Leur transformation. — Posons

et prenons les déplacements $ et y; comme fonctions inconnues au lieu des coordonnées x' ^y .

Les équations (2) et (3) deviennent

Les équations (3) et (5), en prenant 5 et ï) comme inconnues, deviennent

et si l'on néglige les carrés des déplacements

da; dy ~ '

a68 DEUXIÈME SECTION'. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [147]

d'où, en posant

La condition à la surface (7) devient, pour y = y : ou, si V = o,

et si Ton néglige les carrés des déplacements

La condition de fond (i i) est

Si le fond est plan et d'inclinaison I :

(20) r}--!^ pour j — Ix;

s'il est horizontal

(21) Y] = o pour y—o,

en prenant l'axe des x au fond, dans le dernier cas, et l'origine des coordonnées au fond, dans l'avant-dernier.

147. Première approximation : quelques considérations sur la houle et le clapotis. — Étudions d'abord les équations générales de preniière approximation. Parmi les solutions qu'elles comportent, il s'en trouve deux particulièrement importantes : celles qui donnent lieu à des mouvements périodiques se propageant avec une vitesse uniforme et celles qui donnent lieu à des mouvements périodiques 5/a//o/i^air^^. En mer, ces deux espèces de solutions correspondent respectivement à la houle et au clapotis. Les vagues plus ou moins irrégulières qui se produisent en mer sous l'action du vent sont appelées des lames. Celles plus régulières qui se forment après que le vent est tombé, sous les seules in-

[147] CHAPITRE X. l'onde SOLITAIRE. 269

fluences de la pesanteur et de Tinertie de la mer, forment la houle. La vague que nous allons étudier et qui se propage uniformément, serait en mer, la houle simple ou régulière.

Près d'une rive abrupte, chaque onde incidente fait naître une onde par réflexion de la rive, et l'interférence des ondes directes et des ondes réfléchies donne naissance au clapotis simple.

Les équations (i5) donnent

9 étant une fonction de a?, y, t satisfaisant à l'équation Pour obtenir un mouvement périodique se propageant, nous devons poser

(a4) <p = Psin(ar/ — /w:r) 4- Q cos(o'/ — mx)y

P et Q étant des fonctions de y seulement. La période du mouvement est

La longueur d'onde est

puisque si x augmente de X, ç ne change pas et Ton retrouve à un instant donné le même état du fluide en tous les points équidistants de X. Si X augmente de ùix et t d'une quantité A^ telle que

, . Ao? 0- i

ç ne change pas non plus, de sorte qu'un observateur qui cheminerait le long du canal avec la vitesse uniforme -— croirait toujours voir les mêmes particules du fluide. C'est pourquoi cette vitesse se nomme la vitesse de propagation de Vonde,

Il s'agit de savoir si l'équation (23) comporte des solutions de la forme (24) compatibles à la fois avec les conditions à la surface et au fond. La substitution donne, pour les deux fonctions P et Q,

dy^ ' df

Comme précédemment, nous désignerons, dans ce qui va suivre, les sinus, cosinus et tangentes hyperboliques par sin>i, cos>i, tang^, c'est-à-dire que nous poserons

^X . g~X ^X I g — X gX g — X

(28) sinA^== — j cos/kar= y tangua:

On tire, par suite, des deux dernières équations

( P =: B cos/i/n (y — 6), ^"^^^ 1 0:=Ccos^m(j-c),

B, C, ft, c étant des constantes arbitraires. Il résulte de là

cp =: B cos/4m( j — 6) 810(0"^ — mx) -h C cos/4/w(j — c) cos{vt — mx).

Par suite,

Ç,= -tÎ- =im[— B cosaC^ — b) cos{<rt — mx) -+- CcosA^nCy ■— c) sin(o'^ — mx)],

d*oii, à cause de (i5) et en se bornant aux solutions périodiques, d'ailleurs seules durables.

cr«^/'

( -h BcosAm(/ — b)— -CcosA/w(y — c) cos(af — mx), / — Ccos/km(/ — c) 4- -BcoS/im(y — 6) I sin(ff^ — mx),

1 Csin/^m{y — c) -4- - Bsin/,m(7 — b) cos{<Tt -— mx)

-h BsinAm(j — ^) — ^C sinAm(7 — c) sin(ff/ — mx).

Si Ton néglige le frottement

Ç — 5(B cosAm(7— 6) cos(o-^ — mx) — CcosAm(/— c)sin(9^ — mx)],

m Y} = — [C sin/km(y — c)cos(ff^ — mx) -h B sin/im(y — 6)sin(af — mx)].

La condition à la surface (7) donne les deux relations

— mBcosAm(y — b) -h -f- — rrj B sinAm(y — b) — ^ C sin^miy — c) =0, -HmC cos/km(y — c) — -^^ — ^^ C sin/,m(y — c) -h - BsinAm(y — 6) =0.

[148] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 27 1

Si l'on néglige le frottement, on a

tangA/n(y— 6) m tang^mCy-- c) = -— •

On tire de là 6= c, et, par suite, par un choix convenable de Torigine des coordonnées, en appelant B' la constante — jp>

( 5 = B'cosa'W7COs((t^ — ma?),

( m = — B'sin/j/wj sin((T^ — ma;)

avec

(3i) lang^my

La valeur correspondante de la hauteur h de la vague, c'est-h-dire la valeur du déplacement vertical yj pour y = y, est

(Sa) Ar — B'sin/imy sin((T^ mx).

Telles sont les expressions les plus générales des déplacements concernant la houle simple ou vague transmissible avec vitesse uniforme, compatibles avec la condition à la surface. Si le fond est horizontal et qu'on le prenne pour axe des a?, elles satisfont aussi à la condition de fond, k savoir : y) = o poury = o. La lettre y, coordonnée de la surface d'équilibre, représente alors la profondeur constante du canal considéré.

Mais, si le fond n'est pas horizontal, il est impossible, par ces expressions, de satisfaire à la condition au fond. D'où cette conclusion : la houle simple ne peut exister que dans une portion de mer de projondeur sensiblement constante.

148. Vitesse de propagation de la houle. — Soit alors, d'après les équations (25), (26), (a7).

la vitesse de propagation de la vague et X = — sa longueur, l'équation (3i)

devient

2 7ry

tangA ^

Telle est la vitesse de propagation d'une onde de longueur X dans un canal de profondeur y.

Si la vague est très longue, c'est-à-dire si le rapport ^ e^i extrêmement petit, le radical devient sensiblement égal à i, et Ton trouve la formule de Laplace

(34) wo— v^é'y»

qui s'applique ainsi à des vagues de grandes longueurs. La vague-marée est dans ce cas, sa longueur étant celle du demi-tour de la Terre pour les ondes semi-diurnes et du tour entier pour les ondes diurnes.

Si, au contraire, la vague est très courte par rapport à la profondeur y, c'està-dire si ^ est très grand, on a sensiblement

tangyi

îTTY ttzy

2 7ry __ e >• — e >^

149. Trajectoires. — Il est intéressant d'étudier les trajectoires des particules autour de leurs positions d'équilibre. Les équations (3o) donnent

coS/^my %\\\\my

Ce sont des ellipses dont la différence des carrés des demi-axes est constante et égale à B'. Elles seraient homofocales si elles étaient placées concentriquement. Pour my très petit, elles se réduisent sensiblement à des oscillations rcctilignes horizontales; pour my très grand, à des oscillations circulaires, parce qu'on a alors sensiblement

e"'y cos/imy-- sin/tmy ^^

Dans la vague-marée, la longueur d'onde étant très grande par rapport à la profondeur, la quantité

27ry

est extrêmement petite. Donc les équations (3o) se réduisent, en première

approximation, à

^= B'cos((7^ — m^),

y} = — W my sin(o"^ — mx),

[151] CHAPITRE X. — l'oSDE SOLITAIRE. ^7^

et montrent : i® que roscillation verticale est très petite par rapport à l'oscillation horizontale; 2** que celle-ci est à peu près la même pour tous les points de la même verticale. Ce sont les deux hypothèses admises par Laplace dans la théorie des marées et elles se trouvent par là justifiées. Ce sont aussi celles que nous avons admises aux Chapitres précédents. L'équation (32), en y regardant my comme très petit, devient

dl h =z — B'my sin(a/ — mx)^=^ — y-~y

ce qui est bien conforme à l'équation de continuité employée au Chapitre précédent.

150. Ondes stationnaires ou clapotis. — Nous ne nous étendrons pas ici sur les ondes stationnaires ou clapotis qui, elles, sont possibles avec toutes les lois de profondeur de la mer. On en trouve un exemple, en ajoutant à la solution (3o), celle obtenue en changeant a en — a ; ce qui ne modifie pas m en vertu de la formule (3i). On aura ainsi

^ — 2B'C0Syimy C0S/WJ7C0S(T^

m =z 2B' sin/,/n/ sin/n:rcos(7/, /i = aB' sinyi/wy sin/no; coso-/.

Tous les points oscillent à l'unisson. La pleine et la basse mer arrivent en même temps partout. Les trajections sont des lignes droites

- zr tang/»/njtang/nar.

Ce sont, à une première approximation, les caractères du clapotis ou onde stationnaire. Il se produit près des rivages abruptes, parce que la vague venant du large est réfléchie par la rive, de sorte que l'on a précisément, comme dans les équations que nous venons d'obtenir, le résultat de la superposition de deux ondes de vitesses égales et opposées. KirchofT, dans un très intéressant Mémoire, a donné la solution de Tonde stationnaire dans un canal à fond plan et incliné.

Nous allons à présent nous occuper d'une onde de nature très différente : l'onde solitaire, dans laquelle les trajectoires des particules fluides sont paraboliques, au lieu d'être elliptiques.

151. Propriétés expérimentales et mode particulier de propagation de Tonde solitaire. — Lorsque, sur un canal horizontal, dont la surface est parfaitement calme, on vient à produire subitement une intumescence, elle se régularise très

274 DErXIÈME SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [151]

rapidement et se propage alors avec une vitesse sensiblement constante, en conservant sa forme à peu prîjs invariable pendant un temps fort long. Une intumescence qui se propage ainsi se nomme une onde solitaire . John Scott Russeil (*) a montré expérimenlalement que sa vitesse de propagation est égale à

Y étant la profondeur normale du canal et h^ la hauteur du point culminant de Tonde au-dessus de la surface normale du canal, y ~^ ^o étant, par suite, la distance du sommet de Tonde au fond du canal.

On peut provoquer Tonde solitaire de diverses manières. Supposons, par exemple (Jig. ii), un canal rectanguliare dont le fond horizontal est AB. Le

Fig .li.

canal est censé prolongé indéfiniment du côté B et limité en A par une paroi verticale AG. Le niveau de Teau est ab. A une petite distance de la paroi AC se trouve une vanne DE. Versons un certain volume d'eau CEaû? dans la caisse formée par la vanne et les parois du canal; puis, levons brusquement la vanne. Le volume d'eau Œad va s'étaler sur la surface ab de Teau du canal, puis, après quelques agitations rapidement éteintes par le frottement, former une intumescence régulière, à apparence sinusoïdale, et qui semblera courir, sans déformation, à la surface du canal avec la vitesse indiquée.

Des poussières colorées jetées dans le canal permettent d'observer les trajectoires décrites. On observe ainsi que chaque particule fluide décrit ici, non pas une trajectoire fermée, comme dans les ondes précédemment étudiées, mais une sorte de demi-ellipse. La théorie nous enseignera que c'est plutôt un arc de parabole. Pour les points de la surface, la flèche verticale de cette courbe est égale a celle h^ de l'intumescence. Elle est moindre pour les points situés audessous de la surface. Elle décroit de la surface où elle est h^ au fond où elle est nulle, proportionnellement à la distance de la particule considérée à la surface primitive du canal.

(1) Voir Annalex des Poids et Chaussées, i^ semestre i837, et Modem sjrstem of Na{>al Architec^ tare, London, i865; Day and Son.

[151] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 270

La corde horizontale de la trajectoire d'un point quelconque est telle, que son produit par l'aire de la section du canal est égal au volume de l'intumescence. Elle est la même pour tous les points du canal.

Ainsi, tandis que dans les phénomènes précédemment étudiés tout est périodique, chaque particule fluide revenant périodiquement à son point de départ, ici le passage de l'intumescence sur une section du canal a pour effet de déplacer définitivement les particules fluides qui étaient d'abord dans cette section et de les transporter dans une nouvelle section, située à une distance de la première égaie à la corde commune à toutes les trajectoires et du côté oii a lieu la propagation.

Il va de soi que cela n'a lieu qu'à partir du point du canal où l'intumescence a pris sa forme régulière et invariable.

Le mouvement de chaque particule n'a ici, d'une façon sensible, qu'une durée limitée, à savoir : la durée du passage de l'intumescence en ce point, bien que théoriquement cette durée, comme nous le verrons, soit infinie. A cause du frottement que nous négligeons, elle est finie et nous pouvons nous représenter ce qui se passe de la manière suivante :

Tous les points de la surface décrivent des arcs paraboliques identiques, en partant de la surface primitive du canal sur laquelle ils se trouvent avant d'avoir

Fig. 12.

été atteints par le passage de l'intumescence, pour y revenir après qu'elle a passé. Représentons ces arcs (y?^. 12) par les lignes pointillées

00', II', 22', 33', 44', 55', 66', 77', 88' ou «,8'.

Considérons l'instant / où l'agitation, qui est supposée se propager de gauche à droite, commence à atteindre le point «g. A ce moment, ce point se met donc en marche sur sa trajectoire «gS'; il est encore à l'origine de cette ligne en a^.

Le point 7 qui a été atteint plus tôt, a alors déjà parcouru une certaine portion, telle que 7^7 de sa trajectoire. Le point 6 a parcouru une portion plus grande, telle que Ga^, et ainsi de suite. Les points v5,4, 3, 2, i ont été atteints de plus en plus tôt et ont parcouru des portions de plus en plus grandes Saj, [\a^y 3^3, 2^2» ï^o jusqu'à ce qu'on arrive en un point o, qui a parcouru sa trajectoire entière et est revenu en a© à la surface primitive. C'est celui qui, à l'instant oonsidéré, est atteint par la queue de l'intumescence.

Les points à gauche de a^ sont rentrés dans le repos, l'intumescence les ayant

276 DEL'XIÈME SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. f'^t]

dépassés; ceux à droite de a^ sont de même en repos à l'instant considéré, l'intumescence ne les ayant pas encore atteints, de sorte que la surface libre à cet instant est aa^a^a^^a^at^a^a^a^a^h.

A un instant postérieur, ce serait la même surface où l'intumescence aoa^a^ se trouverait transportée plus loin.

On peut produire une onde solitaire creuse ou négative par l'opération inverse de celle indiquée plus haut, c'est-à-dire en supposant (yî^. 1 1, p. 274) que le niveau CE soit inférieur au niveau addw canal. Alors, en levant brusquement la vanne DE, une partie de l'eau du canal tomberait dans l'auge ABab; la surface du canal se creuserait et ce creux se propagerait. Mais l'onde négative est très peu stable et, par suite, très difficile à produire.

On obtiendrait encore une onde positive en supposant, au lieu d'une vanne, un piston DE d'abord en coïncidence avec la paroi AC et qu'on amènerait en DE avec une vitesse d'abord croissante, puis décroissante jusqu'à zéro.

Le mouvement inverse ferait naître, sauf la difficulté inhérente à sa formation, une onde négative.

La première se réalise à peu près à l'avant des bateaux en marche. On voit deux intumescences symétriques et inclinées sur les rives qui accompagnent le bateau; deux ondes négatives se forment aussi souvent et l'accompagnent à son arrière.

Le phénomène du mascaret est naturellement aussi un phénomène d'onde solitaire réalisé d'une façon plus grandiose, plus complexe aussi.

Nous avons vu que la vitesse de propagation d'une onde dans un canal croît avec la surélévation h de l'eau au-dessus du niveau naturel des eaux du canal. Il s'ensuit que les vagues qui se succèdent à l'embouchure d'une rivière pendant la marée montante se propagent de plus en plus vite; il s'ensuit qu'elles tendent à se rejoindre; mais, si les dernières venues doivent, en raison de leurs plus grandes vitesses de propagation, rejoindre celles qui les ont précédées, elles ne sauraient les dépasser; car une fois deux ondes réunies, elles n'en forment qu'une se propageant avec une vitesse unique. C'est la réunion d'un grand nombre de vagues se succédant ainsi à marée montante qui forme le mascaret.

Cette explication, due au grand ingénieur Brémontier, a été acceptée depuis avec quelques variantes par Dupuit et aussi par M. Bazin. Elle fait concevoir la possibilité du phénomène. Elle n'explique pas pourquoi il se produit sur certaines rivières et pas sur d'autres. Les rivières dont les embouchures sont barrées à hauteur de mi-marée paraissent plus sujettes au phénomène du mascaret. Il semble que les vagues, qui, à mi-marée, se succèdent très rapidement, viennent se heurter en quelque sorte contre la barre où leur vitesse se trouve alors subitement et momentanément ralentie, ce qui les rapproche déjà et les porte à se jeter les unes sur les autres, comme feraient les rangs successifs d'une charge de cavalerie qui rencontrerait subitement un obstacle inopiné. Ce pre-

[152] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 277

mier rapprochement des vagues doit ensuite favoriser leur jonction qu'achèvent les différences dans leurs vitesses de propagation.

152. L'équation à dérivées partielles qui régit la hauteur d'une intumescence de forme invariable ou non. — La théorie de Tonde solitaire a été donnée d'une façon complète et magistrale par M. Boussinesq, non seulement pour l'onde solitaire de forme invariable, mais aussi, à de certains égards, pour des intumescences se propageant avec modification dans leur forme. Nous allons essayer de résumer les principales propriétés de ces ondes, en insistant surtout sur l'onde de forme invariable ou onde persistante. Nous suivrons toutefois une marche un peu différente de celle adoptée par M. Boussinesq pour mieux rester en harmonie avec ce qui précède.

Nous allons étudier la marche d'une intumescence supposée formée dans un canal de grande largeur où la vague est supposée cylindrique, de sorte qu'il suffit d'examiner ce qui se passe dans une de ses sections transversales, c'està-dire dans une section longitudinale du canal, section choisie à volonté.

Reprenons, à cet effet, les équations (12) de l'Hydrodynamique pour un liquide soumis uniquement à l'action de la pesanteur et en négligeant le frottement, en sorte que V =/= o. Nous admettons toujours que le déplacement horizontal $ est sensiblement le même sur une même verticale, en sorte

que -— = o. Par suite, l'équation de continuité se réduit à

d\ df\ d^ df\

dx dy dx dy '

d'où

d't\ dx

1( dx

le fond du canal étant supposé horizontal et pris pour axe des x, de sorte que Y) = o poury == o.

Si l'on appelle h la valeur du déplacement vertical y), à la surface du canal, c'est-à-dire pour j = y, on aura, comme précédemment.

rc.

et, par suite,

L'avant-dernière équation (12), à cause de -r- =0 et V =/= o devient

ày

ou, en remplaçant y; par sa valeur (36),

d'où, en multipliant par dy et intégrant depuis la surface ou depuis y = y :

po-p^- V [^^^--^^-^ y -JF — r^J

en désignant par po la pression atmosphérique. On tire de là

dp g dh , ,1 ^^y'^^^ dt^ , ,

(39) "Ir-yT.'y-^y^^'^f—^ — (-^'--y')-

La première (12), toujours à cause de V=/= o, peut s'écrire :

dt* \ ^ dx) ^\s^ dit ) djg— d^'

ou, à cause de (38) et (89).

Al h\^

à^f di\ (gy à^.Yl\à±gdh J Z___^ / » ^^

dt* y'^ dx)'^\y dl' y*) Ow~ y âx^^ î*^ "^ ay» dx ^■^ ''^ ''

Les deux fonctions inconnues ^ et A étant, la première par hypothèse, la seconde par nature, indépendantes de y, cette équation ne peut pas être satisfaite rigoureusement. Gela prouve qu'il n'est pas possible que les déplacements^ soient rigoureusement égaux sur une même verticale. On ne peut qu'égaler les valeurs moyennes des deux membres sur chaque verticale.

Égalons ces valeurs moyennes en multipliant les deux membres par dy, intégrant de o à Y et divisant le tout par y. Nous aurons

d£» V ^ à^J "*" U "^ 3 dl* ) djc~ a àjc 3 dx

d dt

'?/ , <)?\ dh I d'hdh , ,^ dt'- \

[153] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 279

Mais de (87) on tire

d'oii

dt^ ôx

{h^yyi^

Ce sont les deux dernières équations qui régissent les deux fonctions inconnues $ et h. On remarquera qu'elles ne diffèrent de celles (5) de la page 228 que par le dernier terme de (40- ^^ terme n'est plus négligeable ici en raison de la courbure prononcée de l'intumescence que nous avons à étudier, et c'est pour trouver ce terme que nous avons dû recourir à une analyse plus complète que dans les précédents Chapitres. On tire de (40)

dx ât^ "" ^ ât^ Par suite, l'équation (40' différenciée par rapport à x, donne

équation à dérivées partielles du quatrième ordre qui régit la hauteur h de l'intumescence à l'instant / et au point dont l'abscisse initiale était x.

Le déplacement horizontal ^ de ce même point est ensuite donné par l'équation (4o). Son abscisse actuelle est donc

et, par suite, si l'on voulait avoir les inconnues à l'aide de cette abscisse x\ il faudrait, à l'aide de la dernière équation, en éliminer x.

L'équation fondamentale (42) est plus exacte, plus compliquée aussi que celle analogue obtenue par M. Boussinesq. Mais elle se prête tout aussi facilement à l'étude de l'onde solitaire la plus intéressante, celle qui se transmet sans altération dans sa forme. Je commencerai par elle ; je résumerai ensuite brièvement les propriétés des ondes de formes variables, données aussi par M. Boussinesq.

153. Intégration dans le cas de Tonde invariable. — Pour qu'une intumescence se transmette sans déformation et avec une vitesse de propagation constante (0, il faut que les deux inconnues du problème, à savoir: Ç et h, considérées comme fonctions du temps t et de l'abscisse actuelle x' de la section de l'intumescence à laquelle elles se rapportent, ne dépendent que de la différence x' — (!)/• De là, et à cause de

(44) j?'— ck)^ = a?— -ûj^-hj,

28o DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DYN.VMIQUE DES MARÉES, ETC. [1^3]

résulte que ces deux inconnues peuvent aussi être regardées comme des fonctions de la seule différence a? — co^; l'équation (42) devient par suite

d'où

Â et B étant deux constantes arbitraires. Mais, si nous admettons qu'à une grande distance l'intumescence devient insensible, on devra, pour o? = oc, avoir

d'où

B=io, Ai=:y&)«-+-^>

et faisant

en sorte que:; est la hauteur d'un point de la surface de l'onde au-dessus du fond du canal

oi^ d^z g ' '9. •/'&)'

3 dx^ 2 5* z^

d'où

6 \dx J 2 z 2:3* '

C étant une constante. Mais, de ce que, pour x = qo, on a

àz

il résulte

Posons, pour abréger,

<à* — gSt — g{ho+)

Zq étant une longueur arbitraire et A^ = s^, — y. L'équation ci-dessus devient

[155] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 28ï

154. Vérification de la loi de Scott Russell pour la vitesse de propagation. — On voit, d'après cela, que :; est égal au plus h s^; de sorte que z^ marque la hauteur du point culminant de l'onde au-dessus du fond du canal, et l'équation (46) vérifie bien la loi trouvée expérimentalement par Scott Russell, à savoir que : la vitesse de propaffation o) d'une onde solitaire est égale à yjgz^^ z^ désignant la profondeur de Veau au droit du sommet de l'onde.

155. Forme de Tonde. — L'équation (47) permet d'ailleurs de trouver la forme d'une telle onde. Mais, pour cela, il est nécessaire d'y introduire l'abscisse actuelle x' d'un point de l'onde à la place de son abscisse initiale. On a

da: âa:' ùx ÔJc' \ dx ) '

ou, à cause de (4o) et (45),

dz dz y dx ôx' z

d'où

ou, en reprenant l'inconnue,

et posant

en sorte que Aq ^^t I^ hauteur maxima de l'intumescence mesurée à partir de la surface libre du canal supposé en repos

où, si Ton néglige le rapport — ? on trouve

qui est, aux notations près, celle de M. Boussinesq. Il n'est pas plus difficile de conserver l'équation plus exacte (47 bis) ]qui peut s'écrire

y'(y-+-^o) On en tire, comme on le vérifie aisément.

\ào) V K

(48) o=, + cos.(^Y/j^^-^^

cosa désignant un cosinus hyperbolique etC la constante d'intégration. La forme invariable de l'intumescence est donc donnée par l'équation

— r^ — I -h cos/,

ou, en choisissant convenablement l'origine des abscisses,

(49) -^ = , + cosY^-.

On voit, comme nous l'avons déjà constaté, que h^ représente la hauteur du sommet de l'intumescence, que celle-ci est symétrique par rapport à la verticale de ce point et qu'elle s'approche asymptotiquementdu niveau naturel du canal. Dans les explications préliminaires que nous avons données au début de ce Chapitre, nous avons, pour simplifier le langage et la figure, supposé qu'elle rencontre le niveau naturel à distance finie. 11 s'ensuivait que chaque particule fluide ne devait mettre qu'un temps fini à décrire sa trajectoire : le temps que rintumescence mettait à passer sur elle. Mais si celle-ci se prolonge asymptotiquement de l'abscisse — qo à l'abscisse h-qo, chaque particule ne doit tendre aussi qu'asymptotiquement aux deux extrémités de sa trajectoire,* c'est-à-dire mettre un temps infini à la parcourir. C'est, en effet, ce que nous constaterons. Mais avant, il est utile de calculer le volume de l'intumescence.

156. Volume de rintumescence. — Ce volume, que nous appellerons Q, est donné, en supposant au canal une largeur unité, par la formule

Posons, pour abréger,

hdx'.

3/io x' — (xït — C

On aura

«=V'wr"*^-

Or, en vertu de (48),

2 Ao 2 /t(

i-f-cos^a e«-he-«^

soit

[157] CHAPITRE X. — l'oXDE SOLITAIRE. 283

d'oii

(52) fhd(X-^S^/io-~^y f hdoL.-t^K

157. Trajectoires des points de la surface. — Cherchons à présent la trajectoire d'un point de la surface du canal. En se rappelant qu'on a posé

l'équation de continuité (4o) équivaut à

d'où

djc A 4- T dx h -h y

x^=œ' -{- I - dûc' =z jt' 4- i / ^ ... ^" / h da,

OU par (52),

C étant une fonction du temps se réduisant ici à une constante parce que (n° 153) X — dit ne peut être qu'une fonction de jc' — dit.

Pour avoir la trajectoire du point caractérisé par le paramètre .r qui définit sa position au repos, et dont les coordonnées actuelles rapportées à la surface du niveau naturel du canal sont x' et A, il faut éliminer le temps, et par suite a, entre les équations (54) et(5i). Or, on tire de (54)

Portant dans (5i), il vient

/ecx L ^^ft t' — .T -hC [ , , /y 4- A,) , , ^,.1

(55) ^=y^k--~^,ïr-vW-^ -(x-.^C')|,

équation d'une parabole a axe vertical.

L'ordonnée maxima a lieu pour

(56) a:'-x-,-C-- ih,sJ^L±^

et sa valeur est

h- Hq,

comme cela doit être et comme l'indiquent les expériences de Scott Russell.

Le second membre de (54) donne la demi-corde de la courbe. La corde c est donc

soit, en vertu de (53),

ainsi que nous l'avions annoncé comme conforme à l'observation.

158. Trajectoire d'un point quelconque. — Par hypothèse, tous les points d'une même section verticale ont les mêmes déplacements horizontaux, et, par suite, même abscisse x' à un instant donné /.

L'équation (36) donne pour le déplacement vertical y) d'un point situé primitivement à la distance y du fond,

âx

Le second membre est le même pour tous les points d'une verticale. Donc, il

en est de même du premier. Le rapport - est donc le même que pour un point

de la surface, soit

Ainsi, les déplacements horizontaux sont les mêmes pour tous les points d'une section et le déplacement vertical d'un point est proportionnel à sa dislance primitive/ au fond du canal. Donc, sa trajectoire sera encore une parabole ayant même corde c que celle décrite par les points de la surface; mais sa Qèche, au lieu d'être /îq, sera

ce qui est encore conforme à l'expérience.

159. Durée infinie du parcours d'une trajectoire. — Les extrémités de la trajectoire d'un point de la surface libre, c'est-à-dire le point de départ de la sur-

f 160] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 285

face primitive et le point de retour à cette surface, sont donnés par A = o, soit, en vertu de (5i), par

e^ :zz 00, e* ==: o,

a = ih 00,

ou, enfin, à cause de ( 5o), par / = di oo.

Tous les points sont atteints par la tête de Tonde (x' = -hco) à l'instant /= — 00 et ne reçoivent la queue de Tonde (x' — oo) qu'à Tinstant t = -h ce. Ils mettent donc tout l'intervalle de/ = — qo à / = -f-aoà parcourir leurs trajectoires.

Le résultat s'applique de lui-même aux points non situés a la surface libre.

160. Équations différentielles se rapportant aux intumescences de formes variables, mais de faibles hauteurs et de faibles courbures. — Revenons à l'équation fondamentale (4^) applicable aux intumescences en général, même

de formes variables. Mais supposons-y, à présent, - assez petit, pour qu'on en puisse négliger le cube. L'inclinaison ^, d'un point de la surface de Tonde sera elle-même très petite, et la courbure proportionnelle à -c-75 sera encore plus petite et de Tordre du carré de -^-r

fi' h

D'ailleurs, Taccélération verticale -^ est évidemment très petite par rapport

à celle g d'un corps qui tombe librement à la surface de la terre, de sorte qu'on peut écrire d'abord Téquation ainsi

D'ailleurs

d'où, en posant,

(39) ^l=gy^

^^^^ dC^ "° da;^ "■ y âl^ '^ dx^\ 2 '^ 3 Ôt^

Le second membre étant très petit, on peut le négliger dans une première

approximation. Alors l'équalion devient dont rintégrale générale est

qui représente deux ondes se propageant respectivement avec les vitesses coo et — (Oo, c'est-à-dire deux ondes cheminant en sens contraires. Nous nous proposons d'étudier Tune d'elles, par exemple, celle de vitesse (o,,, en sorte qu'à une première approximation

(6i) /i=: F(a: — ci)oO>

d'où

/ « , . V dh dh

Tenant compte de cette relation dans le second membre, l'équation de seconde approximation devient

ât* "^^ dx^ ~ "^^ dx

« Vay 3 âxy

Au même degré d'approximation il est facile de vérifier, en posant

X' :=zx -h$,

prenant x' et t pour variables au lieu de x et /, et faisant le changement de variable en ayant égard à (4o)> d'où

â.r' àl y ~h h

âx dx y

que la forme de l'équation subsiste, c'est-à-dire que Ton a

(^'^ Tt^ - ^' ^ == ^^ 5^ (^ -^ 3 d^

Telle est l'équation étudiée par M. Boussinesq.

Lorsque h est connu, on en déduit la vitesse moyenne u dans la section d'abscisse x' à l'aide de l'équation de continuité

.a'i\ àh â(y-hh)n

[i61J CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE.* 287

qu'on peut réduire le plus souvent, à cause de la petitesse supposée au rap-

, h , port -j a

161. Simplifications dans le cas de Tétude d'une seule onde. —Nous avons vu qu'à une première approximation, Téquation (60) devient (60 bis) qui peut se réduire, en raison de ce que nous n'étudions qu'une seule onde, à Téquation (61 bis)

En portant la solution de cette équation dans le second membre de (62), on aura une équation de seconde approximation. Celle-ci peut aussi, pour Tétude de Tonde unique que nous avons en vue, être remplacée par une équation du premier ordre, à savoir, celle-ci

âh dh ô /3A« y» â^h\

,^«. âh dh d (

âx' \ 4y 6 do?" Appelons, en effet, ^ le premier membre de cette équation, nous aurons

Mais, dans le dernier terme, on peut remplacer h par sa valeur de première approximation tirée de (61).

Cette valeur donne, pour la parenthèse, une expression de la forme

de sorte que, si/désigne cette parenthèse, on a

à/__ âf

âi-^'^'â^''

Il en résulte

df-W^"^' âx' de "^^ ôx'^ \ 4y "^ 6 âx'^y

On a, d'autre part,

jj/ â^h d^h J^f^ y* â^h

âx "~ âx' ât "^ "^ âx'^ "^ "' dx'^ V 4y "^ 6 dx'\

De ces deux équations, on conclut soit, en vertu de (62),

d'où

àt " "» ~dx^ ~- ^'

représentant une onde qui se propage avec la vitesse — co^, soit vers les x' négatifs.

Comme nous n'étudions que les ondes qui se dirigent vers les x' positifs, nous devons faire ç = o ou 'j» =0. On a donc bien l'équation (66) pour les ondes que nous considérons.

Nous allons en déduire quelques propriétés générales de ces ondes.

162. Vitesse d*une particule fluide. — L'équation de continuité qui, avec les variables/ et a?', est

ta \ àh du

donne, en remplaçant -^ par sa valeur (66),

puisque, le canal étant au repos avant l'existence d'une intumescence, on a M = o pour A = o.

163. Variations de niveau au droit d'une particule fluide. — Si l'on veut étudier les vitesses de variation d'une fonction

au droit d'une particule fluide déterminée dont Tabscisse x' varie avec le temps, il faut prendre sa dérivée totale :

d¥ ÔF ÔF dx^ dF dF

dt dt ôx' dt dt dx'

En particulier, pour la dérivée totale -j- de la hauteur d'une intumescence au droit d'une particule déterminée, on a

dh dh dh

dt dt dx'

[164J CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 089

OU, en remplaçant ^ et u par leurs valeurs (66) et (68), on obtient

en posant, pour abréger,

(70) K^-«.(A + ^^L JH.[-^ +^- + I-(^,)J

164. Formule auxiliaire. — Considérons à présent une intégrale étendue à toute i'intunoescence; soit

ÔK

dx'

/ f{x',t)dx'

dont on veut connaître la vitesse de variation -j au droit d'une particule donnée

de fluide d'abscisse x\ L'abscisse x' doit être regardée comme une fonction du temps / et de savaleur initiale a?. Par suite, en reprenant, pour un instant, a; comme variable, l'intégrale devient

L'abscisse x qui caractérise ainsi une particule donnée du fluide par sa posi* tion initiale est indépendante du temps, de sorte que

^^ dn^^t)^""

dx , — dx.

Mais l'équation de continuité donne

ôx' y / A\~'

dx y + h \ ' y

d'où

r*'[âF(a:',t) dF(.r',l) F(x',t)/ /,\-* dhl ^ ,

-L [--W--^-^^"- -y~V+y) di\^^'-

Admettons que F soit de même ordre de grandeur que -> de sorte que, comme L. — L 37

agO DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [165]

nous négligeons les quantités du troisième ordre relatifs à - et k -r-> nous pouvons, dans le dernier terme, remplacerai -+- -) par l'unité et écrire

€i/i ôh â/i dh

dt dt ' ôx " " dt '

puisque le produit Fw^-est du troisième ordre. Nous aurons donc, en écrivant F au lieu de Y{x\ t) :

D'ailleurs

et si F s'annule aux deux limites

Par suite ou simplement

à cause de l'équation de continuité

âh au

Dans les applications que nous aurons à faire de cette formule, F contiendra toujours en facteur h ou quelqu'une de ses dérivées y-;7, ^^iV — O"*» ^^^^ sup-

posons que l'intumescence, vers ses extrémités, se confond avec le niveau primitif de façon que sa hauteur y soit nulle, sa tangente horizontale, sa courbure nulles

aussi; soit h = -.— = ^, — o, de sorte que la condition F -- o aux limites de

l'intégration se trouvera toujours remplie et la formule (71) sera applicable.

165. Volume d'une intumescence. — Chaque intumescence, même de forme variable, comporte un certain nombre d'éléments invariables parmi lesquels se

[166] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 29I

trouve naturellement son volume que nous appelons Q Rappelons que la formule (53) donne, pour Tonde invariable,

{11 bà) o-4Aoyy//^^%

qu'on peut généralement réduire à

166. Vitesse du centre de gravité d'une intumescence; sa vitesse de propagation. — Soient x^., y]^ les coordonnées à l'instant / du centre de gravité d'une onde, rapportées à la surface libre initiale du canal, on aura

Qx'y— / hx'dœ',

f Qfiy-l \ h}dx'.

L'onde invariable est symétrique, de sorte que le centre de gravité est sur l'axe de symétrie et l'équation (^i )

/ * ?\*' en posant

yV y

donne facilement

{7^ bis) "^y-- '^

Les composantes de la vitesse du centre de gravité d'une onde sont données par les formules

-f- • Il y^-4- *

^dt-'dtj """^-^^ ^dt-dlj i"^^'

ou, par application de la formule (71) :

292 DEUXIÈME SECTION. — THÉOftiE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [^67]

La dernière, en vertu de (67), donne

comme on s'en assure en observant que tous les termes s'intègrent et que les résultats des intégrations s'annulent aux deux limites. Ainsi, au degré d'approximation adopté, le centre de gravité d'une intumescence, même de /orme variable, décrit une droile horizontale.

D'autre part on a, à cause de (6G),

ou, à cause de (73) et (78 bis) ,

(74) -^^slg(y + U).

Pour une onde de forme invariable, le centre de gravité étant au tiers de la hauteur raaxima h^ de l'onde, on a

d'où

due'

-^s/giy-i-h,),

qui est bien la vitesse de propagation que nous avons trouvée pour une telle onde.

167. Énergie d'une intumescence. — L'énergie totale d'une intumescence se compose de son énergie potentielle et de son énergie cinétique. La première est manifestement le travail qu'accomplirait la pesanteur si Tintumescence venait à disparaître. C'est donc le produit du poids de l'intumescence par la hauteur

[168] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 298

de son centre de gravité au-dessus du niveau naturel du canal, soit

en appelant n le poids spécifique de l'eau.

En confondant le carré de la vitesse totale d'une particule avec celui de sa vitesse horizontale, l'énergie cinétique est

OU approximativement

OU, en remplaçant u^ par sa valeur (68) et se bornant au premier terme, c'està-dire négligeant A%

Or chaque élément de l'intégrale représente le travail qu'effectuerait la pesanteur si l'élément d'intumescence de poids Uh dx venait à s'étaler sur la surface du canal. Le tout représente donc le travail que fournirait le poids de Tintumescence si elle venait à disparaître. L'énergie cinétique est donc égale à l'énergie potentielle nQyjjr et l'énergie totale est 2nQY)^. Elle est constante puisque y]^ ne varie pas a^ec le temps ^ non plus que le volume Q de V intumescence.

Pour l'onde invariable, l'énergie E est donc

ou à peu près

168. Moment d'instabilité. — Les résultats qui précèdent sont des conséquences naturelles des principes généraux de la Mécanique. Mais voici une nouvelle grandeur introduite dans la question par M. Boussinesq et dont la constance est beaucoup plus inattendue. M. Boussinesq la désigne sous le nom de moment d'instabilité et la représente par la lettre M. Elle est définie par l'expression

Nous allons vérifier qu'elle ne varie pas avec le temps, c'est-a-dire que -^- = o.

Nous avons, en ciïet, par application de la formule générale (71 ),

^M r"- / dh J^h gh2 âh\

dî ' ~ J ^ \ ôx' dx' ôt y» dt ) '

ou, en intégrant lo premier terme par partie et observant que la partie intégrée disparait aux limites,

./. V àx'^ y» ; ât

Remplaçant ,- par sa valeur (66),

/•"•/ â'h gh'\/âh ^h dh y^d*h\^,

Les parties qui s'intègrent s'évanouissent comme étant nulles aux deux li mites. Il reste, par suite.

r"* (r,h dh d*'h 3 ,, aVA , ,

et, si Ton intègre le dernier terme par parties,

e/M r^* (Zh dh d'h Zh dh d^h\ , 'dt "\/. Vy à'x' d^'^Y àx' dx'^) "^^ -'''

Ainsi, le moment d'instabilité M est bien une constante même pour les intumescences de formes variables. C'est l'une des constantes caractéristiques d'une intumescence. Sa valeur pour l'onde invariable est facile à calculer.

Voici maintenant l'importante propriété du moment d'instabilité :

Théorème. — De toutes les intumescences ayant une énergie donnée, c'est tonde solitaire (^ou invariable) quia le plus petit moment d'instabilité.

Cherchons, en effet, à rendre minima l'intégrale

SOUS la condition que l'énergie totale de l'intumescence considérée ait une valeur donnée E (cette valeur est comme M une constante pour chaque intumescence).

[168] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 296

La condition est donc

Prenons une nouvelle variable 6 définie par l'expression

d'où

. , dO

D'ailleurs

Donc

Pour a?' rz: — oc, Ô == O,

Pour x' —. -{-Qo^ ^ ~ n *

-=f>(sy-7V'

rB(f)'-7]-

Considérons une intumescence infiniment voisine, caractérisée par le changement de A en A 4- SA, SA étant une fonction indéterminée de 6 et /; cette nouvelle intumescence ayant même énergie E que la première, de sorte que la limite supérieure de l'intégration du second membre est la même. On aura donc pour son moment d'instabilité

d'où

'»=.("ai^-^'-'")"'»-.("(^rr*

ou en intégrant le premier terme par parties et observant que la partie intégrée disparait, étant nulle aux limites de l'intégration,

D'ailleurs

agô DEUXIÈME SECTION. - THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [^68]

d'où

Pour que M soit minimum, il faut que oM soit positif quel que soit 8h. Cela exige que le premier terme disparaisse quel que soit SA, ou que

Si cette condition est remplie, SM se réduit à la dernière intégrale qui, en vertu de (a), devient

et M sera un maximum ou un minimum suivant que le second membre de (b) est positif ou négatif.

Or, l'équation (a) est précisément celle de Tonde solitaire de forme invariable. En effet, en posant

On tire de (a)

d^h} dp dp^ 3

d'où

p dp 3 2 dit y'

C étant une constante d'intégration.

Par suite

dh} ,dh 1 dh /^ Zh

ou si l'on appelle K I^ hauteur maxima de l'onde, en sorte que C = *

fl68| CHAPITRE X. — l'OiNDE SOLITAIRE. 297

qui n'est autre que l'équation différentielle (47 ter) de Tonde invariable. Or, dans cette onde, A est essentiellement positif. Donc, l'expression (6) montre que SM est bien positif et que, par suite, c'est bien une valeur minima qu'atteint la constante M pour l'onde invariable.

D'après cela, si l'on veut avoir le degré de stabilité d'une intumescence donnée, on calculera son moment d'instabilité M qui est une constante, et son énergie E qui est une autre constante. On calculera, d'autre part, le moment d'instabilité Mo de l'onde invariable ayant l'énergie E. Si l'on avait M = Me, l'onde donnée serait invariable, c'est-à-dire parfaitement stable. Si non, elle sera d'autant plus instable que la différence essentiellement positive M — M© sera plus grande. C'est ce qui justifie le nom de moment d'instabilité donné à la constante M par M. Boussinesq.

On trouve d'ailleurs aisément, pour l'onde invariable, à l'aide de l'expression de sa hauteur

hz=:

4 /in , I /3/io /

de celle (76) du moment d'instabilité et de celle (70) de son énergie E :