CHAPITRE VIII

Applications diverses 3o i

La comparaison des résultats donnés précédemment pour les équations différentielles des lignes asymptotiques et des lignes de courbure conduit naturellement à une belle découverte de S. Lie, la transformation de contact dans laquelle les lignes de courbure d'une surface correspondent aux lignes asymptotiques de sa transformée. — Emploi du système de coordonnées tangentielles précédent pour définir une autre transformation découverte en 1870 par Ribaucour et dans laquelle, comme dans l'inversion, les lignes de courbure sont transformées. — Celte transformation a été nommée par Laguerre transformation par directions réciproques. — On donne sa construction géométrique et ses principales propriétés. — Parmi celles que l'on indique, il faut signaler la suivante : Les deux surfaces qui se correspondent peuvent être considérées comme les deux nappes de l'enveloppe d'une famille de sphères qui coupent un plan fixe sous un angle constant. — Les points homologues des deux surfaces sont sur un cercle qui coupe à angle droit le plan fixe; le rapport anharmonique de ces deux points et de ceux où le cercle coupe le plan fixe est un nombre constant. — Comme toutes les transformations de contact qui conservent les lignes de courbure, la transformation par directions réciproques résulte d'un certain nombre d'inversions et de dilatations. Formules relatives à l'inversion dans le système de coordonnées tangentielles (a, p, ';)•