dx dx
M = auz
N = buz -h-fw^ — -5^^
Voici Fusage que Riemann fait de l'équation (8).
Supposons que l'on ait pris pour ;; et pour u respectivement des intégrales quelconques de Téquation proposée et de son adjointe. On aura
et le premier membre de l'équation (8) sera toujours nul. Cette
(■) Riemann, Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite {Abhandlungen der K. Geselhchafl der Wissenscha/ten zu GoUingen, t. VIII, i86o, et Gesammelie Werke^ p. i45).
(') P. DU Bois-Rbtmond, Beitràge zur Interprétation der partiellen Differentialgleichungen mit drei Variabeln, p. aSo. Leipzig, i86{.
(") P. DU Bois-Rbtxond, Ueber ein in der Théorie der iinearen partiellen DifferentialgUichungen auftretendes wolstàndiges DifferentiaL {Mathematisch-natanvissenêcha/tliche Mitteilungen herausgegeben von D' O, Bôklen. Tabingae, t. I, p. 34; i883.)
équation nous donnera donc
(II
Soit  un point quelconque du plan {/lg> 20) et B'C une courbe tracée arbitrairement dans ce plan. Menons par A des droites AB et AC parallèles aux axes jusqu^à la rencontre de la courbe, et supposons que les intégrales z^ a, aussi bien que les
Fig. 35.
coedficients de Téquation proposée et leurs dérivées, soient finies et continues à l'intérieur de Taire ABC. On pourra appliquer Téquation (i i) au contour ACBA, ce qui donnera
Mdy'\- (Mdy^Ndx)— I \ dlr = o.
Si l'on se reporte aux valeurs de M et de N, on peut écrire
Si donc on désigne, d'une manière générale, par Çp la valeur d'une fonction o au point P, on aura
(uz)c — (
Si Ton porte ces valeurs des deux intégrales dans Téquation précédente (12), on aura
Étudions les différents termes du second membre.
Imaginons que l'on se propose, avec Riemann, de déterminer la solution z de l'équation aux dérivées partielles proposée, qui prend des valeurs données, ainsi que l'une de ses deux dérivées, pour tous les points de la courbe B'C L'équation
appliquée à un déplacement suivant cette courbe, détermine évidemment celle des deux dérivées premières qui n'est pas donnée a priori; nous pouvons donc considérer les deux dérivées de z comme connues en chaque point de la courbe B'C^ Il suit de là que, si l'on a choisi la solution u de l'équation adjointe, les trois termes
(az)B, (M-5)c, f (Mdy — l^dx),
qui entrent dans le second membre de l'équation (i3), sont parfaitement connus et dépendent seulement des conditions aux limites données pour z. Si donc on pouvait calculer les deux dernières intégrales qui figurent dans ce second membre, on connaîtrait 2j^, c'est-à-dire la valeur de z en un point quelconque du plan. Or ces deux intégrales dépendent en général des valeurs, tout à fait inconnues, que prend la solution cherchée z sur les segments rectilignes AB et AC. Pour que ces valeurs n'interviennent pas, il est nécessaire que la solution u ait été choisie de telle manière que l'on ait
bu=: Oy en tous les points de AB,
au = Of en tous les points de AG.
Si ces deux conditions peuvent être remplies, l'équation fondamentale (i3) se réduira à la suivante
(i4) (w^)a= —r^ / (Nc^r — Mé/j),
qui déterminera la valeur de z pour un point quelconque A du plan, en fonction seulement des conditions aux limites.
Ainsi, pour obtenir l'intégrale générale de l'équation sous sa forme la plus appropriée aux problèmes de la Physique mathématique, il sujjlt de déterminer une solution u de l'équation adjointe satisfaisant aux deux conditions que nous venons d'énoncer.
Ces conditions peuvent être transformées de la manière suivante.
On doit avoir
au ,
en tous les points de ÂB; x variant seule sur ce segment, on peut intégrer l'équation précédente, ce qui donne
bdx
i/u = Ut^e
pour tous les points M compris entré A et B. De même, la seconde condition peut être remplacée par la suivante
/ ady
pour tous les points M situés sur le segment AC.
On peut toujours réduire la constante i/^ ^ l'unité, de sorte que, si Ton désigne par x©, jKo les coordonnées de A, par j?, y celles d'un point quelconque, la question est ramenée à déterminer une solution
de l'équation adjointe, dépendante de deux -paramètres jTq, y^y se réduisant à l'unité pour ^ = jt<,, yr=y^^ prenant la valeur
{bdx I ndy
e" '*• pour y = j'o? et la valeur e y* pour x = x^^.
Te] est le résultat fondamental établi par Riemann. Le grand géomètre a pu déterminer la fonction u pour Téquation qu'il avait à traiter et qui n'est autre que Téquation E(^, ^). Nous allons voir que la détermination de cette fonction peut aussi être faite pour Téquation plus générale E(^, ^'); mais, auparavant, nous allons, en restant dans la théorie générale, ajouter une remarque essentielle aux. résultats que nous venons d'exposer.
3o9. Supposons que la ligne primitive BG se réduise aux deux
Fig. a6.
parallèles aux axes B'D et DC et soient x^^ y^ les coordonnées du point D. On aura ici
D'ailleurs on peut écrire
et, par^conséquent,
f ^dx =
( uz)c — (ws'Id
On aura de même
-J Mdy =
(uz)n—(us)j) r fdz \ .
Si l'on substitue ces valeurs des deux intégrales dans les équa-
lions (i5) et (i4)i on aura
(i6) z^={uz)^--j u{^-£-\-bzJdx-- j u(^~^-r-azjdy.
Cette formule s^applîque à toute solutions deTéquation proposée. Elle oflre la plus grande analogie avec Téquation générale (i4)^ mais elle s*en distingue par une propriété essentielle. On reconnaît en effet immédiatement qu^'l n*est plus nécessaire maintenant de donner Tune des dérivées de z sur le contour C'DB'. La connaissance seule des valeurs de la solution cherchée sur les droites CD et DB' permet de calculer les deux intégrales que contient la formule précédente et d'obtenir la valeur de cette solution. Il faut chercher Torigine de ce résultat si intéressant dans cette circonstance que le contour nouveau est formé avec les caractéristiques de Téquation linéaire proposée.
Supposons maintenant que Ton prenne pour z cette solution particulière
de Téquation proposée qui se détermine par des conditions toutes pareilles à celles que nous avons indiquées pour u{x^ y\ :ro,jKo) considérée comme solution de Téquation adjointe. Comme il faut changer le signe des coefficients a et 6 quand on passe de Tune des équations à Tautre, on voit que cette solution devra se réduire
pour y=yx à e -^t
pour X = Xi à e J*«
et, par suite, à i
pour x = xxj y^yi
On aura donc
h 6-5 = o en tous les points de CD,
dz
-^ -r a^ — o en tous les points de BD,
Of
z = I pour le point D.
LA MÉTHODE DE RIEMANN. 8l
Par conséquent, la formule (i6) se réduira ici à la relation
c'est-à-dire
Cet(e égalité contient la proposition suivante.
La solution u(x, y; Xq, yq) de Téquation adjointe que nous avons définie précédemment peut être considérée comme fonction des paramètres Xq^ y^; elle est alors une Solution de l'équation primitive (où Ton aurait remplacé x, y par Xq, yo) et possède, par rapport à cette équation et aux variables Xqj yo^ les propriétés par lesquelles elle a été définie comme fonction des variables x, y et solution de l'équation adjointe. En d'autres termes, la définition de u ne change pas si l'on échange l'équation linéaire et son adjointe à la condition d'échanger les deux systèmes de variables jc, y et Xo, yo-
Il suit de là que la détermination de cette fonction
u{x,y; xo, yo)
permettra d'intégrer aussi l'équation adjointe par une formule analogue à celle qui a été donnée plus haut : Vintégration des deux équations linéaires, la proposée et son adjointe, se ramène donc à un seul et même problème, la détermination de la fonction u{Xy y; Xof yo)» Cette fonction peut être pleinement définie, soit comme solution de Inéquation proposée, soit comme solution de ^équation adjointe, par les conditions aux limites auxquelles elle est assujettie.
360. Appliquons cette proposition générale à l'équation E(P, P') et proposons-nous de définir la fonction u{x^y\ x^^yo) relative à cette équation, en la considérant comme une solution de l'équation adjointe assujettie aux conditions que nous avons indiquées. L'équation adjointe est alors
, , d^ii 3' du a du 3 -+-3'
Ox Oy X — y Ox X — y ày {x — y)*
Pour faire disparaître le dernier terme, il suffit de poser
et Ton obtieni Inéquation
(iq) - — — - — i — T-- — <>.
*' ôxôjr X — y àx X — y oy
dont une solution quelconque se représentera, suivant la notation du n® 345, par Z(P', P). On aura donc
Parmi les solutions particulières Z, il en est d'assez générales que l'on peut faire dériver de celles qui sont homogènes. Nous avons vu au n** 347 que
^Xf(-X,P',i -?-x,|j
est une solution de l'équation E(ji, ^'V Si Ton échange p et P', l'expression
sera une solution particulière de l'équation (19); elle ne contient qu'une constante X; mais la proposition du n° 349 permet d'en introduire deux nouvelles. Nous avons vu, en effet, que l'on peut effectuer sur les variables x el y\di substitution linéaire
^ — .ro >
à la condition de multiplier par un facteur, qui sera ici
(x -' Xq)-^' { y — j?o)~^-
En effectuant cette double opération, on obtient la solution plus générale
^ = U'o-^)H^ - xo)-P'-Mr --^oH F(- A, 3, i - 3'- - x, a),
où l'on a posé, pour abréger,
Il suffit de multiplier par (y — j:)P+P' pour obtenir enfin la
valeur suivante de u
qui va nous conduire au résultat cherché.
Nous nous proposons, en effet, de déterminer une solution particulière u de l'équation adjointe, se réduisant pour ^ := Xo à
l'intégrale e r» qui a ici pour valeur ( • ^ ] > et se réduisant de même à ( ^ ^JJ J pour y z= y^. Or si, dans l'expression
précédente de w, on fait x = Xq^ a* s'annule; la série F se réduit à l'unité, mais il reste le facteur (xq — J?)~X~P' qui annule la fonction u ou la rend infinie, à moins que l'on n'ait
Adoptons cette valeur de X, u prendra la valeur
si l'on fait x = Xq, on aura
si l'on fait de même y - - j'o> on aura
/ Vo — .r \P
par conséquent, la valeur (22) de u sera la solution cherchée. Ainsi, appliquée à l'équation E(^, ^'), la méthode de Riemann réussit pleinement et permet de déterminer les intégrales de l'équation parles conditions aux limites les plus générales. Il suffira de porter la valeur précédente de u dans l'une ou l'autre des équations (i4) ou (16) pour obtenir l'intégrale générale de l'équation. Si Ton emploie, par exemple, la formule (16), la valeur de z se présentera sous la forme suivante
U.r,y,/(x)dx-hJ Uv„y ^(y)dy\
y* et cp désignent les deux fonctions arbitraires qui dépendent des valeurs aux limites pour z et la notation ^«^p indique, d'une manière générale, le résultat de la substitution de a, ^ à la place de X et de y dans la fonction ^{x, y).
361. Il nous reste maintenant à établir un point que nous avons regardé comme essentiel et à montrer que la formule (28) [p. 68] de Poisson et de M. Appell donne effectivement toutes les intégrales de Téquation proposée. Nous présenterons d'abord les remarques suivantes sur cette intégrale.
L'équation E(p, P')
d^z fi' dz B dz
ôxdy X — y dx x — y ôy
a ses coefficients finis et continus tant que x est différent de j^. Si l'on trace {^fig» 27) la bissectrice de l'angle yox^ on peut dire que cette droite est une ligne de discontinuité pour l'équation précédente, de sorte que les coefficients de l'équation demeurent toujours finis et continus tant qu'on reste d'un même côté par rapport à cette droite. Examinons ce que devient l'intégrale de Poisson lorsque j^ se rapproche de x.
Si l'on se reporte à la forme (29) [p. 68] de cette intégrale, le premier terme du second membre a pour partie principale
^-xy-^-^' j\(^x)i-Hi-t)-^' di = -r'~iyj."^>y-^ <p(^)(7-x)»-M'.
Cette valeur approchée peut être regardée comme le premier terme du développement suivant les puissances de (y — x)^ les termes non écrits ayant des degrés supérieurs d'w/i nombre entier à celui du terme conservé.
De même l'expression approchée de la seconde intégrale de la formule (29) [p. 68] sera
Il résulte de là que, pour toute solution donnée par la formule de Poisson, le développement suivant les puissances de y — x se
compose de deux séries de termes, Jes uns de degrés entiers, les autres d'un degré égal à i — P — P' augmenté d'un nombre entier; et, en limitant le développement au premier terme de chacune des deux séries, on aura pour l'intégrale l'expression approchée
Cette formule nous indique la voie qu'il faudra suivre pour vérifier que toute solution de l'équation est donnée par la formule de Poisson. On cherchera à établir d'abord que, dans le voisinage de la ligne de discontinuité, la solution considérée est réductible à la forme
La comparaison de cette forme à la précédente fera connaître les fonctions cp et ^ qui doivent figurer dans la formule de Poisson ; et il ne restera qu'à vérifier une équation où ne subsistera plus rien d'inconnu.
Appliquons cette méthode à l'intégrale générale, telle qu'elle est donnée par la formule (a3). Le troisième terme se déduisant du second par l'échange de x et dey^ on peut se contenter de vérifier que les deux premiers termes du second membre sont donnés, l'un et l'autre, par la formule de Poisson.
Pour plus de netteté, nous supposerons que l'on se place audessus de la ligne de discontinuité, comme il est indiqué dans la ^g. 27 ; Xi, yt étant les coordonnées de D, Xo, y^ celles de A, on aura
a:i<a:o<7o<riî
Xq, y^ sont ici les variables indépendantes.
Le premier terme de l'intégrale (23) est a( j:<, ^« ; Xq, y^) multiplié par la constante ^x,,/,- Nous avons donc à vérifier d'abord que l'expression
considérée comme fonction des variables x^^y^, v&ifie l'équation proposée et, de plus, est donnée par la formule de Poisson. Conformément à la méthode générale que nous venons d'indiquer, il faudra donc obtenir d'abord son expression approchée lorsque Xo — J^ù devient infiniment petit. Si l'on se reporte à l'expression
(^22) de 2/ et à la définition de 0-, on voit que Ton aura
I — <r est donc du même ordre que y© — ^07 et Ton est conduit à développer F(^, P', 1, (t) suivant les puissances de 1 — (t. Pour
Fig. 37
cela, nous emprunterons la formule suivante à la théorie de la série hypergéométrique (*) :
Si l'on porte celte valeur de F(P, j3', i, (T)dans la formule (22), on en déduira immédiatement l'expression approchée de u^ lorsque yo se rapproche de x^. Il suffit de réduire les séries F à l'unité et l'on trouve ainsi, pour les deux premiers termes de w,
La comparaison de celte formule avec l'équation (24)) où l'on aurait remplacé x ety par x^ et^o, nous donne immédiatement
(*) Voir le Mémoire de M. Goursat, déjà cité [I, p. 188] {Annales de l'École Normale, a* série, t. X; 1881).
les deux fonctions qui doivent figurer dans la formule de Poisson. On trouve ainsi
(cpra)- -A(a -a?)P-»(j — J7)(j' — «)?'-«, ^^ ( +(«) A(a — ar)-P'(7"5:)P-*-P'(j^ — a)-P,
A désignant la constante
__ r(i— p — 3')r(P-t-p') sinpTtsinpV
" r(p)r(i-?)r({j')r(i-p') " Tîsin(p-hfi')7r'
Si l'on porte ces valeurs de 'f(a), •}(«) dans la formule de Poisson, on trouve le résultat suivant
f (a — x)-?'{y — a)-P(7o-- oLp'HoL — Xo)^'~^ d% — k^y — x) I (a — :r)M(> — a)P'~«(7o- - ol)-^'(ol — Xq)-? doL;
et il n y a plus qu'à vérifier la concordance de cette expression avec celle qui est donnée par la formule (aa). La vérification est aisée, si Ton opère de la manière suivante.
Égalons les deux expressions de u : l'équation à vérifier prendra la forme
^ my - xy-^-^'ijr,- a;)^'{y - x,)P
et l'on reconnaît presque immédiatement que les deux termes du second membre ne changent pas de forme si l'on efiectue sur a, x, y, ^o?.Xo "lie même substitution linéaire. Choisissons les coefficients de cette substitution de telle manière que Xj Xq^ y^ se réduisent respectivement à oo, o, i . Alors y se réduira à — — ♦ o* étant le rapport anharmonique déjà défini par la formule (20). Le
second membre de l'égalité à vérifier deviendra
A f [i — a(i-a)]-P(i-a)P-iaP'-ie/a
-A(i -œV-M' f [i~-a{i-~a)]P'-»(f-a)-P'a-Prfa.
D'après une formule bien connue d'Euler, les deux intégrales précédentes s'expriment au moyen de séries hypergéométriques et Ton retrouve les deux termes du second membre de l'identité (25). L'égalité que nous avions en vue est donc vérifiée.
