinaison de ses berges. Mais il est facile de voir que les formules de première approximation, c'est-à-dire celles qui négligent les quantités de l'ordre du carré des déplacements, s'étendent à des sections constantes de formes quelconques. En eflet, dans l'équation de continuité (II) de la page 182, on a, au degré d'approximation où nous nous plaçons, et en appelant b^ la largeur à fleur d'eau du canal quand l'eau y est au repos.

D'ailleurs

Par suite, la formule (11) devient approximativement

Soit

(47) ^o = *oy,

Y étant ainsi la profondeur réduite du canal, c'est-à-dire la profondeur d'une section rectangulaire ayant même aire et même largeur à fleur d'eau que celle du canal considéré. On aura

qui est pareille à l'équation de continuité dans un canal rectangulaire.

L'équation générale (1) de la page 181 ne dépend d'ailleurs pas de la forme de la section. Donc, les deux équations fondamentales relatives aux canaux à sections rectangulaires s'appliquent à des canaux de sections quelconques, pourvu qu'on y appelle y la profondeur réduite définie par Téquation (47)-

116. Application au canal de Suez. — Nous pouvons de cette façon appliquer les résultats obtenus au canal de Suez : sa section est de forme trapézoïdale. Il a 22™ de largeur au plafond, avec talus inclinés à 2 de base pour i de hau- L. — 1. 28

2l8 SECONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [l^^]

teur et 8"" de profondeur, ce qui lui donne 54" de largeur à fleur d'eau. Sa longueur; depuis la mer Rouge jusqu'aux lacs Amers, est de 28706™. On a donc les données suivantes :

Ôo=r 54»", y rr j- = 5«,63, T = 12»» 25" =: 44 700%

\J2gy ■=. \/2 X 9,8088 -h 5,63 = 10,09,

puis, en adoptant la valeur ci-dessus (a) de ^>

■^-"Tr"" 3^4 " ' •

4/--i-hi/i + ^ =o,oooo33, 4/ I -4- W I 4- ^ = 0,000039,

sin/t/^L sin ^L

/?L = o,95, <7L=m,i2, arc«7L = 64S eP^z=z2, 5858 , e-'*'' = o , 3867 , 1,099= '»'» cos/,/?L= i,483n= 1,49, tangA/?L 0,900, cos ^L = 0,436 = o,44> tang qL

Nous ferons les calculs pour les valeurs de x contenues au Tableau suivant et correspondant à des stations d'observations :

qx.

Arc qx.

Sin^or.

CoBqx,

Tangyx.

px.

SiDj^/»ar.

CtOSf^px.

Tangfc/w.

o,3ii

117. Hauteur des marées au canal de Suez. — Avec ce Tableau, il est facile de calculer, par la formule (Sa), la hauteur K en un point quelconque du canal, sachant que la hauteur h^ à l'entrée de la mer Rouge est h^ = 0^,69. On a ob-

[118] CHAPITRE Vm. — CANAUX A MARÉES, ETC. 21 9

serve la hauteur K avec beaucoup de soin en deux stations, et voici la comparaison entre le résultat du calcul et l'observation :