LÉQUATION ADJOINTE DE LAGRANGE

après quelques réductions faciles, la relation

XSA

(rt-p-1) ,,(n-p-l)

io5

Un

qui comprend comme cas particulier les formules (12) et (17). On aura de même

(ao)

Us

ip-i)

Xr^'A

t'p-Kl

371 . L'emploi des propositions précédentes conduit rapidement à l'intégrale générale de l'équation avec second membre

où R désigne une fonction quelconque de la variable indépendante.

Si l'on multiplie, en effet, les deux membres de l'équation précédente par Vi^ on aura, en intégrant.

c'est-à-dire

/ ^if{ u)dx — I Kvi dxy

11 suffit d'attribuer à i toutes les valeurs i, 2, . . . , /i et de résoudre les équations obtenues, qui sont du premier degré par rapport à la fonction inconnue u et à ses dérivées u', u"^ . . . , !£(«-« ), La résolution se fait très simplement de la manière suivante.

Posons

W^^' = hy M'*' -T- A, m'/ 1 -h . . . "f- A„ M^*',

A|, A2, . . . , hn désignant des inconnues nouvelles que l'on substituera à 2/ et à ses dérivées. La substitution des valeurs de u, u\ . . ., données par la formule précédente dans l'équation (21),

Io6 LIVRE IV. — CHAP. V.

nous donnera

Si Ton tient compte des relations (i3), il reste

hi = I Kvi dx.

Par suite, la solution cherchée et ses n — i premières dérivées sont déterminées par les formules

u = '^ujR.,d., u^^^ ='^urf^^.d..

Le résultat se présente sous la forme même que l'on doit obtenir lorsqu'on applique la méthode de la variation des constantes arbitraires due à Lagrangc.

372. Pour compléter cette étude des relations entre une équation linéaire et son adjointe, nous indiquerons une forme remarquable que l'on peut donner aux deux fonctions f{u) et g{v)'

U suit de la théorie même de l'équation adjointe que l'on peut mettre /(m), et d'une infinité de manières, sous la forme

1 dfi{u)

««4-1 dx

En appliquant la même transformation à /i (£/) et à toutes les fonctions que l'on introduira successivement, on obtiendra pour y une expression telle que la suivante

a^-Hi cLx OLn dx tt] ax a^

chaque différentiation portant sur tout ce qui suit. Multiplions par V et posons

\ d IL

\ •''^ ' ~~ a„/^i dx dn-i dx ' dt dx «i

l'équation adjointe de lagrange. 107

soit de même

{26) / ^/(P) = -, r '■' ^ Zj '

^ a/^-i dx Oii+i dx OLn dx OLn-^l

^ ai dx «j dx OLn dx a^-t-i

D'après ces définitions des fonctions fi{u)t gk{^)> on aura

Une suite d'intégrations par parties nous donnera les formules

j V f{u) dx = j gn{v)dfx{u)

= gn{v)fl{u) -'Jfx{u)dgn{v), —JfiWdgn(v) = /V/i-i(^)^/s(w)

—jfn{u)dgx{v) ^jug{v)dx.

Si l'on ajoute toutes ces équations, on obtiendra l'identité

d'où il résulte que g{v) est le polynôme adjoint à f{u) et que l'on a

Cela posé, les différentes solutions particulières de l'équation

Io8 LIVRE IV. — CHAP. V.

proposée peuvent être représentées par les formules

M|= a,, Wj ^ «I / 3tj dxj

chaque signe intégral portant sur tout ce qui suit. De même les solutions de Téquation adjointe, que nous désignerons par (V|, (V2, . . ., iVnf seront ^

w„ — a„-Hi I yadx I , .. j %idx.

Pour plus de netteté, nous supposerons que toutes les intégrales soient prises entre x^ et ^, Xq étant une constante. Si Ton se reporte à la défînition des fonctions f\jfiif •••>/«? ^^ reconnaît que l'intégrale particulière ui annule identiquement les n — i premières et réduit à l'unité la {n — « -h 1)**°*®. Quant aux suivantes y)j iL4.2, - ' '^fnt elles auront toutes la forme d'une intégrale prise entre les limites Xq et x. On trouvera, par exemple,

f «I dx, fn-i-hîi = / ^u\dx j %i dxy

jr-û ^x^ *^x»

et ainsi de suite. Toutes ces fonctions, qui ne sont pas nulles en général, le deviendront cependant pour x = Xq.

De même, la solution (v^, substituée dans les fon étions ^{(t^), les annulera toutes, pour x = Xo, sauf la fonction gn-h^\ qui se réduira à {^ — i)*~*.

D'après cela, substituons, dans la formule (27), mk la place de w, Wk à la place de (^. La dérivée v f{u) — ug{v) du premier