L'ONDE SOLITAIRE

145. Rappel des équations de rilydrodynaraique de Lagrange. — 146. Leur transformation. — 147. Première approximation : quelques considérations sur la houle et le clapotis. — 148. Vitesse de propagation de la houle. — 149. Trajectoires. — 150. Ondes stationnaires ou clapotis. — 151. Propriétés expérimentales et mode particulier de propagation de Tonde solitaire. — 152. L'équation à dérivées partielles qui régit la hauteur d'une intumesceocc de forme invariable ou non. — 153. Intégration dans le cas de Tonde invariable. — 154. Vérification de la loi de Scott Russell pour la vitesse do propagation. — 155. Forme de Tonde. — 156. Volume de Tintumescence. — 157. Trajectoires des points de la surface. — 158. Trajectoire d'un point quelconque. — 159. Durée infinie du parcours d'une trajectoire. — 160. Equations difTérenticlIes se rapportant aux intumescences de formes variables, mais de faibles hauteurs et de faibles courbures. — IGl. Simplifications dans le cas do Tétude d'une seule onde. — 162. Vitesse d'une particule fluide. — 103. Variations du niveau au droit d'une particule fluide. — 164. Formule auxiliaire. — 165. Volume d'une intumescence. — 166. Vitesse du centre de gravité d'une intumescence; sa vitesse de propagation. — 167. Energie d'une intumescence. — 168. Moment d'instabilité.

145. Rappel des équations de THydrodynamique de Lagrange. — On se bornera au cas des mouvements plans. Rapportons le mouvement à deux axes rectangulaires : Taxe des x horizontal, Taxe des y vertical ascendaut. Soient x ^\.y les coordonnées d'une particule fluide à l'instant initial ; soient x\y ces mêmes coordonnées à l'instant /. Nous regarderons ces dernières coordonnées commodes fonctions inconnues des trois variables indépendantes rr, y, /. Il s'ensuit que les composantes, à l'instant / de la vitesse et de Taccélération d'une particule fluide, sont respectivement les dérivées partielles premières et secondes des coordonnées x' et y par rapport à t. Les équations du mouvement de cette particule sont donc

âl'^' à y' ^^ ôt ' ^

en supposant le fluide soumis : i"^ à l'action d'un potentiel V qui, dans la présente application, sera regardé comme nul; 2** de la gravité g\ 3° d'une

[145] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 265

force de frottement proportionnelle à la vitesse au cas où Ton voudrait en tenir compte.

Mais la pression/? doit, comme les deux autres inconnues a?' et/, être regardée comme une fonction des trois variables /, x^ y et, pour transformer les deux équations ci-dessus en deux équations à dérivées partielles relativement à ces variables, on doit les ajouter après les avoir multipliées respectivement d'abord

par -^ et ^, puis par ^ et-p, ce qui donne

V dt- -^ ôt ) ày \ dl' -^ ày J ùy ~ ây '

La troisième équation entre les trois fonctions inconnues x\ y\p s'obtient en exprimant que le rectangle infinitésimal dont, à l'instant initial, les côtés sont dx, dy, s'est transformé en un parallélogramme de même aire, ce qui donne l'équation

en désignant par {x\ y') le déterminant des deux fonctions a:', y relativement aux deux variables ^c, y, c'est-à-dire en posant

^^^ dx ày ày âx-^'"'^ ^'

Si nous retranchons les équations (2) après les avoir différentiées respectivement par rapport ky et à x, de manière à éliminer la pression, nous aurons, en employant la notation (4),

si l'on néglige le frottement.

Les deux fonctions x\ y doivent satisfaire aux deux équations à dérivées partielles (3) et (5); aux conditions à la surface; aux conditions sur les parois ou ici à la condition relative au fond de la rivière et enfin aux conditions initiales, si l'on a a résoudre un problème complet.

Nous prenons, comme état initial, l'état d'équilibre, de sorte que l'équation

de la surface libre initiale est

y ~-y — const.

l66 DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES. [145]

Or, on admet que les particules qui sont primitivement à la surface libre y restent toujours. D'autre part, pour suivre une particule sur sa trajectoire, on doit regarder a? et j' comme constants et faire varier t seul. Donc, les particules de la surface libre seront, non seulement à Tinstant initial, mais à tout instant, caractérisés par ce que, pour elles, j a la valeur fixe y. En "d'autres termes, si Ton connaissait x' eiy' sous la forme

l'équation de la surface libre à l'instant t résulterait de l'élimination de x entre les deux équations

Il suit de là que, pour j = y, la pression

doit être constante, quel que soit x et quel que soit /, ce qui exige que pour cette valeur de y on ait identiquement -p = o, ou, en vertu de la première

,.^ Z^'^' , ,àx'\da;' fd'y' ,dy\dy' d{\-gy')

^~' \0l- •' dt ) dx \ âf ^ dt ) dx~ dx '

OU si V = O :

et si l'on fait abstraction du frottement :

0^.v' dx' â^y' à y' df __

^^^ âl^ dx ^ dt' 'âx ^^ âx ~^'

Cette condition est d'ailleurs suffisante, c'est-à-dire que, si elle est remplie, la pression^ peut être déterminée de manière à remplir la condition voulue d'être constante à la surface libre ou pour y = y. Car si l'on a déterminé les inconnues x\ y par les équations (3) et (5), les deux équations (2) deviennent compatibles et, par une quadrature, fournissent/? en fonction de x ely^ le temps n'intervenant dans cette fonction que comme paramètre, de sorte que l'on aura

(9) T^^IM»^, v,0-+-9{0»

V(x, j, t) étant une fonction déterminée et <p(/) une fonction arbitraire. Mais

[146] CHAPITRE X. — l'onde SOLITAIRE. 267

si, poury = y, l'équation (7) est satisfaite, il résulte de la première (2) que cette valeur de j donne identiquement -r- — cet, par suite, y- ~ o. Ainsi, pour

y = Y, a? disparait de l'expression (9)de/>. On pourra donc disposer de 9(0» de façon que, pour cette valeur dej, le second membre de cette équation se réduise à une constante.

En ce qui touche le fond, soit

(10) y=yA^)

l'équation de la ligne de fond. On devra avoir à tout instant, puisque les molécules du fond ne le quittent jamais :