Passons maintenant au second terme

de l'intégrale de Riemann. Nous avons donné l'expression approchée de Ujr^y^ lorsque Xq — y^ se rapproche de zéro. Si on la porte dans l'intégrale précédente, on aura de même l'expression approchée de cette intégrale

La comparaison avec la formule (24) donne encore les deux fonctions qui doivent figurer dans la formule de Poisson. On trouve ainsi

A étant la constante déjà définie. Il suffit maintenant de vérifier que, en introduisant ces valeurs de <p et de tL dans l'intégrale de Poisson, on retrouvera le terme

/Ur^J{x)dx,

Pdx.

La substitution des valeurs de ç(a), ^(a) donne deux termes qui sont, Tun et l'autre, de la forme

/ V ' On a ici

Quant à la variable d'intégration x, qui est comprise entre a et Xi^ elle peut être, soit plus petite, soit plus grande que Xq, On peut donc décomposer ainsi l^intégrale précédente

f doL Pdx-h doL j P dx.

Pour le premier terme, l'ordre de grandeur des variables sera défîni par les inégalités

On pourra donc intervertir Tordre des intégrations, ce qui donnera

dx I V doL

Pour la deuxième, on aura et, par suite, on pourra la remplacer par la suivante :

dx V d%.

Appliquons ces transformations aux deux termes qui composent l'intégrale de Poisson; nous aurons le résultat suivant :

— aJ 'f{x){y,^x)dxj \y^-7)-?X%-Xo) ?(a~x)?- '(j^» -a)P'-t rfx

-t-A r 'f(x){y,-x)dx f \y^-oi)-?XoL-Xo)-H^~x)^-Hyi-oî)?'-tdjL

X (a — x)-P'{yi — a)-p ^a

X(a — a:)"?'(7i— a)-P «fa.

yo LIVRE IV. — CHAP. IV.

Le premier et le troisième terme représentent précisément l'expression

qu'il s'agissait de retrouver. 11 suffit, pour le reconnaître, de se reporter à l'expression (2^) de u\ quant au deuxième et au quatrième terme, leur somme est nulle, en vertu de l'équation

que l'on vérifiera comme il suit. On effectuera sur la variable de la première intégrale la substitution linéaire par laquelle j^oi ^O) yi, X se changent respectivement en x, y^^ x^^ y^ et l'on retrouvera la seconde intégrale.

363. L'intégrale de Poisson une fois établie d'une manière rigoureuse, on peut, en l'étudiant, obtenir 'différents résultats qui ont un réel intérêt pour la théorie des équations aux dérivées partielles. Nous signalerons seulement le suivant, que l'on déduit aussi de la formule (aS).

La formule de Poisson contient deux fonctions arbitraires cp(a) et ^(a). Supposons que l'on connaisse ces fonctions seulement pour les valeurs de a comprises entre les deux constantes ao et ai; l'intégrale générale ne pourra être déterminée que pour les valeurs de a; et de y comprises entre ao et a|. Admettons, pour fixer les idées, que l'on ait prisjK supérieur à x. Si l'on construit {fig* ay) la bissectrice OC'B' de l'angle des axes et les points C, B', d'abscisses ao et ai, la valeur de l'intégrale sera connue pour tous les points du plan compris à l'intérieur et sur les côtés DB', DC du triangle DB'C; mais il sera impossible de la déterminer en dehors de ce triangle.

Nous avons supposé les fonctions ^ et if déterminées seulement pour l'intervalle (ao, a,). Il est clair qu'on peut les prolonger au dehors de cet intervalle d'une infinité de manières, en s'assujettissant même à conserver la continuité des dérivées jusqu'à un

LA MÉTHODE DE RIËHANN. ()l

ordre quelconque, soit pour a = olq, soit pour a = a|. En adop tant ces dîfTérents prolongements, on aura différentes intégrales de l'équation proposée qui auront, toutes, les mêmes valeurs à Tintérieur du triangle DB'C, dont les dérivées seront les mêmes jusqu'à un ordre quelconque pour les points de chacun des côtés DB', DC, mais qui différeront à l'extérieur du triangle. Ainsi, une intégrale de l'équation proposée qui est assujettie à prendre des valeurs données sur les côtés DB', DC du triangle DB'C est bien déterminée pour les points placés à Tintérieur de ce triangle; cela résulte de la formule (^3); mais elle ne l'est en aucune manière à l'extérieur du triangle. Elle pourra prendre à l'extérieur une infinité de systèmes de valeurs que l'on pourra définir d'une manière très générale, en s'assujettissant même à respecter la continuité de z et de ses dérivées jusqu'à un ordre quelconque pour tous les points de DB' et de DC. Ce résultat si intéressant tient à ce que les droites DB' et DC sont des caractéristiques. La formule générale de Riemann nous montre en effet que, si, sur toute autre courbe qu'une droite parallèle à l'un des axes, la fonction est donnée ainsi que ses dérivées premières, elle est déterminée par cela même des deux côtés de la courbe.

364. L'étude approfondie que nous avons faite de la méthode de Riemann, dans le cas particulier de Téquation E(P, P'), va nous permettre de revenir sur la théorie générale développée dans les n" 3S8 et 359, et de faire disparaître une objection que l'on peut adresser à cette théorie. La valeur de z donnée par la formule (i4) vérifie, on peut s'en assurer, l'équation aux dérivées partielles (9); elle satisfait également aux conditions aux limites qui ont été posées a priori; mais on peut objecter que l'existence de la fonction u, sur laquelle reposent tous les raisonnements, et que nous avons déterminée dans le cas particulier de l'équation E(P, P'), n'est nullement établie pour les équations les plus générales. On peut lever cette objection, au moins pour le cas très étendu où les coefficients a, 6, c de l'équation linéaire sont des fonctions finies et continues, par conséquent développables en séries.

La fonction {/, considérée comme solution de l'équation adjointe, doit se réduire, pour yz=yQ^ à une fonction déterminée de j?.

g'i LIVRE IV. — CHAP. IV.

l hdx r ady

e -^o et, pour x = Xo, à une fonction déterminée dey, e*^y* Ces deux fonctions sont évidemment développables en série suivant les puissances de x — Xq, y — y^ toutes les fois qu'il en est de même des fonctions a et b. Il suffira donc, pour mettre hors de doute l'existence de la fonction //, d'établir la proposition générale suivante :

Etant donnée V équation linéaire

/ ox ^"-2 dz , dz

( ■;>S ) har ^^ o hc^ = o,

ôxoy àx oy

dont les coefficients a, 6, c sont développables en séries ordonnées suivant les puissances entières et positives de x — x©, y — yo» il existe une solution de V équation aux dérivées par^ tielles, se réduisant, pour y z=^yQ, à une fonction déterminée '^{x) de X, développable suivant les puissances de x — ^o? ^^> pour X =^ Xq^ à une fonction ^{y) de y, développable suivant les puissances de y — y^.

Pour démontrer cette proposition, nous effectuerons d'abord la substitution

37 I a?o H- - » y \ yo-^z'

p et 0- étant deux constantes que l'on choisira de telle manière que les développements des fonctions a, fe, c, ç(^), ^{y)^ qui sont ordonnés, après la substitution, suivant les puissances de J? et dey, soient convergents pour toutes les valeurs de ces variables de module inférieur ou égal à V unité. Cela posé, proposons-nous de déterminer toutes les dérivées de la fonction cherchée z pour x^=y = o.

Puisque z doit se réduire à ^{x) poury=o, cette condition déterminera toutes les dérivées de z par rapport à la seule variable x\ de même, puisque z doit se réduire à ^{y) pour ^ = 0, on connaîtra toutes les dérivées par rapport à la seule variable y; enfin, l'équation aux dérivées partielles fera connaître, en fonction des précédentes, toutes les dérivées prises à la fois par rapport à X eiky. On peut, avec toutes ces dérivées, former le développement en série de la solution cherchée suivant les puissances de x

LA UÉTUODE DE RIEUANN. ()3

et de y, et tout se réduit à établir que ce développement est convergent; car, s'il en est ainsi, il satisfera évidemment, et aux conditions aux limites, et à l'équation proposée.

Or, les séries qui développent les fonctions a, 6, c, :p, ^ étant convergentes dans un cercle de rayon i, il est toujours possible de trouver des constantes M, N, P, H positives et telles que les dérivées d'ordre quelconque de a, è, c, cp, i aient des modules respectivement inférieurs aux dérivées correspondantes des fonctions

Si donc on se propose le problème suivant : « Déterminer une fonction satisfaisant à l'équation

, , d^z M dz ^ dz P

dx&y 1 — X — y Ox 1 — x--ydy (1 — x — /)*

se réduisant, pour y = o, à et, pour ^ = o, à » , on ob-

IX I — y

tiendra, pour définir cette fonction, une série dont tous les coefficients seront certainement supérieurs à ceux de la série relative à l'équation donnée. Il suffira donc de démontrer que cette nouvelle série est convergente pour les valeurs de x et de y suffisamment voisines de zéro.

Le nouveau problème auquel nous sommes ainsi conduits est virtuellement résolu dans ce Chapitre; car, si l'on remplace, dans l'équation, x par i — ar, elle prend la forme même de l'équation (i) considérée au commencement du Chapitre précédent [p. 54] et peut, par suite, se ramener à l'équation E(P, P'), pour laquelle nous avons résolu le problème proposé. Le résultat, que nous nous contenterons d'indiquer, conduit à une fonction qui est réellement développable en série (*). Il est donc possible de

(*) Si l'on augmente les constanles M et N en les amenant à vériGer la relation

si l'on remplace ensuite les deux fonctions , par .

94 LIVRE IV. — Cil A P. IV.

déterminer une solution de l'équation aux dérivées partielles proposée par les conditions aux limites que nous avons indiquées, et d'établir le théorème général sur lequel repose Texistence de la fonction u.

' 365. Les relations que nous venons d'établir entre une équation linéaire et son adjointe ont un caractère très général; il en est d'autres que nous allons signaler et qui se rapportent au cas où l'une des deux équations peut être intégrée par la méthode de Laplace. Considérons, en même temps que l'équation aux dérivées

partielles

f)* s àz , âz

T- (I \- O h cz = o.

son adjointe

d^ z dz , àz i ^^ ^^b \

fz f on oo \

dx dy <)x d^

et proposons-nous d'abord de calculer les valeurs des invariants h et k de cette équation. Si l'on désigne ces valeurs par h! et /:', on trouve

Ainsi les invariants de Véquaiion adjointe sont égaux à ceux de V équation proposée, mais pris dans un ordre différent.

Il suit de là que, si l'on sl h = ky on pourra passer de l'équation à son adjointe par la substitution de Xz k z^y. étant une fonction déterminée. C'est ce que l'on vérifie aisément; car, si l'on ramène l'équation linéaire à sa forme réduite, qui est, dans ce cas, (n« 329)

Ox ôy

on reconnaît immédiatement que l'équation est alors identique à son adjointe.

7"^» on peut obteoir, pour la fonction auxiliaire, la forme très simple

OÙ a et ^ désignent deux constantes réelles, fonctions de M et de P.

366. On peut déduire une autre conséquence des relations entre les invariants de l'équation et ceux de son équation adjointe. Désignons par (E) Téquation, par (E') son adjointe et appliquons à l'une et à l'autre la méthode de Laplace. Nous obtiendrons deux suites d'équations

..., (E î), (E-i), (E). (E|), (Ej)

..., (EL,), (E'^), (E';. (Ei), (E,.)

Or nous avons vu au n** 331 que, si l'on désigne par h i et h les invariants A: et A de l'équation (E), ceux de l'équation (E/) seront hi s et A/, les quantités A/ se déterminant au moyen des deux premières, h et A..,, par la relation de récurrence

La symétrie de cette formule nous permet de reconnaître immédiatement que, si l'on passe de (E) à l'équation adjointe (E'), c'est-à-dire si l'on échange les deux premiers invariants A i et A, au lieu d'obtenir la suite

on aura

A3, Aj, Al, A, A-i, /i j.

Il résulte de là que l'équation (E/) aura ses invariants égaux, à l'ordre près, à ceux de l'équation (El,). Par conséquent, l'adjointe de (E/) sera l'équation (El,) dans laquelle on aura changé z en \z^ \ désignant une fonction convenablement choisie de x et de y ; et, si l'on néglige, comme nous l'avons fait jusqu'ici, les changements qui résultent de cette substitution, on pourra dire que (El,) est l'adjointe de (E|). Cette remarque à peu près évidente conduit aux conséquences suivantes.

Supposons que la première suite se termine dans un sens, dans celui des indices positifs par exemple; soit (E/) la première équation dont l'invariant A est nul; il est clair que, parmi les équations d'indice négatif de la seconde suite, (El,) sera la première dont rinvariant k sera nul; la seconde suite se terminera donc à (El,). On peut donc énoncer la proposition suivante :

Quand l'une des deux suites de Laplace relatives à une équation et à son adjointe se termine dans un sens, l'autre se termine en sens contraire, et après un même nombre d'opérations; si donc la première suite se termine dans les deux sensy il en sera de même de la seconde, et il y aura autant d'équations d'indice positif dans l'une des suites que d'équations d'indice négatif dans l'autre (').

Nous allons nous attacher à cette dernière hypothèse et montrer comment, dans ce cas, on obtient effectivement Tintégrale de Téquation adjointe. Mais, pour résoudre cette question et celle qui la suivra, il est nécessaire que nous donnions des développements étendus sur Téquation adjointe de Lagrange relative à une équation linéaire d'ordre quelconque, mais contenant une seule variable indépendante. Ce sera l'objet du Chapitre suivant. Nous terminerons celui-ci en résumant les relations que nous avons mises en évidence entre une équation et son adjointe.

367. Nous présenterons d'abord quelques remarques sur la notion même d'intégrale générale. Etant donnée une équation aux dérivées partielles, il peut arriver, dans quelques cas spéciaux, (jue l'on ait des méthodes permettant d'obtenir une formule générale qui donne toutes les solutions de l'équation. C'est ainsi que, si l'on a à intégrer l'équation élémentaire

dxdy

on est assuré que toutes les solutions seront fournies par la formule

Plus généralement, si la méthode de Laplace, appliquée à ces équations linéaires que nous avons étudiées dans les Chapitres

(') Un jeune géomèlre, M. K. Liouvillc, qui a été. conduit par ses recherches personnelles à la considération de Téquation adjointe, a établi ce théorème^ comme nous le faisons ici, par l'emploi de nos invariants A et Ar. ( Voir le Mcnuùrc Sur les formes intégrables des équations linéaires du second ordre inséré au LVI" Cahier du Journal de l'École Polytechnique, p. 6; 1887.)

précédents, permet d^intégrer Tune des équations de la suite, la formule à laquelle on est conduit, et dont nous avons indiqué la forme, représente effectivement la solution générale de Téquation considérée. Mais il existe d*autres moyens, plus ou moins indirects, de parvenir à des formules générales qui représentent des solutions d'une équation aux. dérivées partielles; tel est celui que nous avons employé, par exemple, pour obtenir la formule de Poisson généralisée par M. Appell. A quel caractère pourra-t-on reconnaître que de telles formules fournissent l'intégrale générale de l'équation considérée? Ampère, dans le célèbre Mémoire inséré aux XVII" et XVIIP Cahiers du Journal de V Ecole Polytechnique (*), a adopté la règle suivante :

« Pour qu'une intégrale soit générale, il faut qu'il n'en résulte, entre les variables que l'on considère et leurs dérivées à l'infini, que les relations exprimées par l'équation donnée et par les équations qu'on en déduit en la différentiant (2). »

Cette intéressante définition porte la marque de l'esprit philosophique de son illustre auteur; on pourrait la justifier en s'appuyant sur les travaux ultérieurs de Cauchy; mais il vaut mieux, nous semble-t-il, déduire de ces travaux une définition nouvelle de rintégrale générale. Si nous supposons, par exemple, que l'équation aux dérivées partielles soit du second ordre et à deux va-^ riables indépendantes, Cauchy a montré que, sous certaines conditions de continuité qu'il est inutile de rappeler ici, il existe une intégrale de l'équation, déterminée par la condition de prendre des valeurs données à l'avance, ainsi que l'une de ses dérivées premières, pour toutes les valeurs de x et de^ liées par une relation donnée ou, si l'on veut, représentées géométriquement par tous les points d'une courbe analytique plane. Cette importante proposition, que nous avons déjà rappelée [I, p. 388], conduit par

( ' ) Ampère, Considérations générales sur tes intégrales des équations aux différentielles partielles f lu à l'Institat le xi janvier 18 14 {Journal de l'École Polytechnique j XVII' Cahier, p. 549.)

Ampkre, Mémoire contenant V application de la théorie exposée dans le XVII* Cahier du Journal de l'École Polytechnique à l'intégration des équations aux différentielles partielles du premier et du second ordre {Journal de VEcole Polytechnique, XVIII' Cahier, p. i; 1820).

(') Journal de V École Polytechnique, XVII' Cahier, p. 55o.

gS LIVRE IV. — GHAP. IV. — LA MÉTHODE DE RIEMANN.

une voie naturelle à une définition nouvelle et rationnelle de l'intégrale générale : pour qu'une formule obtenue par une voie quelconque représente l'intégrale générale, il suffira évidemment que l'on puisse disposer des arbitraires qui y figurent, fonctions ou constantes en nombre illimité, de manière à retrouver les solutions dont les théorèmes de Cauchy nous démontrent l'existence, c'està-dire de manière à attribuer à la fonction inconnue et à l'une de ses dérivées premières des valeurs se succédant suivant une loi quelconque, donnée à l'avance, pour tous les points d'une courbe. Il pourra arriver, sans doute, que la formule obtenue laisse échapper certaines solutions exceptionnelles : cette circonstance se présente déjà pour les équations différentielles à une seule variable indépendante qui peuvent avoir des solutions singulières dans certains cas exceptionnels. Il pourra arriver aussi que la solution obtenue ne convienne que pour les valeurs de x et de y représentées géométriquement dans une région déterminée du plan; plusieurs formules pourront être nécessaires pour représenter l'ensemble des intégrales. Le critérium qui se déduit immédiatement des résultats de Cauchy est précisément le moyen le plus sûr que nous ayons de reconnaître, dans les cas difficiles, le degré de généralité que présente une intégrale donnée a priori.

Appliquons ces remarques aux relations que nous avons établies entre une équation linéaire et son adjointe. Toutes les fois que l'une des deux équations s'intégrera directement, c'est-à-dire par l'application de la méthode de Laplace, il en sera de même de l'autre. D'ailleurs, lorsqu'on aura obtenu par un procédé quelconque l'intégrale générale de l'une des équations, on pourra déterminer la fonction u de Riemann et, par suite, intégrer aussi l'autre équation. Nous pouvons donc, en tenant compte des remarques précédentes, énoncer d'une manière générale la proposition suivante :

Etant données une équation linéaire et son adjointe, l'intégration par un procédé quelconque de l'une des deux équations entraîne comme conséquence celle de Vautre équation.