Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal

Les deux Livres dont se compose cette troisième Partie sont d'étendue très inégale.

Le Livre VI, qui traite des lignes géodésiques et de là courbure géodésique, contient Fexposé des recherches les plus récentes relatives à la détermination des lignes géodésiques, à la courbure géodésique, au plus court chemin entre deux points d'une même surface; il se termine par l'étude des triangles géodésiques et la démonstration du célèbre théorème de Gauss relatif à ces triangles.

Le Livre VIÎ, qui est consacré tout entier à l'étude de la déformation des surf aces j débute par un expose de la belle théorie des paramètres différentiels que l'on doit à M. Beltrami. Après avoir indiqué comment on reconnaît si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, comment on lorme l'équation aux dérivées partielles dont dépend la détermination des surfaces applicables sur une surface donnée, j'applique les propositions générales à l'étude de la déformation des surfaces réglées, à la démonstration des relations que M. Weingarten a établies entre les surfaces applicables sur les surfaces de révolution et celles pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont fonctions l'un de l'autre. Je signalerai aussi un théorème fondamental établissant une relation entre les systèmes cycliques et la théorie de la déformation.

Les vingt-huit premières feuilles de cette Partie ont paru depuis trois ans. J espérais pouvoir terminer mon Ouvrage par l'étude de la déformalion infiniment petite; mais cette théorie a pris un tel développement dans mes leçons, depuis 1882, que j'ai dû me résoudre à la réserver pour une quatrième Partie.