KO + H

(') Étant donnée une équation de la forme

OÙ P| Q, R désignent des fonctions quelconques de as et P,, Q,, R, des fonctions quelconques de y, on peut toujours, par de simples quadratures, la ramener à la forme (i). Si l'on pose, en effet,

J )JV J v/P. J V^P J V^P»

Péquation (a) se transforme en une équation

^z dz , dz

qui a ses invariants égaux et peut être ramenée à la forme

tyz .

dxôy

Le calcul, qui n'offre aucune difficulté, conduit à une équation harmonique» On peut aussi ramener l'équation (a) à la forme réduite

mais cette forme n'est nullement typique et peut être obtenue d'une infinité de maniére3*

D. — II. i3

OÙ h désigne une constante quelconque. A chaque valeur de h correspondent deux fonctions /(a: 4-^), deux fonctions /j (a: — y) et, par suite, quatre solutions particulières de Téquation proposée. Si l'on désigne par A et B les deux valeurs de /, par A| et B| celles de/i, les quatre solutions seront

-«1 = AB, '32=ABi, ^3=AiB, ^4=AiBi, et seront liées par la relation quadratique

Ainsi les équations harmoniques admettent un nombre illimité de groupes de quatre solutions satisfaisant à une équation homogène du second degré à coefficients constants.

Nous désignerons également sous le nom de solutions harmoniques une quelconque des solutions que nous venons de définir et qui sont le produit d'une fonction Ae x '•\- y par une fonction de X — y,