TIF
Si [i était nul, il faudrait évidemment que l'on eût
LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l8l
ç étant une fonction linéaire de z et de ses dérivées. On aurait
et l'on retrouverait les expressions que nous avons étudiées au commencement de ce Chapitre. Si [jl n'est pas nul, il résulte des propositions rappelées au n® 357 que [Ji sera nécessairement une solution particulière de l'équation adjointe. On aura alors
•f à / dz \ à / du. , \
et l'identité à vérifier se ramènera à la suivante :
Si donc {f désigne une fonction linéaire de z et de ses dérivées jusqu'à un ordre quelconque, on aura nécessairement
et, si l'on pose
(25) ,7=y[*(g-&,x)rf^ + i^(^+«^)rfr],
on pourra écrire
(26) 0= C{P dx -h Qdjr) = a -h V.
11 faut maintenant déterminer [jl et p de telle manière que 0 soit l'intégrale d'une équation du second ordre.
Nous allons montrer d'abord que o- satisfait, pour chaque valeur de [JL, à une telle équation. On a, en effet
En tirant de la première équation la valeur de z et la portant dans la* seconde, on trouve
, o. I ^ff a di d l àx
M. a V aix , ôx ôy \ d\k
iSa LIVRE IV. — CHAP. VIIÏ.
et cette relation constitue bien une équation linéaire du second ordre à laquelle satisfait la valeur générale de <t.
Revenons maintenant à l'expression de 0. Comme les équations (27) permettent d'exprimer z et ses dérivées en fonction linéaire des dérivées de a-, on voit que 6 pourra être exprimée en fonction linéaire des dérivées de o-. Il suffira donc d'appliquer les propositions des n*'* 399 et 400 pour obtenir toutes les fonctions 9 satisfaisant à une équation linéaire du second ordre.
Les deux propositions que nous venons d'étudier permettent, on le voit, de rattacher à toute équation linéaire (E) deux séries différentes d'équations qui s'intégreront en même temps qu'elle. Si l'équation primitive (E) s'intègre par la méthode de Laplace, c'est-à-dire si elle admet des solutions de la forme
AX-hAiX'H-...-+-A/X<'\
la même propriété subsistera pour toutes les équations qui en dérivent. Ce résultat est évident pour celles que nous avons obtenues au n** 399; et, pour celles que nous venons de définir, il est une simple conséquence de la proposition démontrée au n" 393. Ainsi, lorsque V équation primitive (E) est intégrât le par la méthode de Laplace, il en est de même de toutes les équations qui en dérivent par l'application des deux propositions précédentes.
Comme application, proposons-nous de déterminer toutes les fonctions 6 pour lesquelles P et Q contiennent les dérivées de z jusqu'au premier ordre seulement. Il faudra évidemment que v soit égal à p;;, p étant une fonction quelconque de x et de^; et, par conséquent, on aura
Pour que cette fonction soit l'intégrale d'une équation du second ordre, il faudra, ou bien que la valeur de 0 soit celle que l'on déduit de ? par l'application de la deuxième substitution de Laplace à l'équation (28) et, dans ce cas, il faudra prendre p = — [x; ou bien que le second membre s'annule pour une solution particulière 0^ de l'équation en o-.
LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l83
Dans le premier cas, on a
(3o) 6 =^j^(^-± ^- bz^ dx-hz(^^ — a}xj dy,
et la valeur de 6 est, au signe près, celle que l'on déduirait de or par l'échange des variables x et y.
Dans le second cas, on devra avoir
Ox
ou, si l'on désigne par z' la valeur de z correspondante à o^,
On a ainsi
en réduisant, on trouve
La valeur de Q est d'ailleurs
y«^x A -2 «y' , dx
(35) 6 = a--=cr-.'-^.
Nous indiquerons plus loin, au Chapitre X, Tinterprétation géométrique de ces résultats.
403. Nous pouvons maintenant traiter d'une manière simple une question que nous avons laissée de côté dans les développements qui précèdent. Étant donnée l'expression
qui satisfait à une équation linéaire du second ordre, proposonsnous de déterminer les valeurs de z qui correspondent à une solution donnée 9. Nous allons voir que l'on peut résoudre cette question par de simples quadratures lorsqu'on connaît les valeurs
l84 LIVRE IV. — CHAP. VIII.
particulières de z qui annulent l'expression de Q. Mais, au lieu de traiter la question directement, nous allons employer la méthode suivante, qui mettra mieux en évidence ce qu'il y a de réellement intéressant dans la solution.
Désignons par
des solutions particulières de l'équation
d^z dz , dz
ax oy ox oy
soit encore
et déterminons des quantités Xii As* » ^ - ^\p par les équations
dz\
dx
.-hZp'kp^=Of
dZi
dx
dzi.
ây
à"*-^Zp^
dx"* dz
ày
^lp = 0,
dn-iz
dy
ày
Si l'on conserve les notations du n** 397, les équations précédentes peuvent être écrites d'une manière abrégée comme il suit :
(/n — I, /i — i)iXj -f- . . .-i-(/n — I, /i — i)flXn = o,
cette unique équation devant être vérifiée pour toute expression [m — I, n — i) et (m — i, n — i)/ désignant encore le résultat de la substitution de Zg à z dans cette expression. Les équations (38) ou l'équation (Sg) déterminent, en général, les rapports mutuels de )^i, )s2, ..., \p. Nous laisserons de côté le cas
LA. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l85
exceptionnel où ces équations formeraient un système indéterminé {*),
Nous allons montrer que toutes les quantités A/ ainsi déterminées satisfont, elles aussi, à une équation aux dérivées partielles du second ordre. Pour plus de netteté, nous supposerons m et n au moins égaux à i; s'il en était autrement, il suffirait de passer à Tune des équations voisines, dans la suite de Laplace relative à l'équation proposée.
Une expression (m — 2, n — i) étant un cas particulier d'une
expression (m — 1 , /i — 1), on déduit de la formule (89) que l'on
aura
pour toute expression (m — 2, n — 1). Différentions cette équation par rapport à x^ nous aurons
Comme la dérivée par rapport à x d'une expression (m — 2, n — i) est une expression (m — i, /i — i), le premier terme de la somme précédente sera nul, et il restera
On aurait de même
En traitant de la même manière l'équation
qui est un cas particulier de la formule (4o), et en la différentiant
(*) Ce cas ne peut se présenter, si les solutions z- sont linéairement indépendantesy tant que la suite de Laplace s'étendra entre les équations (E^^, ), (£,^). On s'en assure aisément en répétant les raisonnements du n<* 397.
l8G LIVRE IV. — CHAP. VIII.
par rapport à j^, on trouvera de même
Il résulte des formules (4o) à (43) que, si l'on pose
on aura
pour toute expression {m — a, n — 2). Cette équation tiendra donc Heu de m-\- n — 3 équations distinctes que Ton obtiendrait en y remplaçant successivement (m — a, n — 2) par
dz d'^-^s dz d^-^z
Il y a /? ou m -f- ^ quantités Ç(^i); mais on peut disposer des fonctions a, p, y de manière à annuler trois quelconques d'entre elles. Les autres, au nombre de /? — 3, seront liées par un nombre égal de relations homogènes; elles seront donc aussi égales à zéro (^). Ainsi, les fonctions \i dont les rapports sont définis par les équations (38) satisfont toutes à une équation aux dérivées partielles, entièrement semblable à celle dont les fonctions zi sont des solutions particulières.
Nous avons déjà étudié [I, p. 119] un cas particulier de cette proposition générale. Nous avons vu que, si les coordonnées homogènes Xj y^ Zy t d'un point variable d'une surface donnée satisfont à une équation de la forme
(46) ^— ^ \-a--~-\-h- hcB = o,
dpdpi dp dpi
il en est de môme des coordonnées tangentielles w, i^, iv, p. Or
( *) Pour que cette conclusion cessât d'être établie, il faudrait que les déterminants des difTcrents systèmes que l'on obtient en annulant trois quelconques des quantités ()*(\) choisies arbitrairement fussent tous nuls. S'il en était ainsi, les équations (38) ne détermineraient plus, contrairement à l'hypothèse, les rapports mutuels des quantités X^.
ces coordonnées sont liées aux. premières par les relations
ux -\-vy-k- wz -^pt = 0, dx dy dz dt
(47) [ àp dp dp ^ dp
dx dy dz dt
dpx dpt dpi ^ dpi
C'est, aux notations près, pour le cas particulier où m et n sont égaux à 2, le système (38) que nous venons d'étudier.
Signalons également l'analogie de ce système (38) avec celui que nous avons considéré au n° 370 et qui établit, dans le cas d'une variable indépendante, les relations entre deux groupes de fonctions adjointes. Cette analogie peut encore se poursuivre; et l'on établira aisément des équations analogues au système (i5) de la page io3. On peut les écrire ainsi, sous forme abrégée,
(m — i — A, n — I — A:) se rapportant à l'équation qui admet les solutions particulières Zi et le symbole {h^k)k l'équation à laquelle satisfont les X|. Mais nous laisserons de côté toutes ces relations pour nous attacher surtout au point essentiel et montrer que V intégration de chacune des équations en z ou en \
peut se ramener à celle de l'autre, ou, plus exactement, à celle de l'adjointe à l'autre équation.
