CHAPITRE V
l'équation ADJOINTE DE LAGRANGE ET LES ÉQUATIONS LINÉAIRES d'ordre IMPAIR ÉQUIVALENTES A LEUR ADJOINTE.
Défînition de l'équation adjointe à une équation linéaire donnée, à une seule variable indépendante. — Relation de réciprocité entre les deux équations; chacune d'elles est l'adjointe de l'autre. — Relations entre deux systèmes fondamentaux d'intégrales se rapportant respectivement aux deux équations. — Intégration d'une équation linéaire avec second membre par l'application des propositions établies. — Forme remarquable que l'on peut donner aux premiers membres de deux équations linéaires adjointes l'une à l'autre. — Équations linéaires d'ordre impair équivalentes à leur adjointe. — Propriété caractéristique; le premier^ membre devient une dérivée exacte après sa multiplication par la fonction inconnue. — Étude de riniégrale du second degré. — Relations quadratiques entre les intégrales particulières et leurs dérivées de môme ordre. — Expression sans aucun signe de quadrature du système le plus généial de solutions particulières d'une équation linéaire d'ordre impair équivalente à son adjointe. — Formation de toutes les équations d'ordre impair équivalentes à leur adjointe.
368. Étant donnée l'équation linéaire du n^^^^ ordre (i) /(a) = X w -T- Xia' -+- Xji«' -h. . .-f- X^i*^"' = o,
où X, Xi, ^21 • • -1 \t désignent des fonctions quelconques d'une variable indépendante x^ proposons-nous de déterminer toutes les fonctions (^ de x, telles que le produit
devienne la dérivée exacte d'une fonction linéaire de u et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n — i . Une suite d'intégrations par parties conduit à la formule
/ v/{u) dx
lOO LIVRE IV. — CHAP. V.
Si donc on définit les fonctions nouvelles [x, 1x4, . . . , |x« el le polynôme g(v) par la relation
il faudra que Ton ait
Car il n*existe, évidemment, aucune fonction de u et de ses dérivées dont la dérivée puisse se réduire à ug{v), lorsque g{^^) est différent de zéro. L'équation (4) a été considérée pour la première fois par Lagrange ^) : on l'appelle aujourd'hui V adjointe de la proposée 5 nous dirons aussi que g{v) est le polynôme adjoint à /(u). On voit que toute solution particulière de l'équation adjointe fournit une intégrale première de l'équation proposée sous la forme
(5) ^f ("> ^) ^ const.,
OÙ l'on a posé, pour abréger,
Si l'on adopte les notations précédentes, l'équation (i) s'écrit comme il suit
(7) f[^f(^) - " ^(01 dx = W{u, O;
et, par suite, le binôme vf{u) — ^g{^) est une dérivée exacte pour toutes les formes possibles données aux fonctions u el v (2).
(») Lagrânqe, Solution de différents problèmes de Calcul intégral {Miscellanea Taurinensia, t. III; 1762-1765. Œuvres complètes, t. I; p. 47i)-
(') La forme bilinéaire M*(m, v) se présente au début des belles recherches de M. Halphen sur les équations linéaires. Voir en particulier le Mémoire sur un problème concernant les équations différentielles linéaires {Journal de M, Jordan, t. I, p. 11; i885). Otto Hesse l'a aussi considérée dans un Mémoire que nous citerons plus loin.
l'équation adjointe de lagrange. ici
369. Réciproquement, étant donnée la fonction linéaire f{u) de u et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n, si l'on se propose de déterminer une fonction semblable <f{u) par la condition que
soit une dérivée exacte pour toutes les formes possibles de u et de (^, on devra avoir nécessairement
Écrivons, en effet, l'équation
[vf{u)— u^(s?)]dx ^Wq^u^v),
qui exprime la propriété par laquelle on veut déterminer ^{u)\ si on la retranche de l'équation (7), on aura
et, comme il n'existe aucune fonction de u et de ses dérivées dont la dérivée contienne u seulement, il faudra nécessairement que l'on ait
Si Ton applique la proposition précédente à l'équation (7), en remarquant que /(a) et g{u) y entrent de la même manière, on conclura que la relation entre ces deux polynômes est réciproque, c'est-à-dire que chacun d'eux est l'adjoint de l'autre.
Par conséquent, on pourra écrire la relation
-U.U "^^^^"^ I ^'(^^»"^ dn(^^u)
tout à fait analogue à l'équation (3). Chacune des identités (3) et (8) peut être considérée comme une conséquence de l'autre; nous avons déjà fait usage de cette remarque au Chapitre II [p. 4']*
370. Lagrange a déjà montré comment la résolution complète ou partielle de l'équation adjointe permet de simplifier la résolution de l'équation proposée. Nous ne reviendrons pas sur ce sujet; mais,
en vue des applications qui vont suivre, nous étudierons d'une manière approfondie les relations entre toutes les solutions de Téquation proposée (i) et celles de Téquation adjointe (4)-
Considérons un système fondamental d'intégrales particulières
Ml, w„
Ut
de Téquation proposée, c'est-à-dire un système pour lequel le déterminant
Uy Ut
ne soit pas nul. On formera sans difficulté une fonction linéaire 6|(w) de u et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n — i, s'annulant lorsqu'on y remplace u par une solution particulière autre que Ui et devenant égale à i lorsqu'on y remplace u par Ui : cette fonction a pour expression
^ ^ ^ A idui dui
âuf-'
at»-!)],
A étant le déterminant déjà défini. L'équation
6/(m) = const.
est une des intégrales premières de l'équation proposée; le premier membre se réduit, en effet, à la constante G{ quand on y remplace u par
Cl 1*1 -4- Gî Mt -f- . . . -h C/i M/, .
L'équation
dx
est donc équivalente à la proposée, et la comparaison des coefficients de la plus haute dérivée a^'^^ dans les deux équations nous conduit à l'identité
Vi ayant pour valeur
I dXocS.
Xn duf-'^
LEQUATION ADJOINTE DE LAGRANGE. Io3
Le produit Vif{u) étant une dérivée exacte, Vi est une solution particulière de l'équation adjointe. En donnant à l'indice i toutes les valeurs, on formera ainsi un système
de n solutions de l'équation adjointe, que Ton reconnaîtra aisément être linéairement indépendantes; ce point résultera d'ailleurs de la suite des raisonnements. Nous dirons que les solutions vi sont les adjointes des solutions {//, et nous allons étudier les relations entre ces deux groupes de solutions.
Si Ton se reporte d'abord à l'équation (i i), en la comparant à la formule (7), on reconnaît que l'on a
et il suit de la définition des fonctions 0|(a) que l'on a
(l3) V( M/, «'/) = !, V(w/,Va) = 0.
Ces relations très importantes contiennent les coefficients de l'équation proposée; les suivantes ont lieu seulement entre les intégrales w/, vi.
L'expression (12) des fonctions vi et les propriétés élémentaires des déterminants montrent que l'on aura
VxUx -4- VtU% M-... -h VnUn = O, Vx u\ -^ ^X^'t -I- . . . -+- Vn u'n, — O,
An,
De ces relations on déduira les suivantes, par des difiiérentialions répétées,
v^{^ «;*> -h vi' Mi*> -}-. . . -+- c'ii'M}*) = 0, i + /: < /i— i;
Ces formules permettent évidemment de déterminer les solu-
lions Ui en fonction des solutions Vi\ et, si l'on pose
A.rr:
on obtiendra les eicpressions suivantes
toutes pareilles à celles qui déterminent les Vi au moyen des £//. On a d'ailleurs
