L*ÉQUATION ADJOINTE DE LAGRANGE. IO

membre étant nulle, le second membre doit se réduire à une constante. On peut donc, pour calculer cette constante, donner à x la valeur particulière x^. La seule fonction f^ qui ne soit pas nulle est alors fn~.i^\ qui se réduit à l'unité. On a donc

^("/, «'A)^^l•(tv;t)• Mais la fonction gi{wk) est nulle tant que Ton n'a pas

et elle est égale à (-- i)""' si cette relation a lieu entre les indices. On aura donc

/ W{uijWk) = o pour i-\- k j^ n-\-\.

Si l'on pose

ce qui donnera le système suivant

ç^ ^ ( - i)»- «a,n, j andx I .. . I (X3 dx,

çi z^ (— i)'*-'a„4-i I oLftdx I . . . I a/+i dx,

il viendra

(33) W(ui,çi) = i, W(Ui,Çk) = o,

c'est-à-dire que les Vi seront les solutions correspondantes ou adjointes aux w/, dans le sens que nous avons donné à ce mot au n» 370.

373. Nous allons maintenant appliquer les propositions précédentes au cas où l'équation adjointe admet les mêmes intégrales que l'équation proposée. On a alors

p étant une indéterminée que Ton obtient par la comparaison des . coefficients de u^"^ dans les deux membres. On trouve ainsi, en se reportant à la valeur (3) de g(v)^

de sorte que Ton a nécessairement

si l'équation est d'ordre pair, et

si l'équation est d'ordre impair.

Il y a donc une différence essentielle entre les équations d'ordre pair et celles d'ordre impair. Les premières se rencontrent dans la théorie de la variation seconde des intégrales simples ; Jacobi en a donné les principales propriétés {*). Les secondes, que nous rencontrerons dans la suite, ne paraissent pas avoir été étudiées.

Supposons que l'équation linéaire soit d'ordre impair a /i — i et reprenons l'équation fondamentale (7) où nous remplacerons ni^) P^^ ~~/(^)' Nous aurons alors

(36) Jl^fiu) +- uf{v)] dx = ^(w, i;).

Cette relation ayant lieu pour toutes les formes possibles des fonctions u et v^ remplaçons-y s? par u\ elle deviendra

(3;) / uf{u)dx= yW{u,u),

Ainsi toute équation linéaire d'ordre impair équivalente à son adjointe admet une intégrale du second degré, et son

(») Jâcodi, Zur Théorie der Variations-Rechnung und der Differential- Gleichungen {Journal de Crelle, t. XVII, p. 68; i836.) Une traduction de ce xMémoire a paru dans le Journal de Lwuviile, i" série, t. III, p. 44* ^^ pourra consulter aussi :

h^KtK\tiïi{i,) y Démonstration d'un théorème de M, Jacobi {Journal de l'École Polytechnique^ XXVIII» Cahier, p. 276; i84i).

Hesse (0.)) Ueber die Criterien des Maximums und Minimums der einfachen Intégrale {Journal de Crelle, t. LIV, p. 827; 1857).

l'équation adjointe de LAGRANGE. lit

premier membre devient une dérivée exacte quand on le multiplie par la fonction inconnue ( * ).

Cette élégante propriété caractérise, il est aisé de le prouver, . les équations de degré impair équivalentes à leur adjointe. Si le premier membre d'une équation linéaire devient une dérivée exacte quand on le multiplie par la fonction inconnue^ V équation est nécessairement d'ordre impair et elle est équivalente à son adjointe.

Soit, en effet,

u f{u) dx ~ n(a)

Téquation qui exprime la propriété précédente. Remplaçons u par {/ + X ^, X désignant une constante, et égalons les coefficients de \ dans les deux membres. Nous aurons une égalité de la forme

[Uf{v)~r-Vf{u)]dx=z\y(,u, V),

D'après la proposition générale du n^ 369, cette relation exprime que l'adjointe de la fonction linéaire f{u) est — /(")• L'équation linéaire considérée sera donc équivalente à son adjointe et, en vertu de la remarque faite plus haut, elle sera nécessairement d'ordre impair.

374. Si l'on substitue une solution de l'équation proposée dans l'intégrale du second degré n(e/), celle-ci se réduit à une constante. Cette constante pourra-t-elle devenir nulle lorsque la solution substituée sera quelconque, mais réelle? Afin de décider ce point, qui est essentiel pour la suite, nous allons indiquer une forme remarquable du polynôme quadratique n(u).

Si l'on sépare dans 11(2/) les termes qui contiennent la plus haute dérivée de u, on pourra lui donner la forme

(*) Toutes les équations linéaires admettent des intégrales du second degré, en nombre illimité; mais, dans le cas général, le premier membre de l'équation ne devient une dérivée exacte que si on le multiplie par une fonction linéaire de u et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n — i qui contient nécessairement u("^0.

Ti^(u) contenant les dérivées de u jusqu'à l'ordre 2/i — 3 seulement. En prenant la dérivée de II, on aura l'expression suivante

des termes qui contiennent la plus haute dérivée de m. Comme ^ est égale à u/{u) et doit contenir u en facteur, on aura nécessairement

ai = ûtj = . . . = afn-x = o,

tît II(w) sera, par suite, de la forme

U(u) = o(a:)tfMt»«-*' -hlIi(M),

flf étant le polynôme déjà défini. Cela posé, mettons à la place de u une solution de l'équation proposée s'annulant, ainsi que ses -An — 3 premières dérivées, pour une valeur particulière quelconque Xq donnée à œ, La fonction II (w) sera nulle, pour x = Xq» cela résulte de la formule précédente; et, comme elle doit se réduire à une constante, elle sera nulle pour toutes les valeurs de X,

Il est donc établi que, si l'équation proposée a ses coefficients réels, il y a une infinité de solutions réelles annulant l'intégrale* homogène du second degré II (m). Soit v une telle solution, pour laquelle on a

Si on la porte dans la formule (36), on obtiendra, pour toute fonction k,

fvf{u)dx = W{u, V)

ou, en remplaçant u par vu^

(39) Jvf{uv)dx^W{uv, V).

D'après l'équation (38), le coefficient de u dans le second membre est nul. On aura donc

(40) Jvf{uv)dx=f,{u'),