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11 suit de là qu'on retrouve une solution de l'équation proposée multipliée parle facteur (a:r + fr)""P(ûrj^-|- 6)"^'; et l'on est ainsi conduit à la proposition suivante, qu'il est aisé d'ailleurs de confirmer par un calcul direct et rigoureux.

Si l'on a obtenu une solution quelconque de l'équation E(P, P'), on pourra en déduire la solution plus

Co LIVRE IV. — CHAP. III.

générale

r/, ^, c, d désignant des constantes quelconques.

Ce résultat est dû à M. Appell, qui Ta établi dans une Note élégante consacrée à l'étude de l'équation E(P, ^') (*). Nous l'avions obtenu d'abord pour le cas particulier de l'équation E( p, p) (2) oîi il revêt une forme particulièrement simple, et voici comment nous y avons été conduit.

Reprenons la forme (e) de cette équation que nous écrirons

ainsi : •

à'^s j , . ^ dx dv

- — --dx dy = mil — m) '^^^'

dxây '^ ^ \x — yf-

Le premier membre demeure invariable lorsqu'on remplacer? el^' respectivement par des fonctions quelconques de ces variables. Quant au second membre, il contient le facteur

dx dy

qui est le carré de l'élément linéaire d'une sphère [1, p. 3o]; et il demeure invariable (n** 24) lorsqu'on effectue sur x et sur y une même substitution linéaire. Donc, de toute solution de l'équation (e)j on peut déduire une infinité de solutions nouvelles ^ en effectuant sur les variables x et y une même substitution linéaire quelconque.

350. Voici une première conséquence de ces propositions. Si l'on différentie la solution générale (17) par rapport à l'une quelconque des constantes a, 6, c, d et si, après les différentiations, on attribue à ces constantes les valeurs o, i, i, o, on obtient des

(*) Appell, Sur une équation linéaire aux dérivées partielles {Bulletin des Sciences mathématiques, 3* série, t. VI, p. 3i4; i88a).

(») Dabboux, Sur une équation linéaire aux dérivées partielles {Comptes rendus, l. XCV, p. 69; juillet 1882).

l'équation d'buler et de poisson. Gi

combinaisons linéaires des trois expressions suivantes :

l Ox '^ Oy ^ r y / 4

Ainsi, lorsqu'on aura une solution quelconque de Inéquation E(p, P'), on en déduira des solutions nouvelles en opérant sur cette solution au moyen des symboles

ex Oy ox '^ ôy

Pour le cas de V équation (e), le dernier symbole se réduit à la forme simple

Ox '^ Oy

Si l'on emploie la notion si importante des transformations infinitésimales due à M. Lie, on pourra dire que Téquation Ë(P, p') admet trois transformations infinitésimales. Cette propriété a d'ailleurs été signalée par M. Lie.

3ol. Proposons-nous maintenant d'appliquer à Péquation considérée la méthode de Laplace. Les valeurs des invariants // et k ont été déjà données au n^ 349; et Ton reconnaît aisément, en commençant les calculs, que les invariants hi et A*/ de Tcqualion (E|) sont de la forme

A| et B| désignant des constantes. Les formules (25) du n^ 331 nous donnent ici

Ces relations de récurrence conduisent, par un calcul facile,

aux valeurs générales de A| et de B/; on trouve ainsi

ou, en remplaçant A et B par leurs valeurs,

Si aucun des nombres ^, ^' n'est un entier réel, la suite de Laplace sera illimitée dans les deux sens. Pour qu'elle soit limitée dans un sens, il suffira que Tun des nombres soit entier. Par exemple, pour que la suite soit limitée du côté des indices positifs, il faudra (n^ 333) que l'un des nombres

soit un entier positif ou nul; pour qu'elle le soit du côté des indices négatifs, il faudra que l'un des nombres

soit un entier nul ou négatif. La suite ne peut donc être limitée dans les deux sens que si les deux nombres ^, P' sont des entiers de même signe, la valeur zéro n'étant exclue pour aucun d'eux. Dans ce cas, l'intégrale générale s'obtiendra sans aucun signe de quadrature; c'est ce que l'on vérifie aisément de la manière

suivante.