RETARD
Tanga.
aux lacs Amers x.
à la mer Rouge L — x.
calculé.
observé.
va.
119. Courants à rentrée du canal; divergence avec l'observation. — Examinons enfin les courants. La formule (44) peut s'écrire
- ^ = v/WFTN«sin(<T^-4- Y),
en posant
tangY=j^
Le courant s'annule à l'instant
soit à l'instant qui précède de — T la mi-marée.
Près de la mer, on a
p sinA3/?L
d'où
tangY= ^ sin.^L ^
g sin2^L
Donc le courant s'annule
OU environ 55 minutes avant la mi-marée.
A ce moment commence le courant de flot qui arrive à son maximum 55 minutes avant la pleine mer.
Il décroit ensuite pour s'annuler de nouveau environ 55 minutes après la mimarée. Puis commence le jusant» qui croit jusqu'à 55 minutes après la basse mer, pour décroître à nouveau et s'annuler 55 minutes avant la mi-marée.
C'est bien conforme à l'observation.
L'observation prouve, en effet, que les courants s'annulent aux environs de la mi-marée et deviennent maxima aux environs des pleines et basses mers, tandis que si l'on fait abstraction du frottement les choses se passent tout autrement (n** 113). C'est à mi-marée que se produiraient les plus forts courants.
La valeur maxima du courant est y^M^ h- N* ; soit, à cause de (46)f
2/iogv/sin^2/?L -+- sin'2yL ^
soit, à cause de (22),'
had /coSh^pL •+■ COS29L
yy/nî|-^î V COS/, 2/?L — COS 2 ^L
OU
soit
yv//>
Aa o,oooi4
h^a / coslpL -h cos'y L — i ^
n«4-<7« V COS J/? L — COS* ^ L *
. / i,483'-ho,436'— 1 ^ "' V 1, 483* -o, 436*
' YO,oooo33 -+-0,000039
soit, à cause de Ao^o^^^g, y = 5™,6i, environ 0^,28. Or, les vitesses observées sont dans les environs de o™,8o. Ainsi, il se trouve que les formules de première approximation, employées avec la valeur adoptée pour le coefficient de frottement /o, donnent des résultats conformes à l'observation, en tout ce qui touche à la hauteur et à la propagation de la marée dans le canal, mais s'en écartent complètement en ce qui touche la grandeur absolue des courants. II faudrait, pour retrouver les courants observés, prendre /« beaucoup plus petit; mais alors les retards calculés ne seraient plus conformes à l'observation.
Il parait donc nécessaire de recourir à une seconde approximation. C'est ce à quoi nous serons conduit aussi au Chapitre suivant pour la propagation de la marée dans une rivière se prolongeant indéfiniment.
B. Canaux de largeurs variables.
120. Formules relatives à un canal dont la largeur varie suivant une loi exponentielle. — Supposons, à présent, un canal de section rectangulaire sans marée propre sensible, dont la profondeur y soit constante et dont la largeur 6, supposée grande, par rapport à la profondeur, soit variable. La hauteur h comptée du niveau moyen du canal et le déplacement horizontal ^ de l'un de
ses points, sont donnés par les formules (4 his) du n® 94 où l'on fera ^ = o,
ce qui donne
(48, "^-iM-
On peut écrire la première en la multipliant par b^, qui ne dépend que de x et non de t,
(4o) ^oj^.^ /5!lM±^^^^o.
^^^' dt* ^•' àt ^'ydx^ b^ djo dx )
Supposons que la largeur 6« soit définie par une formule exponentielle
(5o) 6, — Kc-*«,
233 SECONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. f^^O]
OÙ K et A sont deux constantes, la première positive, fa seconde positive ou négative, suivant que le canal va en se rétrécissant ou s'élargissant quand on le parcourt dans le sens des x positifs. Ces deux constantes sont déterminées, si Ton se donne, par exemple, les largeurs du canal à ses deux extrémités. L'équation (49) devient ainsi
et si Ton pose
(5i) ^o? = Pcoso'/-hQ sina^,
d étant une constante arbitrairement donnée, les deux fonctions P et Q de a; seront fournies par les deux équations différentielles
Soit
A, B, a étant des constantes indéterminées. On aura entre ces constantes les deux équations
[c^'H-^y(«'-H^«)]A— /o-B =0, f<jk -h [(x*-+- ^y(a* -h A-a)] B = o.
Soit
Cela suppose ^^ ^ gt -r > o, ce qui aura lieu dans les applications, k étant
petit.
Les dernières équations deviennent
(<t'« -h gycx!^)k-f(7' B = O,
/Œ'A-+-(or'«-h^y«'*)B = o,
qui sont identiques a celles (3) du n^ 102, où Ton remplacerait les lettres (t, a, / par des lettres accentuées. Elles conduisent donc îi une solution pareille. On a
cr--^y 4
Par suite, les équations (8) du n® 102, en supprimant, pour simplifier, l'indice des lettres /?j et q^, donnent
puis les équations (lo) du même numéro donnent
Pz=eP*( Ccos^^ + D %\nqx) -»-e-''*(C'cos^;r -+-D' sin^^), Q__.g/,T( c sin^a? 4-Dcos^a:) -+-c~''^(C'sin^j7 — D'eos^^).
Remplaçant? et Q par ces expressions dans l'équation (5i) ci-dessus, on aura b^^, et, par suite, ^; puis Téquation (48) donnera h. On aura ainsi
, j (?/»* [C cos(o'^-hç^)-f-D sin(<T^-4-^a:)] ~" ^ l-he-''*[C'cos((7/ — ^a?) — D'sin(a^ — ^o?)]
(53) { et, à cause de (48),
/,__ y \ ^''^ [( — />C — //D) cos(Œ^-+-^j7)-h (---/?D -h<7C) sin(<T^ + çrar)] I "" ^(4-e-^*[( /?C'— ^D')cos((7i — 7^:) — ( /?D'-4-^C') sin(Œ/ — ^o?)] )
121. Simplification des formules si Ton fait abstraction du frottement. — Si Ton fait abstraction du frottement, soit/= o, les formules précédentes deviennent respectivement
V vsrv
/ I r C cos(ff^-+-^a?)-+-D sin(o'^ 4-^^)1
) ^^0 L-+- C'cos(œ/ — ^j:) — D'sin((j^ — ^a?)J'
y^ r— D cos(ff/ + ^a?) -4- C sin(o-^H- ^^)'l ~" ^0 L"-I^'ces(o-/ — ^j?) — C'sin(<T^- 7^)J
122. Succession de canaux de sections variables avec ou sans changements brusques dans les sections. — Supposons à présent qu'on ait à envisager un canal de dimensions variables. Divisons-le en plusieurs parties assez courtes pour que, dans chacune d'elles : i^ la profondeur y puisse être regardée comme
sensiblement constante; 2^ la largeur, si elle n^est pas constante, puisse être regardée comme variant sensiblement suivant une loi exponentielle. Pour plus de généralité, on peut même admettre qu'en passant d'une partie à la suivante il y ait changement brusque dans les dimensions transversales, de sorte que la suite des canaux considérés ait une forme comme celle de \^fig* 10. Nous les désignerons par les n"* 1, 2, ...,/,..., /i.
Fig. 10.
NPl ^ N?2
Appelons respectivement
^/> \\y h^\ 6„ $„ ht\
bh ?/» ht ;
^nj S«» "w»
les valeurs de 60» ^t ^ pour les parties n°* 1, 2, ..., t, ..., /i.
Soient ^0 1^ largeur de la partie n^ 1 à son origine; ^1 sa largeur à son extrémité.
Soient respectivement ^\ et ^a les largeurs de la partie n^ 2 à son origine et à son extrémité ; ^^ et ^3 les grandeurs analogues pour la partie n^ 2 ; p|., , pi celles relatives k la partie n® i; et p^,,, ^n. celles relatives à la partie extrême n** n. S'il n'y a pas changement brusque de largeur quand on passe du n^ 1 au n® 1 +1, on aura
Nous comptons les abscisses x du canal entier à partir de l'origine de la partie n® 1. Soient respectivement
les abscisses des extrémités des parties n^ 1, 2, ...,/,..., /i. On admet que
bi = K, e-*.^,
et les deux constantes K/ et k sont déterminées parce que, pour x = L/,, on doit avoir 6, = P|.^, et, pour x = L,-, on doit avoir 6/ = p,. Nous désignerons respectivement par
yn yî,
les profondeurs moyennes dans les parties n^ 1, 2, .... i, ..., n.
Ceci posé, pour la partie n^ i, on peut, pour trouver le déplacement horizontal ^/et la hauteur A, du niveau, appliquer les formules (53) [ou celles (54) et (55), si Ton néglige le frottement], en affectant de Tindice i les lettres
qui y entrent. Les expressions de pi et ^, seront données par les formules (52) ou (54)» où Y et A sont remplacées par y,, et ki et/ par/.
rr
Uy/'
applicable à des canaux de sections rectangulaires de grande largeur, en vertu de la formule {e) de la page i8o.
On aura ainsi, pour chaque partie de canal, quatre constantes inconnues
Mais les constantes affectées de l'indice i -\- i peuvent s'exprimer à l'aide de celles affectées de l'indice /, parce qu'à la jonction des parties n°' i et i-\- i on doit avoir
( ^7 ) lii^i = hi et y,.H, 6,4., ;,4., — yi bili,
puisque le niveau et le débit sont les mêmes de part et d'autre de la section qui sépare les deux parties considérées.
Les conditions (57) fournissent quatre relations permettant d'exprimer les constantes C/4.,, D/^.,, C]^,, D)^, en fonction de celles C/, D/, C^, D',; par suite, toutes les constantes, quel qu'en soit le nombre, s'expriment de proche en proche à l'aide des quatre seules constantes C,, D,, C',, D',. Celles-ci se déterminent ensuite d'après les conditions données aux deux extrémités du canal considéré, suivant les procédés indiqués au n° 103. On a ainsi le moyen d'étendre approximativement ces procédés à des canaux de sections très variables et suivant des lois quelconques.
Lorsqu'on fait abstraction du frottement, les formules de récurrence, qui donnent C/, D/, C), D', en fonction de C,, D,, C, , D',, sont peu compliquées.
