X-a7:-rX(Z-5), Y-j=ii(Z

X, Y, Z étant les coordonnées variables et [jl une fonction de X et de z déterminée par la définition de la congruence. Pour obtenir les développables, nous exprimerons que la droite représentée par les équations précédentes est rencontrée par une droite infiniment voisine de la congruence; c'est-à-dire que nous associerons aux

l4 LIVRE IV. — CHAP. I.

deux équations précédentes les suivantes

dx -f- ûfX ( Z - -5 ) — \dz r^ o, dy -t- â?{jL(Z — -5) — [X £^-5 = o,

que Ton obtient en faisant varier inikiiment peu X et z. Si nous éliminons Z — 3, nous obtiendix)ns Téquation différentielle

(ûLc — X dz)d[L — {dy — iLdz)d\ = o,

dont l'intégration fera connaître les développables de la congruence. On aperçoit immédiatement une première solution

dx = dy = dz = o;

elle correspond au cône formé par toutes les droites de la congruence qui passent au même point de la courbe focale. Si nous écartons cetle solution évidente, et déjà signalée, et si nous remplaçons rf[x par sa valeur -^dz-i- ^ ^> nous serons conduits à l'équation différentielle du premier degré

dont rintégration paraît impossible dans le cas général.

Si Ton suppose que toutes les droites de la congruence qui

passent au môme point de la courbe focale y forment un plan, la

seconde nappe de la surface focale sera évidemment la dévelop-

pable (A) enveloppe de ce plan. Dans ce cas, la relation entre [jl,

X, z prendra la forme

|ji. = AX-+- B,

A et B étant des fonctions de z, et l'équation (10) se réduira à la suivante

dz~ Ax'-hB—y' ' qui est une équation de Riccati. Ainsi :

La détermination de toutes les courbes, tracées sur une dé^ sfeloppable {1)^ dont tes tangentes vont rencontrer une courbe

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES CONGRVENCES. l5

donnée quelconque (K), dépend de l'intégration d'une équation de JRiccati.

Par conséquent, elle pourra être effectuée (n*»* 16 et 17) par 3 — n quadratures, dès que Ton connaîtra n courbes particulières donnant une solution du problème. Le lecteur fera de lui-même l'application au cas où la développable (A) est l'enveloppe des plans normaux à la courbe (R). Les courbes cherchées deviennent alors les développées de (R); on peut d'ailleurs obtenir deux de ces courbes sans aucune intégration : ce sont les arêtes de rebroussement des deux nappes de la développable circonscrite à la courbe (R) et au cercle de l'infini. Par suite, les développées les plus générales peuvent se déterminer par une simple quadrature, ce qui est conforme aux résultats du n" 12 [I, p. i8].

Si la courbe (R) est plane, son plan coupe (A) suivant une courbe plane dont les tangentes rencontrent (R); on connaîtra donc une solution du problème et, par suite, on obtiendra l'intégrale générale au moyen de deux quadratures.

Si, la courbe (R) étant quelconque, la développable (A) est un cône de sommet Â, on connaîtra aussi une solution particulière fournie par le cône de sommet A, contenant la courbe (R). Ainsi on peut déterminer au moyen de deux quadratures seulement les courbes, tracées sur un cône quelconque, dont les tangentes vont rencontrer une courbe tout à fait arbitraire.

L'équation (lo) permet de reconnaître les cas dans lesquels les deux points focaux de chaque droite de la congruence sont confondus; pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que l'équation se réduise à

dz = G,

c'est-à-dire que l'on ait

En intégrant, on a

h étant une fonction de z. L'interprétation géométrique de ce résultat conduit au théorème suivant, compris d'ailleurs comme cas particulier dans celui qui a été établi au n^ 317.

Les droites qui rencontrent une courbe (C) et font partie

l6 LIVRE IV. — CHAP. I.

d'une congruence n'ont leurs deux points focaux confondus que dans le cas où toutes celles qui passent en un point de (C) y engendrent un plan tangent à (C).

322. Telles sont les propriétés les plus simples des systèmes de rayons rectilignes. On voit que, si un tel système est défini, il sera toujours possible d'obtenir par des calculs algébriques l'équation de la surface focale ; mais la détermination des deux familles de développables dans lesquelles on peut distribuer toutes les droites exigera, en général, l'intégration de deux équations diiférentiellcs. L'intégration de ces équations différentielles entraînera la connaissance d'un système conjugué sur chacune des nappes de la surface focale.

Réciproquement, toutes les fois que l'on connaîtra sur une surface (S) un système formé de deux familles de courbes conjuguées

(C) et (D), on en déduira deux systèmes différents de rayons rectilignes pour lesquels on connaîtra les deux séries de développables. Considérons en effet les tangentes à toutes les courbes de l'une des familles, aux courbes (C) par exemple. Elles formeront une congruence pour laquelle les deux séries de développables seront connues : les unes seront formées par les tangentes en tous les points d'une même courbe (C), les autres par les tangentes aux différentes courbes (C) aux points où elles sont coupées par une même courbe (D) de la seconde famille. De là résulte cette nouvelle propriété :

Toutes les fois que l'on connaîtra un système conjugué sur une surface (S), on pourra obtenir une suite, en général illimitée, de surfaces sur lesquelles on connaîtra également un système conjugué.

Conservons en effet les notations précédentes et soient (C) et

(D) les deux séries de courbes conjuguées tracées sur (S). Les tangentes aux courbes (C) forment une congruence dont la surface focale se compose de (S) et d'une autre surface (S,) qui, en général, ne se réduit ni à une courbe ni à une surface développable. Aux courbes (C)et(D)de (S) correspondent des courbes (D| ) et (Cl ) de (S{ ) formant sur cette surface un réseau conjugué ;.

et les droites de la cong^ruence considérée sont tangentes aux courbes (C|). Construisons maintenant les tangentes aux courbes (D|) de (2|); elles touchent en même temps que (S|) une autre surface (S2) dont la relation à (S| ) sera la même qiie celle de (S| ) à (S). Ou pourra continuer indéfiniment ces opérations tant que Ton ne parviendra pas à une surface qui dégénère en une courbe ou en une développable, et Ton obtiendra ainsi une suite de

surfaces

(S), (S,), (SJ, (S3), ...

que l'on pourra, en général, prolonger indéfiniment.

Revenons maintenant a la surface (S). Si, au lieu des tangentes aux courbes (C), on mène les tangentes aux courbes (D), en opérant comme nous venons de l'indiquer, on obtiendra une série de surfaces

qui ne se terminera pas, en général. Si l'on réunit les deux séries pour en former une suite unique

chacune des surfaces obtenues se déduira de la suivante ou de la précédente par une construction uniforme, et l'on connaîtra sur chacune d'entre elles un système conjugué correspondant au système primitif de (S).

Ainsi, toutes les fois que l'on aura intégré les équations différentielles qui déterminent les développables formées avec les droites d'une congruence donnée, la méthode précédente fournira une série de congruences nouvelles dont les développables se détermineront sans nouvelle intégration. Ajoutons même que, pour définir toutes ces congruences, il ne sera nullement nécessaire d'avoir trouvé les développables de la première. Car, si M désigne un point quelconque de la surface (S) et M ^ la droite de la congruence tangente en M à (D), on peut toujours construire la tangente conjuguée de cette droite et définir, par conséquent, la congruence nouvelle qui doit succéder à la précédente.

323. Nous allons chercher la traduction analytique des opérations géométriques qui précèdent. Pour cela nous emploierons D. — IL 2

l8 LIVRE IV. — CIIAP. I.

les coordonnées homogènes; nous désignerons par x, y^ Zj l les coordonnées d^un point quelconque de (S) et nous prendrons pour variables indépendantes les paramètres p, pi des deux familles de courbes conjuguées (C) et (D). Nous savons (n** 98), [I, p. 122] que Xy y^ Zj t sont quatre solutions particulières d'une équation linéaire de la forme

dp âpi dp opi

Considérons la congruence formée par les tangentes aux courbes (C); ces tangentes à (S) vont toucher une autre surface (2|) qu'il s'agit de définir analytiquement. Pour cela nous prendrons un point quelconque M(x, jk, z^ t) sur (S). Il passe en ce point une courbe (C); on définira un point quelconque P de la droite M^ tangente en M à cette courbe par les formules

(.2) X = X^ + ^, Y = ly^p, Z = \z-^^^. T = U^^,

àpi -^ dpi dpi dpi

OÙ \ désigne une arbitraire dont la variation donnerait tous les points de cette tangente. Pour déterminer \ il faut exprimer que le point P décrit une courbe tangente à la droite M^ sur laquelle il se trouve, quand le point M se déplace sur la courbe (D), c'està-dire lorsque le paramètre p varie seul. Cette condition se traduit par des équations telles que les suivantes

d\ dT dY dy

(I3) -=.p^^q-, -=py^g^^, ...,

oh p et q sont des indéterminées pouvant recevoir des valeurs quelconques. Considérons seulement l'équation relative à X et

remplaçons-y -r— par sa valeur tirée de la première équation (12) :

nous aurons

d\ ^ d.r d*x dx

dp dp dp dpi * ^ dpi

oir, en substituant à -7 — 77- sa valeur tirée de l'équation (i 1),

à? dpi

/d\ \ dx ^ ^^/- N

Cette équation doit subsister quand on y remplace x par j^, z^

t; elle doit donc être vérifiée identiquement (n° 99), ce qui donne

^ ^ dp

Les formules (12) et (i3) se transforment donc dans les suivantes

àr

(i4) \^ —-^ax,

OÙ tout est connu et qui définissent complètement la nouvelle surface (S|). Pour obtenir (S.i), il suffirait d'échanger les deux variables p et pi.

324. Supposons, par exemple, que les coordonnées x^ y^ z^ t soient données par les formules

' x^ A(p- a)"»(p, — a)«, ^= C(p— c)'«(pi— c)«,

011 a, 6, c, d désignent maintenant des constantes quelconques, et qui ont été déjà employées au n° 112 [I, p. i4^] î ^t JK» -3, t sont des solutions particulières de Téquation aux dérivées partielles

' ' ' dp Opi dp api

Pour définir la surface dérivée, on emploiera les formules (14) qui nous donnent ici

^^-(p,-a)(p-pO ' (p,6)(p-p,)-^' ••••

On peut multiplier les quatre coordonnées homogènes par le facteur - — ^; ce qui conduit aux formules définitives

I X= A(p— a)"»-^»(pi — a)'»-», (17) Y = B(p - byn^i (p, — 6)«-i,

Ce sont les équations primitives dans lesquelles m, n sont remplacés respectivement par m -h i , n — i . En poursuivant l'application de la méthode, on obtiendra pour la surface (Si) le système

qui convient, on s'en assure aisément, à toutes les valeurs entières, taot positives que négatives, de i. La suite obtenue sera illimitée dans les deux sens toutes les fois que les nombres m et n ne seront pas entiers. Mais si /i, par exemple, était entier et positif, la surface (S,{) se réduirait à une courbe, et l'application de la méthode serait arrêtée à partir de (S„).

325. Revenons aux formules générales (i4) et (i5); les coordonnées x^ y^ z, t d'un point de la surface primitive (S) sont des solutions particulières de l'équation (i i) : cherchons l'équation de même forme à laquelle satisfont les coordonnées X, Y, Z, T d'un point de la surface (S|). La formule (i4) nous montre qu'il faudra faire la substitution

L'équation (i i) peut être mise sous la forme d [ . de \ .dis ( da\.

on a donc

dp \dp ] âpi

et cette formule est d'ailleurs identique à l'équation (i5) que nous aurions pu poser a priori» Pour obtenir l'équation à laquelle satisfait (t, il faudra éliminer 0 entre les équations (19) et (20). Supposons d'abord que la quantité

^ ' dp

soit nulle : alors il sera impossible de résoudre les équations (19)

et (20) par rapport à 8 et à ^; mais, si on les ajoute, après avoir multiplié la première par 6, on aura

La solution générale de cette équation du premier ordre est de la forme

cp désignant une fonction arbitraire de pi. Comme X, Y, Z, T sont des valeurs particulières de o*, on voit que les rapports mutuels de ces quantités seront des fonctions de pi; et, par suite, la surface (S|) se réduira à une courbe.

Supposons maintenant que la fonction h ne soit pas nulle. Des

équations (19) et (20) on pourra déduire les valeurs de 9, -t— > qui seront

en égalant la valeur de t— fournie par la seconde formule à

celle que l'on obtient par la différentiation de la première, on trouvera pour o* l'équation

^ dp âpi "^ V ^?i

.... .. )àp

,07 I da dh , dlofi:/i\

dpi \ <^p dp^ dpi )

Telle est l'équation à laquelle satisferont les coordonnées X, Y, Z, T d'un point quelconque de (Si ).

Nous sommes ainsi conduits, par une voie purement géométrique, à une méthode de transformation des équations linéaires aux dérivées partielles. Cette méthode, très importante, est due à Laplace qui l'a développée dans les Mémoires de V Académie des

Sciences pour 1773 (*). Comme elle joue un rôle fondamental dans Tétude d'un grand nombre de questions géométriques, nous allons Texposer, dans le Chapitre suivant, avec tous les développements qu'elle comporte.

(*) RecliercJves sur le Calcul intégral aux différences partielles, par M. de LA Place. Mémoires de MatJiématique et de Physique de l'Académie des Sciences pour 1773, p. 34i-4o3. Imprimé en 1777.