Soit

une telle solution. On peut évidemment l'employer pour appliquer la méthode de M. Moutard et passer de l'équation (i) à une équation nouvelle qui sera

— — ^— = (ij — ^^— — . • Z ôxdy dxdy

Le calcul du second membre se fait très simplement de la manière suivante. Nous avons déjà remarqué que Ton a

w dxdy f /,

Si l'on change /en -^ et f^ en y» il viendra, sans nouveau calcul,

-à^^'^irl-'^'ij)'

Ainsi l'équation nouvelle que l'on obtient par l'emploi de la

LES ÉQUATIONS HARMONIQUES. igS

solution (0

conserve la forme de Téquation dont elle dérive ; elle est encore une équation harmonique.

Nous avons vu que Ton passe d'une solution z de Téquation (i) à la solution correspondante de Péquation (4) à Taide de la formule

(5) ,oZ=J(«g-«g)ete-(o.|-^g)rfr;

proposons-nous de rechercher ce que deviennent les solutions harmoniques de la première équation.

Soit

une telle solution de Téquation proposée. Les équations qui définissent 6, 0| pourront être mises sous la forme suivante

h désignant une constante quelconque. Si l'on porte la valeur de z dans la formule (5), il viendra

//iZ=/[/iôi(/^~V)e/(^-r)-^/0(/i«'i-/i«i)^(^-i-J^)J.

La quadrature qui figure dans le second membre peut être effectuée dans tous les cas. On déduit, en effet, des formules ((J)

/o= L(/e'-ô/'), /i8t = i(/ieî-e^0;

et, si Ton porte les valeurs de /O, /i Oi dans l'équation qui donne Z, on aura

ou, en négligeant la constante A,

//iZ = (/ô'~ô/)(/,Oj-e,/o, (7) ^ = (^'-^^')(^'-^^^>

ou

solutions sin^^, sin^/cos^. En les employant et en poursuivant Tapplication de la méthode, on parviendra successivement à des équations de la forme

- rm(m — 1) n(n — i) ,1

•' -^ ^ \^ sin*/ cos«^ J

où m et n désignent deux entiers. On peut établir ce résultat en

toute rigueur de la manière suivante.

Si Ton prend

Inéquation précédente admet la solution particulière

En employant cette solution particulière, on obtiendra Téquation nouvelle

y— y\ — ■ ,, H ^^ — irr^ -H A .

•^ -^ L sin*/ cos*^ J

C^est Téquation précédente dans laquelle m et n sont changés en m H- I et /i -h I . On peut donc intégrer cette équation par voie de récurrence toutes les fois que m el n sont entiers ; et, si Ton désigne par ym,n la solution générale de l'équation (i4)) il faudra employer la formule

On a évidemment

L^emploi de ces formules permet d'obtenir Tintégrale pour toutes les valeurs entières de m et de n sous la forme

^m^n 6t Q/n,n étant dcs polynômcs entiers par rapport à tang/, cot/ et y/A.

Ici encore nous rencontrons des équations bien connues, quoi-

qu'on les étudie rarement sous la forme précédente. SI Ton détermine^ en efiet, les constantes a, ^, y par les formules

Y = iw, Y=/w-i--,

la solution générale de Téquation (i 4) sera

y = sin'"/cos'*i F(a, p, y» sin'^),

F désignant la série hypergéomé trique de Gauss, ou toute autre solution de Téquation du second ordre par laquelle elle est déterminée (* ).

409. Considérons maintenant, d'une manière générale, toute équation de la forme

que l'on saura intégrer pour toutes les valeurs de A; et proposonsnous de rechercher un caractère précis permettant de reconnaître toutes les équations qui en dérivent par la méthode que nous venons d'exposer. Il est évident que toutes ces équations admettront une intégrale générale de la forme

(i6) z^ky-^-hy,

OÙ y désigne l'intégrale générale de l'équation précédente, A et B des fonctions de t qui sont entières par rapport à h. Nous allons établir la proposition réciproque et montrer que, si l'équation

(17) ^==[HO-^à]z

(*) Il est vrai que, si Ton présente sous cette forme la solution générale de réquation (t4)t on n'aperçoit pas immédiatement pourquoi elle s'intégre lorsque m et n sont entiers. Pour établir ce résultat, il faut employer plusieurs des formules que Kummer a données et qui permettent de transformer la série hypergéométrique.

admet une intégrale de la forme (i6), A et B étant d^ailleurs des fonctions entières de /t, elle dérivera nécessairement de l'équation (i5) par la méthode que nous avons exposée.

Substituons, en effet, dans l'équation (17) la valeur (16) de z.

En égalant à zéro les coefficients ^^ y^ -^^ o^ trouvera les deux

équations

d'où l'on déduira aisément que B ne saurait être, par rapport à /t, d'un degré supérieur à celui de A.

Soient maintenant jki) y^ deux intégrales quelconques de l'équation (i5) etZ|, z^ les intégrales correspondantes de l'équation (17) déterminées par la formule (16). Un calcul facile donnera

Le premier membre devant être constant, ainsi que

on voit que la fonction

Aî^ AB — BA'— B«y — B«A

se réduira à une constante. Cette constante est d'ailleurs une fonction de h ; car le terme qui contient la plus haute puissance de h ne se réduit avec aucun autre et se trouve, soit dans A^, soit dans B^A, suivant que A est de degré supérieur ou égal à celui de B. On peut donc écrire