CHAPITRE L

SfOTIONS GÉNÉRALES SUR LES CONGRUENCES.

Définition de la congrueoce. — Nombre limité de courbes passant par un point. — Cas d'exception. — Surfaces de la congruence. — Définition des points focaux. — Détermination du nombre et du degré de mulliplicité des points focaux; application aux congruences engendrées par des courbes planes algébriques. — Surface focale^ ses relations de contact avec les courbes et avec les surfaces de la congruence. — Détermination des surfaces de la congruence dont les génératrices admettent une enveloppe. — Cas particulier des congruences' rectilignes. — Les deux séries de développables que l'on peut former avec les droites de la congruence. — Cas particulier où une des nappes de la surface focale se réduit à une courbe. — Proposition fondamentale relative à deux systèmes conjugués tracés sur les deux nappes de la surface focale. — Relation de cette proposition avec la méthode de transformation des équations linéaires aux dérivées partielles qui est due à Laplace.

311. Considérons un système de courbes, défini par les équations

a LIVRE IV. — CHAP. I.

OÙ a et 6 désignent deux constantes arbitraires. Nous désignerons sous le nom de congruence, emprunté à Pliicker, Tensemble des courbes correspondantes à tous les systèmes de valeurs de a et de 6. Il est clair qu'il passe un nombre limité de courbes de la congruence par un point quelconque de l'espace ; car, si l'on remplace, dans les équations précédentes, x^ y, z par les coordonnées Xqj yo^ ^0 ^6 ce point, on aura deux relations qui détermineront, en général, un nombre limité de systèmes de valeurs de a et de b. Cependant, il peut arriver que, pour certains points exceptionnels, ces équations admettent un nombre illimité de solutions. Il pourra donc y avoir certains points par lesquels passeront une infinité de courbes de la congruence.

Imaginons, par exemple, que l'on considère la congruence formée par les droites qui rencontrent une courbe (K) et sont tangentes à une surface (S). Les droites de la congruence qui passent par un point M de l'espace sont, en général, en nombre limité; elles sont les arêtes d'intersection de deux cônes de sommet M, l'un circonscrit à la surface (S), l'autre contenant la courbe (K). Mais, si le point M appartient à la courbe (K), il y passera une infinité de droites de la congruence qui formeront le cône circonscrit à la surface (S) ayant son sommet en ce point.

Si l'on considère de même la congruence formée par les cercles de l'espace qui passent par deux points fixes A et B, on reconnaît immédiatement qu'il passe, en général, par un point M un seul cercle de la congruence. Cette conclusion cesse d'être exacte si le point M vient se réunir à l'un des points A, B; on obtient alors tous les cercles de la congruence.

Les deux exemples différents que nous venons de signaler correspondent aux deux cas qui peuvent se présenter lorsqu'il y a indétermination. Dans le premier, les deux équations auxquelles doivent satisfaire a et fc se réduisent à une seule; dans le second, elles sont, Tune et l'autre, identiquement vérifiées.

312. Revenons aux congruences les plus générales. Si l'on établit une relation quelconque entre a et 6

les courbes de la congruence qui correspondent aux valeurs de a

et de b pour lesquelles cette relalion est vérifiée engendreront une surface que Ton obtiendra en éliminant a et Centre les équations (i) et (2). Le plan tangent en un point {x^y^ z) de cette surface sera défini par l'équation

d.T ôy '^ âz àa tfh ^ '

dx ây -^ âz da Où ^ ^

dont la forme va nous conduire à une proposition très intéressante.

Donnons, pour abréger, le nom de sur/aces de la congruence aux surfaces que nous venons de définir et qui sont engendrées par des courbes de la congruence, choisies d'ailleurs de la manière la plus arbitraire. Considérons quatre de ces surfaces, passant par une même courbe (C) de la congruence, et prenons leurs plans tangents en un point déterminé M de cette courbe; Xy y^ Zy a, b auront, en ce point, la môme valeur pour toutes les surfaces, F'(a) variera seule quand on passera d'une surface à une autre.

De celte remarque et de la forme de l'équation (3), nous pouvons donc conclure que le rapport anharmonique des plans tangents en M aux quatre surfaces, plans tangents qui contiennent tous la tangente en M à la courbe (C), est égal à celui des valeurs de F'(«) relatives aux quatre surfaces et est, par conséquent, le même pour tous les points de la courbe (C). Ainsi ;

Si l'on considère quatre surfaces quelconques de la congruence contenant une même courbe de la congruence, le rapport anharmonique des plans tangents à ces surfaces en un point quelconque de la courbe commune demeure constant quand le point se déplace sur cette courbe.

L'équation du plan tangent nous conduit encore à une autre conséquence essentielle. Déterminons sur la courbe commune (C) les points pour lesquels on a

. àa àb

da dS

Pour ces points, le plan tangent sera indépendant de F'(a) et, par conséquent, sera le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant la courbe (C). Ainsi :

Si l'on considère toutes les surfaces de la congruence qui contiennent une même courbe (C) de la congruence, il existera sur (C) un certain nombre de points pour lesquels toutes ces surfaces admettront le même plan tangent, quelle que soit la loi suivant laquelle on ait assemblé les courbes qui les engendrent.

Nous désignerons ces points sous le nom à^ points focaux,

313. Le nombre des points focaux situés sur chaque courbe dépend de la forme des équations (i) par rapport k x^y^ z plutôt que de la manière dont y figurent a et b. En d'autres termes, il dépend surtout de la forme et de la définition des courbes de la congruence, plutôt que de la manière dont elles sont assemblées. Supposons, par exemple, que les équations (i) soient du premier degré par rapport di x^ y^ z et représentent une droite : Péquation (4) sera du second degré, en général, et définira deux points focaux sur chaque droite de la congruence. Si / est du degré m et CD du premier degré, la congruence sera formée par des courbes planes d'ordre m. L'équation (4) étant alors du degré /n + i , il y aura, en général, /n(m -|- i) points focaux sur chaque courbe de la congruence.

Lorsque les courbes de la congruence rencontrent une courbe fixe (R), leurs points de concours avec la courbe fixe sont évidemment des points focaux. Il en est de même si ces courbes passent par des points fixes ; mais nous allons montrer que, dans ce dernier cas, chacun de ces points fixes équivaut au moins à deux points focaux.

Soit, en efi'et, M un point par lequel passent toutes les courbes de la congruence. Si on le prend pour origine des coordonnées, les équations (i) ne contiendront pas de terme constant et les termes de degré moindre seront au moins du premier degré. Par suite, les termes de degré moindre dans l'équation (4) seront au moins du second degré; et deux, au moins, des points d'inter-

NOTIONS GENERALES SUR LES CONtiRUENCES. 5

section de la surface représentée par cette équation avec la courbe (C) de la congruence se confondront à l'origine des coordonnées, c'est-à-dire au point M.

Indiquons quelques applications.

Pour une congruence de coniques, il y a six points focaux sur chaque conique.

Si les coniques deviennent des cercles, c'est-à-dire rencontrent deux fois le cercle de l'infini, deux des points focaux sont rejetés à l'intersection de chaque cercle et du cercle de l'infini; il en reste quatre seulement à distance finie.

Si les cercles passent par un point fixe A, il ne reste plus, en dehors de A, que deux points focaux à distance finie sur chaque cercle. C'est ce que l'on reconnaît d'ailleurs immédiatement en efiectuant une inversion dont le pôle est en A.

314. Après ces indications sommaires sur le nombre des points focaux, étudions leur distribution dans l'espace. Si l'on élimine a et b entre les équations (i) et (4), on obtient en général une seule équation, qui représente le lieu des points focaux de toutes les courbes de la congruence. Nous donnerons à ce lieu le nom de surface focale de la congruence. Il se compose d'autant de nappes qu'il y a de points focaux sur chaque courbe de la congruence. La surface focale peut se décomposer, se réduire, en totalité ou en partie, à des courbes ou à des points : nous laisserons de côté l'examen de tous ces cas, qui nous entraînerait trop loin, et nous établirons les propriétés générales suivantes.

Ecrivons les équations (i) et (4) sous la forme

oùXr désigne une inconnue auxiliaire. Si l'on regarde a et 6 comme donnés, ces équations déterminent les points focaux d'une cer* taine courbe (C) de la congruence. Le plan tangent en un de ces points à l'une quelconque des surfaces de la congruence qui contiennent la courbe (C) est défini par l'équation (3), qui prend ici la forme

6 LIVRE IV. — en A p. I.

Nous allons montrer que ce plan est aussi tangent à la surface focale au point considéré.

On obtient, en effet, Téquation de la surface focale en éliminant a, 6, k entre les quatre équations (5); mais, au lieu d'efl'ectuer cette élimination, on peut conserver toutes ces équations en convenant d'y regarder rz, 6, k comme des fonctions à déterminer. Par suite, pour avoir le plan tangent à la surface focale au point considéré, il faudra diflerentier les équations (5)eny regardante, 6, k comme des variables. Or, si Ton différentie seulement le» deux premières et que l'on forme la combinaison

df — Arrfçp = o,

les coefficients de da^ db disparaissent en vertu des deux dernières équations, et l'on retrouve l'équation (6). Cette équation représente donc, comme nous Pavons annoncé, le plan tangent à la surface focale, et nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Les courbes de la congruence sont tangentes en tous leurs points focaux à la surface focale. Les différentes surfaces de la congruence qui contiennent une courbe déterminée de cette congruence sont toutes tangentes à la surface focale en tous les points focaux situés sur cette courbe; et, par conséquent, elles devaient être^ comme il a été déjà établi, tangentes les unes aux autres en ces points,

315. On retrouve encore la surface focale en étudiant le problème suivant :

Assembler des courbes de la congruence de telle manière qu* elles aient une enveloppe, c^est-à-dire qu^ elles soient toutes tangentes à une certaine courbe.

Prenons pour b une fonction de a : nous obtiendrons une famille de courbes représentées par les équations

qui ne contiennent plus qu'un paramètre a. Pour que ces courbes aient une enveloppe, il faut que, pour toute valeur de a, on puisse

déterminer des valeurs de x^ y, z satisfaisant aux deux équations (7) en même temps qu'à leurs dérivées prises par rapport à a,

àf ^df db ô^ ^ ^^

da ' èb da * Oa db da

Si l'on élimine entre ces équations -r > on retrouve l'équation (4) qui caractérise les points focaux. Donc :

Si l'on veut assembler des courbes de la congruence de telle manière qu'elles aient une enveloppe, cette enveloppe sera nécessairement formée par des points focaux de ces courbes et sera, par conséquent, située sur une des nappes de la surface focale.

D'autre part, si l'on élimine x^ y, z entre les équations (7) et (8), on sera conduit à une relation de la forme

^/ r db\ (9) *(^a, ô, 3-j=o;

ce qui montre que la solution complète du problème exige, en général, l'intégration d'une équation différentielle du premier ordre.

Les propositions établies précédemment conduisent encore à ce dernier résultat. Nous avons reconnu que, si des courbes de la congruence admettent une enveloppe (E), cette enveloppe (E) doit se trouver sur une des nappes de la surface focale. Mais il est clair qu'elle doit encore satisfaire à une autre condition : il faut qu'en chacun de ses points elle soit tangente à la courbe de la congruence qui vient toucher en ce point la surface focale. Cette dernière condition, qui est évidemment nécessaire et suffisante, équivaut à une équation différentielle dont l'intégration permettra seule de résoudre complètement le problème. Cette équation différentielle sera du premier ordre et du premier degré pour chacune des nappes de la surface focale; mais, si ces nappes ne peuvent être séparées analytiquement, on aura à considérer une seule équation du premier ordre, dont le degré sera égal au nombre des nappes de la surface.

Dans le cas où l'une des nappes de la surface focale se réduira à une courbe (K), il suffira, pour avoir une solution partielle du problème, d'assembler toutes les courbes de la congruence qui passent par un même point de (K). Si l'on considère, par exemple, la congruence formée par les cercles qui rencontrent quatre courbes données, on aura toutes les solutions en assemblant les cercles, en nombre infini, qui passent par un point quelconque de l'une de ces courbes.

316. Lorsque les courbes de la congruence sont simplement tangentes à une des nappes de la surface focale, les points de contact de ces courbes doivent être considérés comme des points focaux simples; mais, si les courbes ont un contact d'ordre p avec la nappe considérée, chaque point de contact sera un point focal multiple tenant lieu de p points focaux ordinaires. Voici comment on peut établir cette proposition.

Soit

l'équation de la nappe considérée. Si l'on remplace partout z par 5~r/(^,y)) celle substitution ne change pas l'ordre de contact des courbes et des surfaces; mais la nappe précédente est remplacée par le plan des xy. Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité des raisonnements, supposer que toutes les courbes de la congruence soient tangentes au plan des xy^ et nous allons les étudier dans le voisinage de ce plan.

Substituons aux paramètres aelb qui entrent dans les équations de chaque courbe de la congruence les coordonnées x^^y^ du point de contact de la courbe avec le plan des xy. Les équations qui définissent cette courbe donneront alors pour y et z des valeurs qui pourront être développées en série et seront de la

forme

z ~ Ai{x — Xo)P-^^-.- Bi{x — Xq)p-^-^ - - . ..,

A, A|, B, B|, ... étant des fonctions quelconques de Xo^yo et p désignant l'ordre du contact de la courbe avec le plan des xy. Ecrivons l'équation

df d^ ^f ^^ =0 dxQ ày,i ôyo dxo '

qui détermine ici les points focaux. Elle sera de la forme

— (/> -T-l) Ai(iC — Xq)P -4-. . . — o,

les termes non écrits contenant tous en facteur une puissance de X — Xq d'exposant supérieur à p. On voit que la valeur Xq de x sera d'un ordre de multiplicité précisément égal à Tordre de contact de chaque courbe de la congruence transformée avec le plan des xy^ c'est-à-dire de chaque courbe de la congruence primitive avec la nappe considérée de la surface focale. C'est la proposition que nous voulions établir.

317. On peut raisonner d'une manière analogue lorsque les courbes de la congruence rencontrent toutes une courbe fixe (K). Si

sont les équations de cette courbe, on commencera par remplacer z par z-\-/{x) et JK par y-}- 'f (^) cl la courbe se transformera dans l'axe des x sans que les ordres de contact aient été changés. Substituons à l'un des paramètres a et b qui entrent dans l'équation de chaque courbe de la congruence l'abscisse Xq du point de rencontre de cette courbe avec l'axe des x, les équations de la courbe prendront la forme

jr — \(^x — Xo)-^ B(x --XoY -"-. . ..

z — kx{x — Xq) -r- l^x{^ ' " ^0)^ -'- ' ' ' ^

A, B, A|, B|, ... désignant des fonctions de ^o ^t de l'autre paramètre a dont dépendent les courbes de la congruence. L'équation qui déterminera les points focaux sera ici

les termes non écrits contenant [x — XqY en facteur. On voit que le point de rencontre sera un point focal simple, à moins que l'onn'ait

A Al -r- =0

OU, en intégrant,

Al =r A (p(:ro). '

*0 LIVBE IT. — CHiP. I.

Cette condition ^'interprète aisément; elle exprime qne les tangentes à tontes les courbes de la continence transformée qni coupent au même point Taxe des x sont dans on même plan passant par Oar. En étendant cette conclusion à la congraence primitive* nous obtenons le résultat suivant :

Quand les courbes de la congruence rencontrent une courbe fixe (K.), les points d'intersection sont des points focaux simples f à moins que les tangentes à toutes les courbes de la congruence qui passent en un point quelconque de (R) ne soient toutes situées dans un plan passant par la tangente en ce point à la courbe (Kj.

Si Ton étend ce mode de recherches au cas où toutes les courbes de la congruence passent par un point fixe, on démontrera de même que ce point fixe, qui tient lieu, comme nous l'avons vu, de deux points focaux au moins, ne pourra avoir un ordre de multiplicité supérieur que si les tangentes menées en ce point a toutes les courbes de la congruence forment un cône, d^ailleurs quelconque, au lieu de remplir Tespace. Nous laisserons également an lecteur le soin d'él^iblir, par une simple application des méthodes précédentes, une élégante proposition qni nous a été communiquée par M. G. Kœnigs :

Si une congruence est telle que chacune des courbes qui la composent soit rencontrée par toutes les courbes infiniment voisines de la congruencCy les différentes courbes de la congruence sont tangentes à une ou à plusieurs courbes fixes ou bien elles passent par un ou plusieurs points fixes ( * ).

318. Appliquons les propositions précédentes aux congruences de droites ou systèmes de rayons rectilignes. Le nombre des droites de la congruence qui passent par un point quelconque de Tespace a reçu dans ce cas le nom d'ordre de la congruence; on appelle classe de la congruence le nombre des droites qui sont

(*) On laisse de c<>té le cas exceptionnel où tontes les conrbes de la congruence seraient tracées sur une même surface et où, par suite, tous leurs points satisferaient à la défînition des points focaux.

dans un plan quelconque. Le système des normales à Tellipsoïde forme une congruence d'ordre 6 et de classe 2.

Sur chaque droite il y a, en général, deux points focaux réels ou imaginaires. Quand la droite se déplace, ces deux points focaux décrivent les deux nappes de la surface focale. Les droites de la congruence sont des tangentes doubles de cette surface focale, mais la réciproque n'est pas vraie, en général : toute tangente double de la surface focale n'est pas une droite de la congruence. Par exemple, la surface des centres de courbure de l'ellipsoïde admet bien comme tangentes doubles les normales de l'ellipsoïde ; mais elle admet aussi d'autres tangentes doubles qui ne font pas partie de la congruence des normales.

Soit (d) une droite quelconque de la congruence^ touchant en M la première nappe et en M' la seconde nappe de la surface focale (F). Soient (P), (F) les plans tangents en M et M' à (F). Si l'on veut assembler les droites de la congruence de telle manière qu'elles aient une enveloppe, c'est-à-dire qu'elles engendrent une surface développable, les arêtes de rebroussement de toutes les développables ainsi obtenues devront, d'après les propositions générales établies précédemment, se trouver sur l'une ou Tautre des nappes de (F). Il suit de là que la droite (d) fera partie de deux développables seulement, Tune ayant son arête de rebroussement sur la première nappe et tangente en M à la droite (d)^ l'autre ayant son arête de rebroussement sur la seconde nappe et tangente à (d) en M'. La détermination de ces deux séries de développables exigera d'ailleurs l'intégration de deux équations différentielles du premier ordre et du premier degré ou, ce qui revient au môme, celle d'une équation du premier ordre et du second degré.

Toutes les surfaces réglées engendrées par des droites de la congruence et contenant la droite (d) seront tangentes les unes aux autres aux deux points focaux M et M'. Il faut cependant faire une remarque particulière relativement aux deux développables qui admettent (rf) pour génératrice. Celle, par exemple, qui a son arête de rebroussement passant en M et située sur la première nappe de la surface focale, admet en M', et par conséquent en tous les autres points de (rf), le plan tangent en M' à seconde nappe de la surface focale. Ce plan n'est pas, il est vrai, tangent en M à la première nappe; mais cette exception au théorème général, qui se

présenterait aussi pour les congruences les plus générales, disparaît si Ton remarque que l'arête de rebroussement d'une surface développable est une ligne multiple en tous les points de laquelle le plan tangent doit être regardé comme indéterminé.

319. Désignons par les lettres (C), (C) les arêtes de rebroussement, situées respectivement sur la première et la seconde nappe, des deux séries de développables que nous venons de définir. Les premières développables, ayant pour arêtes de rebroussement les courbes (C), touchent la seconde nappe suivant des courbes (D'). Les secondes, ayant pour arêtes de rebroussement les courbes (C), touchent de môme la première nappe suivant des courbes (D). Il y a une relation géométrique à peu près évidente, mais très essentielle, entre les deux familles de courbes tracées sur la même nappe (C) et (D) ou (C) et (D'). Les tangentes aux différentes courbes (C)aux points où ces courbes rencontrent une même courbe (D) engendrent, par hypothèse, une surface développable ayant son arête de rebroussement sur la seconde nappe. Donc les courbes (C) et (D) forment un système conjugué sur la première nappe; et, de même, les courbes (G) et (D') forment un système conjugué sur la seconde nappe. Ainsi :

Sur chaque nappe de la surface focale^ les courbes correspondantes aux deux séries de développables forment un système conjugué. Les unes sont les arêtes de rebroussement de l'une des deux familles de développables ; les autres sont les courbes de contact des développables de l'autre série,

320. L'étude détaillée des relations précédentes est très féconde en conséquences et elle permet de résoudre différentes questions. Proposons-nous, par exemple, le problème suivant :

On considère sur une surface (S) une famille de courbes (C). Les tangentes à ces courbes forment une congruence dans laquelle on connaît déjà une des deux familles de développables, celles qui sont engendrées par les tangentes aux diverses courbes (G). On propose de définir les développables de l'autre famille.

NOTIONS GENERALES SUR LES CONGRUENCES. l3

Il est clair, d'après ce qui précède, qu'il faudra associer aux courbes (C) leurs conjuguées (D) sur (S). Les tangentes aux courbes (C) en tous les points d'une courbe (D) engendreront les développables de la seconde famille. La détermination de ces développables exigera l'intégration d'une équation du premier ordre et du premier degré, celle des courbes (D).

La construction précédente montre immédiatement que, si les courbes (C) sont des lignes asj^mptotiques, et seulement dans ce cas, elles coïncident avec les courbes (D). Ainsi les congruences dans lesquelles les deux points focaux sont constamment confondus, les deux nappes de la surface focale se réduisant à une seule (S), sont formées de l'un des deux systèmes de tangentes asymptotiques de (S). Ce résultat est en parfait accord avec celui qui a été démontré au n^ 316.

321. Les propositions précédentes subissent des modiCcations qu'il est aisé de prévoir dans le cas où l'une ou l'autre des deux nappes de la surface focale se réduit à une courbe. Alors les développables qui avaient leur arête de rebroussement sur cette nappe se réduisent aux cônes engendrés par les droites de la congruencc qui coupent en un même point la courbe à laquelle se réduit la nappe considérée.

Proposons-nous de déterminer, dans ce cas spécial, la seconde famille de développables de la congruence. Donnons-nous les équations de la courbe focale sous la forme

les équations qui déterminent une droite de la congruence seront de la forme