Reprenons l'équalion E(P, P'), écrite sous la forme

et différentions-la par rapport à x, par exemple. Elle devient

Cette relation exprime que — satisfait à l'équation E([î 4- i, p'). Si nous employons la notation proposée au n'^ 345, nous aurons

donc

et Ton trouverait de même

(...) ^IiM}^z,^,^^,,

L'emploi répété de ces deux formules conduit à la suivante

(-23) *L-^i1/iJL2 =Z(^ -r- m/d' -r- n),

qui les contient toutes les deux. Nous allons déduire les conséquences de ces diverses relations; mais, auparavant, il est indispensable de présenter les remarques suivantes.

Considérons, pour fixer les idées, la formule (21); elle nous

dz apprend que, si z est une solution de Téquation E(^, ^'), - sera

une solution de l'équation E(^ + i , ^'). Mais on n'a pas le droit de conclure qu'en prenant les dérivées par rapport à j: de toutes les solutions de l'équation E(^, ^'), on aura toutes les solutions de l'équation E(P -f- i, P'). Pour décider ce point essentiel, il suffira évidemment de chercher si, étant donnée une solution Zi de l'équation EO 4- i, ^'), on peut toujours en déduire une solution z de E(P, P') par la formule

âz

-- = Zi.

Portons cette valeur de -^ dans l'équation E({3, ^'), elle prendra la forme

et elle fournira -^ '^''^ ?'^^ ? '^^ sera pas nul. On aura

àz ^' T — y ôzi

et, par suite

dz^z^dx-^^ Y^zy^ ^ — J dy.

Le second membre esl une diflerentielle exacte, en vertu de Inéquation E(^ +1, ^') à laquelle satisfait Zf. En Tinlégrant, on en drduira la valeur de z.

Ainsi, iani que p sera différent de zéro, la formule (21), appliquée aux différentes solutions de E(P, ^'), donnera toutes les solutions de £(^4-1, 3'); et, par conséquent, l'intégrale générale de cette dernière équation pourra se déduire de celle de EiP, ?').

Il est aisé de reconnaître que, si ^ est nul, la proposition cesse d*ètre exacte; car la valeur générale de z est alors

Z( o, ?' ) == f\{x -jrrf^' dx -T- Y,

et la dérivation par rapport à x élimine la fonction arbitraire Y. La proposition que nous avons établie s'étend naturellement à la formule (2'>>.), par rechange de x et de y\ et, par suite, elle nous conduit, relativement à Téquation générale ('>.3V à la conclusion suivante :

^a formule (23) permet de déduire V intégrale générale de r équation E(?-f-/w, ?'-f-/i) de celle de l'équation E(^, ?') toutes les fois qu aucun des nombres

wi , J — - I , . . . , p -T- « I

n'est égal ci zéro,

353. Faisons, en particulier, Ji = i , ?' = » et remplaçons m, n par m — 1 , w — i . La formule (^S) nous donnera

et il sudfira de remplacer Z(i,i) par sa valeur la plus générale pour obtenir l'intégrale générale deE(/M, n). Or Téquation E(i,i)

d^ 3 àz àz

•^ ùxOy dx ùy

s'intègre immédiatement et nous donne

X désignant une fonction de j: et Y une fonction de^^ On aura donc, pour Tintégrale générale de E(m, /i), la formule élégante

(il) Z(/n, n) = — i ( •

Le développement du second membre donnera une expression de rang m par rapport à ^ et de rang n par rapport à y^ ce qui est conforme à la théorie développée dans le Chapitre précédent.

Supposons maintenant que ^ et ^' soient des entiers négatifs : si nous faisons usage de la formule (6) démontrée au n^ 345, nous pourrons donner à Téquation (28) la forme nouvelle

V ^/ V r I f / dx*^ dy'^ y{x — y)^'^V-^ \

ou, en remplaçant ^,p', m, /i respectivement par i — P', 1 — p, «, /?i,

(î5) Z(3 — /M, S' - /i) = (a: - y)m-H«-hi-p-p' -'^'^-'*- T-^iM!^ 1 .

Si Ton fait dans cette équation ^ r=: p' •= o, on est conduit à la formule

(26) Z(— m, "n)^(jr — v)"»-^-«^» 3 — ( ),

qui donne l'intégrale générale de Téquation E( — m, — n).

On peut enfin obtenir l'intégrale générale lorsque la suite de Laplace est limitée d'un seul côté, c'est-à-dire toutes les fois que l'un des nombres P, P' est entier. Supposons, par exemple, ^ égal à un entier positif m. On aura

L'équation E(i, p') ayant son invariant h égal à zéro, on déterminera sans difficulté son intégrale générale Z(i, ^'), En la substituant dans la formule précédente, on trouvera

(a7) Z(m, p') = ^ j ix^yrn^ ""/^^^ ~->')^'"' ^^ij'

D'après la remarque développée plus haut (n^ 352), il serait impossible de faire dériver cette intégrale générale de celle de Téquation E(o, p').

354. Lorsque aucua des nombres ^, ^' n^est un entier réel, la méthode de Laplace associe à Téquation proposée une suite d'équations qui est illimitée dans les deux sens. Il faut alors, pour obtenir Tintégrale générale, employer des méthodes spéciales que nous allons maintenant développer.

Remarquons d'abord que les formules générales (21) et (22), qui, dans le cas actuel, ne sont plus sujettes à la difficulté signalée au n"* 332, permettent de ramener l'intégration de l'équation E(p, p') à celle de l'une quelconque des équations

OÙ m et /i sont deux entiers quelconques. En disposant convenablement de ces entiers, on ramènera ^ et P'y ou leurs parties réelles si ces quantités sont imaginaires, à être comprises entre o et I . Nous pourrons donc nous contenter, dans la suite, de traiter les équation^ pour lesquelles les parties réelles de ^ et p' sont positives et inférieures à l'unité.

Poisson a donné ( * ), pour le cas où ^ et P' sont égaux, une forme générale de l'intégrale, qui contient deux fonctions arbitraires sous des signes d'intégration définie; et M. Âppell, dans la Note déjà citée, a étendu cette formule de Poisson au cas où ^ et P' sont quelconques. Voici comment on est conduit à ces résultats :

Nous avons déjà remarqué au n" 318 que l'expression

est, pour toutes les valeurs des constantes H, a, une solution particulière de l'équation E(P, p'). Il suit de là que l'intégrale définie

^(u){x — u)~^(y ^ u)-P' du,

prise entre deux limites constantes A, B, sera encore une solution; car l'équation E(P, P') est linéaire, et l'intégrale définie précé-

(' ) Poisson, Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles {Journal de l'École Polytechnique, t. XH, XIX» Cahier, p. 2i5; i8i3).

dente peut être considérée comme nue somme de solutions particulières.

Nous obtenons ainsi une solution qui est assez générale puisqu'il y figure une fonction arbitraire sous le signe de quadrature. Le raisonnement par lequel nous établissons qu'elle satisfait à l'équation cesserait d'être applicable si l'une des limites constantes A, B entre lesquelles elle est prise était remplacée par une fonction de X et de y. Le résultat subsiste cependant, et l'intégrale définie ne cesse pas de satisfaire à l'équation, si l'on substitue à une de ces limites A, B, soit x^ soit y. Voici comment on peut le reconnaître a priori.

Supposons, pour fixer les idées, que ^ et ^' soient des nombres réels et impairs, c'est-à-dire que, réduits à leur plus simple expression, ils soient de la forme — — - Admettons que les limites

constantes A, B comprennent x dans leur intervalle et que y soit supérieur à la plus grande. Décomposons l'intégrale prise de A à B en deux parties, l'une prise de A à a:, l'autre de â; à B. L'une de ces parties sera réelle, l'autre imaginaire; elles devront donc, prises séparément, vérifier l'une et l'autre l'équation proposée. C'est ce que nous confirmerons tout à l'heure par un calcul direct où nous prendrons les précautions nécessaires pour calculer les dérivées de l'intégrale définie.

Nous adopterons dans la suite les limites y et :r, ce qui donnera

/ ^(u){ii — xY^iy— u)-^' du.

A ce premier terme on peut ajouter le suivant. Nous avons vu au n" 345 que

est toujours une solution de l'équation E(P, P'). Si l'on prend pour Z(i — p', I — P) la valeur

J <Km)(w — .r)P'-t(^-«)P-ie/w,

on trouvera la nouvelle solution

de Téquation proposée. En réunissant les deux termes ainsi obtenus, on aura pourZ(^, ^') la formule générale

( Z(3, ?') =J%{u){u - x)-?(y^ u)-?' du

-h {y — xy-p-?' Ç <K u){u - a:)?'-»( V — a)M du.

qui contient deux fonctions arbitraires distinctes.

Pour vérifier que cette intégrale satisfait efTeclivemenl à Téquation proposée, il suffira de la transformer comme il suit.

Posons

rintégrale prendra la forme

( Z(p,p') = (7~:r)i-M' r ^[T-^{y^x)t]t-P{x-t)-P'dt

où les limites variables des quadratures sont remplacées par les constantes o et i . On peut maintenant calculer sans difficulté les dérivées successives de z et les substituer dans l'équation proposée; on reconnaîtra que cette équation est vérifiée. Il est permis, diaprés les remarques précédentes, de se contenter de vérifier un seul des deux termes. Si nous nous bornons au second, nous trouverons, pour le résultat de la substitution,

^ et ^' étant positifs, ce résultat est évidemment nul. 355. Dans le cas exceptionnel où Ton a

les deux termes de Pintégrale se ramènent l'un à Tautre, et la va-

L*ËQUATION d'eULER ET DE POISSON. TiQ

leur de Z(^, ^3') se réduit à la suivante

qui ne contient en réalité qu'une seule fonction arbitraire '^ + 'i/.

Pour conserver les deux fonctions arbitraires, on opérera de la manière suivante.

Posons

et remplaçons f el^ respectivement par -^ — f , 7^ + * P"is développons Z(P, P') en conservant seulement les termes qui ne s'annulent pas pour e = o. On obtient ainsi la formule

-+-/ ^[x-h{y-x)(]f?(i- 0P-» log[ r( I — 0(7 - :v)] dt,

qui a été déjà donnée par Poisson, dans le Mémoire cité plus haut, pour le cas spécial où l'on a ^ == -•

336. La méthode par laquelle Poisson a obtenu l'intégrale générale de l'équation E(^, ^), ainsi que celle que nous avons suivie, laissent prise à des objections évidentes. Bien que la formule générale (28) contienne deux fonctions arbitraires, rien ne permet d'affirmer qu'elle donnera toutes les intégrales de l'équation proposée. Si l'on remplace, par exemple, les limites x eiy des deux intégrales de la formule par des constantes a et 6, n'aura-t-on pas des solutions nouvelles distinctes de celles qui sont données par la formule primitive? Nous allons montrer dans le Chapitre suivant que l'on peut faire disparaître toutes cçs difficultés, et confirmer la généralité de l'intégrale, par l'étude approfondie d'une idée de Riemann. Mais, en terminant ce Chapitre, nous rappellerons que déjà, dans un problème de Géométrie, nous avons rencontré un cas particulier de l'équation E(^, ^). Au n^ 162 [I, p. 242] nous avons ramené la détermination des surfaces qui admettent pour représentation sphérique de leurs lignes

70 LIVRE IV. — .CHAP. III. — l'ëQUATION D*ELLER ET DE POISSON.

de courbure un système de coniques homofocales à Tinlégration de l'équation aux dérivées partielles

Cette équation n'est autre que E ( — » — - ] • Son intégrale

générale se déduit de celle de l'équation £(->- j > qui, comme

nous venons de le rappeler, a été donnée par Poisson. Cette intégrale est assez compliquée; mais il résulte des propriétés que nous avons données aux n^' 347 et 348 que l'on pourra obtenir un nombre illimité de solutions algébriques.

Si l'on choisit, par exemple, la solution particulière

e = Av/(?-'A)(7i->^~),

on retrouve les surfaces du second degré; si l'on prend la solution encore plus simple

e = A-i-B(p-upi),

on obtient la surface remarquable de quatrième classe que nous avons étudiée au n** 159 [I, p. 235].