Étant donnée une expression différentielle

(i) ?(^, yyf. '"^y^^h

contenant une variable j?, une fonction y de x et ses dérivées jusqu'à l'ordre n, on sait que l'équation

^^^ dy dx \ âf) "^ dx* \âyj ^

exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction f soit la dérivée d'une autre fonction ^ contenant, en même temps que la variable indépendante x, la fonction y et ses n — i premières dérivées. De même, si l'on considère une expression

/ âz dz d^z d^z d^z \

(3) ?i^'^'^'5î'd^' 0x^''d-xTy\dy^' '")'

contenant deux variables indépendantes, une fonction z de ces variables et ses dérivées partielles jusqu'à un ordre quelconque /i,

Féquation

exprime la condition nécessaire et suffisante pour que o puisse prendre la forme

dx dy

M et N étant des fonctions de x, de j', de z et de ses dérivées partielles jusqu'à un ordre que Ton peut toujours réduire à n ou an — I.

D'après cela, considérons une équation linéaire quelconque d'ordre n

dx^ dy^

Si Ton multiplie le premier membre par une indéterminée ;/ et si Ton écrit ensuite que la condition (4) est vérifiée, on aura l'équation linéaire

qui définira u. Nous dirons que cette équation est Vadjointe de la proposée, pour rappeler l'analogie qu'elle présente avec l'équation toute semblable considérée par Lagrange dans le cas d'une seule variable indépendante.

Quelles que soient les fonctions z et w, une suite d'intégrations par parties conduit facilement à l'identité

(6) uS^z)-zii{u)=---r-^.

OÙ M et N ont les valeurs suivantes

Vf A K ^^ d(XiQu) I . dz i d(Aiiu)

^ , dx dx 1 dy % dy

ày dy 7l dx i dx

et dépendent de Zj de u et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n — i. Il importe toutefois de remarquer que les expressions de M et de N ne sont pas complètement déterminées. Le second membre de l'identité (6) ne change pas, en effet, si l'on remplace M et N respectivement par

et l'on pourra prendre pour 8 une fonction linéaire de ^, de u et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n — 2, sans changer la forme générale des valeurs de M et de N.

On déduira facilement de l'identité (6) que la relation entre les deux équations en ^ et en i/ est réciproque, c'est-à-dire que chacune de ces équations est Vadjointe de Vautre, Mais nous omettrons ici le raisonnement très simple par lequel on est conduit à ce résultat essentiel, parce que nous aurons à le présenter sans modification, au Chapitre suivant, dans l'étude de l'équation adjointe de Lagrange; nous insisterons, au contraire, sur la conséquence suivante, qui joue un rôle essentiel dans la théorie (*).

(*) Pour éublir l'idenlilé (6) dans toute sa généralité, on peut employer le calcul élémentaire suivant :

On sait que l'expression

est la dérivée exacte d'une fonction de Uy de v et de leurs dérivées jusqu'à Tordre t — i y dont nous omettrons, pour abréger, l'expression développée. Si

l'on remplace v par -r-^» on aura donc

t)x' ôy^ Oy Ox' ~~ Ox '

F contenant les dérivées de u et de {^jusqu'à l'ordre IH-A— i. Changeons dans oette équation u en v^ x en y^ i en A' ; nous aurons

^ f)'-*^* u d'il ô^v dQ^

^ Ox'oy' ^ ^' Ox' dy* "" d'y'

et la combinaison de ces deux équations nous donnera l'identité plus générale ^ ' dx'Oy'' ^ ' Ox'ôy'' Ox ^ ' Oy

Considérons l^intégrale double

élendue à une aire plane (A) que nous supposerons simplement connexe et limitée par un contour (S); cette intégrale double aura la même valeur que Tintégrale simple

étendue à tout le contour (S) parcouru dans le sens direct. On aura donc Téquation

(8) JJ{uS{z)~zi^{u)]dxdy=j^ {Mdy-'^dx),

qui est tout à fait équivalente à Tidentité (6). On reconnaît ici que l'indétermination signalée plus haut pour les valeurs de M et de N n'a plus aucun effet sur l'équation précédente; car, si l'on

remplace M et N par leurs valeurs les plus générales M + t-;» N — -—Me second membre s'accroît de l'intégrale

ôx

rfe

qui est évidemment nulle toutes les fois que Q est une fonction uniforme et finie à l'intérieur de l'aire (A).

P et Q contenant les dérivées de u et de p jusqu'à l'ordre i + k — i. Or on a

el il suffit de faire usage de Tidentité (a), où l'on remplacera u par A,|U et v par z, pour reconnaître que le terme général du second membre, et par suite le second membre tout entier, peut se mettre sous la forme

ôx dy

où M et N contiennent les dérivées de ^ et de u jusqu'à l'ordre /< — i.

358. L^équation adjointe à une équation linéaire donnée s^est présentée pour la première fois dans un Mémoire de Riemann relatif à la propagation du Son (*). M. P. du Bois-Reymond, qui déjà dans un Ouvrage (^) sur les équations aux dérivées partielles, avait, à juste titre, appelé Tattention des géomètres sur le Mémoire de Riemann, est depuis revenu sur ce sujet dans un court article publié à Tubingue ('). Dans ce qui va suivre, nous traiterons seulement de Téquation

, , d^z dz , dz

(q) -; — ha-7 — hb-T — hcz = o,

^^^ dxdy àx dy

déjà étudié^ dans les Chapitres précédents; nous donnerons les résultats de Riemann et nous indiquerons les conséquences que Ton peut en déduire. On a alors

dxdy àx dy *

,,, ^ d^i/ du . du ( da dh\

^J (") = 5^ - « dï - * rfj- -^ (" - 55 - <^j; j "•

1 / dz du\

i\dy dyl^

I / dz du \