Écrivons en effet l'adjointe de Ç()v

ay j^ ^d^ , /^^ da d^\

dxdy

et soit [X son intégrale générale. D'après la proposition du n^ 402, l'expression

sera une différentielle exacte. Introduisons la fonction suivante :

l88 LIVRE IV. — CHAP. VIII.

la valeur de Z satisfera, nous allons le montrer, à Téquation

dont elle sera l'intégrale générale.

Posons, pour abréger,

(5.) .^=y[^^(^^?X,)rfx^X^(J^-aix)rf^].

Comme on a

les relations auxquelles satisfont les l/i nous donneront immédiatement les suivantes :

On aura, en particulier,

D'après cela, si l'on différentie la valeur de Z, (30) Z=2^/,jA,

on aura, en tenant compte des relations précédentes,

dZ ^ dz/i âZ ^ dzh

et, par suite,

La proposition que nous avions en vue est ainsi établie. Proposons-nous maintenant de reconnaître comment on déterminera la valeur de [x correspondante à chaque valeur de Z.

Si, tenant compte des formules (38), on différentie successivement l'équation qui donne Z, on obtiendra une série de formules comprises dans le type suivant

où Ton peut employer la fonction (m — i , /i — i) la plus générale, et qui tient lieu par conséquent de m-^- n — i équations distinctes. Considérons deux de ces équations et d'abord la suivante :

Si on la différentie par rapport à x^ on trouvera Prenons ensuite Téquation et ditlérentions-la par rapport ày ; nous trouverons

Si l'on joint les deux équations (Sg) et (60) aux m-h /^ — i équations (58), on forme un système qui peut être résolu par rapport aux/? -f- i inconnues (Ta et [jl; et qui donne, en particulier, pour [JL une fonction linéaire de Z et de ses dérivées, prises jusqu'aux ordres m et n respectivement par rapport à ^ et par rapport kyy c'est-à-dire une expression de la forme

(61) jji = {m, n)z.

D'ailleurs, le système des équations considérées ne change pas lorsqu'on remplace Z par Z -f- Cz/^ à la condition de remplacer (j>i par o-A 4- C; cela résulte de ce que les «ta sont des intégrales aux-

igo

quelles on peut toujours ajouter une constante. La valeur de [x ne changera donc pas si l'on y remplace Z par Z-f- G^aî par suite, elle devra s'annuler quand on y remplacera Z par ^a*

Ainsi la valeur de [jl est cette expression (m, n) qui est définie par la condition de s'annuler quand on y remplace Z par l'une quelconque des solutions particulières

^it -^i» • • • » ^p-

La proposition que nous venons d'étudier peut donc être considérée comme le complément et l'inversion de celle que nous avons donnée au n** 400.

405. Nous indiquerons l'application suivante. Soit (E) l'équation à laquelle satisfont les coordonnées x, y^ z^ t d'un point d'une surface, considérées comme fonctions de p et p|. Soit (E') son adjointe, et désignons de même par (G), (G/) les équations analogues relatives aux coordonnées tangentielles. Si U désigne la solution la plus générale de (G), l'intégrale générale de (E') sera l'expression (2, a) définie par la condition de s'annuler pour U = w, (^, w^ />, c'est-à-dire

du

dp

dp à?

do*

dpl

dpl

dpî

et, réciproquement, l'intégrale U s'exprimera au moyen de l'intégrale générale de (E') par une équation de la forme

où o"! , 0*2, 0*3, a'4 désignent quatre intégrales semblables à celle qui est définie par la formule (Sa). Il y aura des relations analogues entre (G') et (E).

Si donc, conformément aux remarques présentées à la fin du

Chapitre IV, on regarde rintégralion d'une équation et celle de son adjointe comme deux problèmes équivalents, on voit que les deux équations auxquelles satisfont, soit les coordonnées tangentielles, soit les coordonnées ponctuelles, sUntégreront en même temps, et que, si V une des équations s* intègre par la méthode de Laplace, il en sera de même de C autre.

igîi LIVRE IV. — CHAP. IX.