CHAPITRE X

Délerminatîon de toutes les surfaces sur lesquelles les développables d'une congruence doonée interceptent un réseau conjugué. — L'intégration d'une seule équation linéaire aux dérivées partielles permet de résoudre ce problèoie pour une suite illimitée de congruences rectilignes. — Problème inrerse : Étant donné un système conjugué tracé sur une surface, trouver toutes les congruences dont les développables interceptent sur la surface ce réseau conjugué. — Double solution de ce problème par l'emploi des deux équations, ponctuelle et tangentielle, relatives au système conjugué. — Troisième problème : Étant donnée une surface (S) et un réseau conjugué sur cette surface, déterminer toutes les surfaces (SJ telles que les développables d'une même congruence inconnue interceptent sur (S,) un réseau conjugué et sur (S) le réseau donné. — Relations géométriques entre les deux surfaces (S) et (SJ. — Application au cas particulier où l'on établit une correspondance entre deux surfaces quelconques par la condition que les plans tangents aux points correspondants se coupent suivant une droite située dans un plan fixe. — Cas où le plan fixe est rejeté à l'infini. — Correspondance de Steiner. — Application à l'Optique géométrique.

418. Les principales applications géométriques des propositions que nous avons démontrées dans les Chapitres précédents se développeront dans la suite de cet Ouvrage. Ces propositions jouent un rôle fondamental dans Tétude de la déformation infiniment petite d'une surface quelconque et dans la recherche de toutes les surfaces qui admettent une représentation sphérique donnée pour leurs lignes de courbure. Nous allons, dès à présent, faire connaître quelques résultats très simples, qui doivent être regardés comme donnant Tinterprétation géométrique des théorèmes d'Analyse que nous avons démontrés au Chapitre V1I1.

Reprenons les notations du Chapitre I ; soit

(l) -—r Ha— -4-ftr hc6 = 0

dp dpi dp dpi

l'équation ponctuelle relative à un système conjugué tracé sur une surface donnée (S)^ les coordonnées homogènes x^y^ 5, t d'un point M de la surface seront des solutions particulières de l'équation précédente.

Les coordonnées X, Y, Z, T d'un point quelconque P pris sur la tangente en M à la courbe de paramètre p seront (n** 323)

dp, (^pi -^^ ()pi c)pi

\ étant une arbitraire dont la variation donnera tous les points de la tangente.

Cela posé, envisageons la congruence(G) formée par l'ensemble des tangentes aux courbes de paramètre p. La surface focale de cette congruencese compose de deux nappes, la surface (S) et une surface (S|), que l'on obtiendrait (n** 323) en attribuant à ). la valeur a dans les formules (2). Nous allons chercher quelle valeur il faut attribuera cette arbitraire pour que les développables de la congruence (G) découpent sur la surface (S) décrite par le point (X, Y, Z, T) un syslème conjugué. Les lignes suivant lesquelles la surface (S) est coupée par les développables de la congruence sont, évidemment, les courbes de paramètre p et pi : il sera donc nécessaire et suffisant que X, Y, Z, T soient quatre solutions particulières d'une même équation linéaire du second ordre

(3) ^r-- h A-r- M-B-T— -+-Ge = o,

c?p dpi op opi

de même forme que l'équation (i).

Si l'on substitue dans le premier membre de l'équation précédente la valeur de X, par exemple, et que l'on élimine au moyen de l'équation (i) toutes les dérivées de x prises à la fois par rapport à p et à pi, on obtiendra un résultat de la forme

dp dp, ^ àpl'

et cette expression devra s'annuler, ainsi que celles que l'on obtient en y remplaçant x par y^ 5, t.

APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 221

Si M, N, P, Q n'étaient pas nuls, on aurait nécessairement

ôx

àx

àp\

dpî

àpi

d^y dp\

àpi

dp\

Mais alors, d'après un résultat donné au n° 109 [I, p. iSg], Téquation des lignes asymptotiques de la surface (S) deviendrait

dp*= o.

La surface serait développable et les courbes de paramètre p seraient des génératrices reclilignes. Nous pouvons écarter cette hypothèse, dans laquelle le problème proposé n'aurait aucun sens.

Il faudra donc que M, N,P, Q soient tous nuls, c'est-à-dire que, pour toute solution ô de l'équation (i), la /onction

d^ àpi

vérité une équation de la forme (3).

La question d'Analyse à laquelle nous sommes conduits est une de celles que nous avons examinées au Chapitre VIIL D'après le théorème du n*^ 400, le problème ainsi posé n'admet que deux solutions. On doit prendre ). = a, ce qui donnera la seconde nappe (S|) de la surface focale de la congruence (G), ou

0' désignant une solution quelconque de l'équation (i). Cette dernière valeur de X donne la véritable solution du problème proposé. Si on la porte dans les formules (2), on obtient le théorème suivant, qui a été donné par M. Lucien Lévy, dans le Mémoire que nous avons déjà cité [p. 177].

aa-î LIVRE IV. — CHAP. X.

Les formules

oà 0 désigne une solution quelconque de Inéquation (i), rfç/inissent la surface la plus générale sur laquelle les développables de la congruence (G) découpent un réseau ou système conjugué.

La Géométrie explique ainsi très bien pourquoi la méthode de Laplace peut être considérée comme un cas limite des transformations plus générales que nous avons définies : parmi les surfaces sur lesquelles les développables d'une congruence découpent un réseau conjugué, se trouvent évidemment comprises, comme surfaces limites, les deux nappes de la surface focale de cette congruence.

Si Ton combine le résultat précédent avec l'application de la méthode de I^aplace, on est conduit à la proposition suivante :

Étant donnée une surface (S) sur laquelle on connaît un réseau conjugué, désignons par

..., (G i), (G), (Gi), ...

la congruence ( G) formée par les tangentes aux courbes de paramètre p, et toutes celles que Von en fait dériver géométriquement par la méthode du n^ 322. L* intégration de V équation linéaire à laquelle satisfont les quatre coordonnées homogènes d^un point de la surface permet :

\^ De déterminer toutes les surfaces (S/) découpées suivant un réseau conjugué par les développables de Vune quelconque des congruences (G,);

2® De résoudre le même problème lorsqu!on substitue à (2) l'une quelconque des surfaces (S/), le système conjugué tracé

APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 223

sur (S|) étant celui qui est déterminé par les développables de (G|).

Chaque solution de Inéquation linéaire permet de déterminer une sur/ace (S/) pour chacune des congruences (G|).

419. La dernière partie de cette proposition peut recevoir Tapplication suivante.

Associons au point P, défini par les formules (5) et qui décrit la surface (S), le point P| défini par les formules analogues

OÙ Toii change pf en p en conservant la même solution 0. Le point Pi décrira une surface (S.i) et se trouvera sur la tangente en M à la courbe de paramètre pi tracée sur (S). La droite PP| est donc située dans le plan tangent en M à la surface (S).

Lorsque p et pi varient d'une manière quelconque, cette droite engendre une congruence rectiligne : nous allons montrer que P et P| sont les points focaux de la droite PP|. En d'autres termes, (S) et (S i) constituent les deux nappes de la surface focale de la congruence formée par toutes les droites PP|.

En efiet, on peut toujours, en multipliant les solutions de Téquation (i) par une fonction de x et de y y réduire 8 à Tunité; cette équation, devant alors admettre la solution i, se réduira à la forme simple

" d^ôpi dp àpt

et les coordonnées des points P et P| deviendront

àp\ àpx àpi dpi'

^ dx ^^ ày „ àz ^ àt

dp ^P ^? ^P

En vertu de l'équation (7), on aura, par exemple,

T- = — aXi — bX.

et les équations analogues en Y, Z, T. Ces équations expriment

évidemment que, lorsque p varie seul, le point P décrit une courbe tangente à la droite PP|. Ce point est donc un des points focaux dé la droite PP| ; et une démonstration analogue prouverait de même que P| est le second point focal.

420. Proposons-nous maintenant le problème inverse du précédent. Supposons que Ton demande de trouver les congruences rectilignes dont les développables découpent sur la surface (S) le réseau conjugué considéré (p, p^). Il résulte des équations (5) et des développements précédents que le problème peut être formulé ainsi.

Étant donnée Téquation

^ ^ dp dpi dp âpi

à laquelle satisfont a:, y^ z, t, trouver une fonction <t définie en fonction de 0 par une équation de la forme

àpt dpi

et satisfaisant à une équation linéaire

dp dpi dp ^ dpi

dont <r' sera une solution particulière.

Nous remarquons d'abord qu^on peut remplacer o- par -, ce qui

revient à supposer o^= i. On aura donc, pour déterminer o-, les deux équations plus simples

(9) fxe = -,

, , d*a di n dfj

' dpdpi dp ^dpi

d'où Ton déduit par un calcul facile

d^ — '-[^ -^ ?^<^yp ^ i^<^ dp,.

Il faudra que le second membre soit une différentielle exacte et <|ue a- satisfasse, quel que soit 0, à l'équation (lo).

Cette question est un cas particulier de celle que nous avons traitée au n^ 402. Les résultats que nous avons obtenus montrent que l'on aura

UL étant une solution quelconque de Téquation adjointe à la proposée (8).

Ainsi, si l'on se propose de déterminer toutes les congruences dont les développables découpent sur une surface (S) un réseau conjugué donné, la solution de ce problème dépendra de l'intégration de l'équation linéaire adjointe à celle que vérifient les quatre coordonnées homogènes d'un point quelconque de (S). Si [JL désigne une solution quelconque de cette équation, l'une des nappes (S) de la surface focale de la congruence cherchée sera définie par les équations

^-/[HIt-'')''"*''(I-'^)''4

et il résulte des remarques présentées au n° 402 que l'autre nappe est définie par des équations toutes semblables, où l'on conserve la même solution de l'équation adjointe, mais où l'on échange a et 6, p et pi.

D'après les remarques qui terminent le Chapitre IV, l'intégration d'une équation linéaire et celle de son adjointe sont deux problèmes qui se ramènent l'un à l'autre, à quelque point de vue que l'on se place. On peut donc dire que la résolution des deux problèmes de Géométrie que nous venons d'étudier dépend de l'intégration d'une même équation linéaire, l'équation ponctuelle relative au système conjugué tracé sur (S).

421. On peut encore résoudre les deux problèmes précédents en employant l'équation tangentielle relative au système conjugué D. -II. ,5

et obtenir ainsi, par une voie purement géométrique, la confirmation du résultat établi au n*^ 405 [p. 190], relativement aux deux équations, ponctuelle et tangentielle, qui se rapportent à un même système conjugué.

Considérons, par exemple, le second problème, celui dans lequel on se propose de déterminer les congruences dont les développables interceptent sur (S) un réseau conjugué donné. Soit

Téquation tangentielle relative à ce système conjugué. Les coordonnées £/, i^, (V, p du plan tangent en M à (S) sont des solutions particulières de cette équation. La tangente à la courbe de paramètre Pi, par exemple, sera définie par les deux équations

/ uX-h vY ■+- wZ -T- pu =0,

(.3) 1 ^x-hJ1y + ^Zh-^T=o.

\ dpi dpx àpi dpi

L'une des développables de la congruence doit contenir cette courbe; son plan tangent en M sera donc défini par Téquation

(i3 bis) UX -+- VY -4- \VZ 4- PT = o,

où Ton a

dpi dpi

Le plan défini par Téquation (i3 bis) doit envelopper une des deux nappes de la surface focale de la congruence cherchée; et nous savons que, sur ces nappes, les courbes de paramètres p et pf doivent tracer un réseau conjugué. Il faudra donc que U, V, W, P considérées comme fonctions de p, pi satisfassent à une équation linéaire de la forme (12); et, par suite, on aura

du dto

cJp, ôpi

âv doi

V = eu 3 t' T— J

W = tSJ- w -r— ,

àpi Opx

^ dp f)to .

àpi àpi

(1) désignant une solution particulière quelconque de Téquation (12).

422. Nous allons maintenant résoudre un troisième problème de Géométrie qui se rattache directement à ceux que nous venons d'étudier.

Étant donnés une surface (S) et un réseau conjugué tracé sur cette surface, proposons-nous de déterminer toutes les surfaces (S«), telles que les développables d'une même congruence, d'ailleurs inconnue, interceptent sur (Si) un réseau conjugué et sur (S) le réseau donné a priori.

La solution de ce nouveau problème s'obtient évidemment par la combinaison de celles que nous avons fait connaître dans les numéros précédents. On déterminera d'abord toutes les congruences dont les développables interceptent sur (S) le réseau donné; et il n'y aura plus ensuite qu'à chercher les surfaces (Sj) sur lesquelles les développables de chaque congruence obtenue interceptent un réseau conjugué.

Désignons para:, j^, ^, ^les coordonnées d'un point quelconque M de (S); ces coordonnées seront des solutions particulières de l'équation ponctuelle

dpt^pi ()p c)p,

relative au système conjugué tracé sur (S). La surface focale (S) d'une congruence dont les développables interceptent sur (S) le réseau conjugué donné sera déterminée par les formules (i i), où [jl désigne une solution déterminée, mais quelconque, de l'équation adjointe*, et nous savons (n^ 402) que l'équation linéaire dont X, Y, Z, T sont des solutions particulières admettra pour solution générale

(.6) ,=J[e(|i-«K)rfp.^,x(|4-6e)rfp],

0 étant la solution générale de l'équation (i5).

D'après le théorème du n** 418, la surface (Si) la plus générale sur laquelle les développables de la même congruence découpent

un réseau conjugué sera définie par les formules

('7) ^i=^-'^5S' ^^=^--d£dfl' •'••

dpi dpi

Si l'on remarque que Ton a, d'après les formules (i i) et (i6),

on pourra écrire

(19) Xt=X g-, 7i=Y ^, ...;

et Ton déduira de là

et de même

On voit donc que, si Ton multiplie Xjy, Zj t par 0, les relations entre les deux surfaces (S) et (S|) appartiennent au type suivant :

ÔXi

^ dx

= A -r- > dp

dxi

àpi

dx ^dpi

àyx

àpi

ày

^dp^

Ozi

dzi

dpi

dz ^^àp^

= A -r— > dp

dt, à?t

dt -^dp,'

Réciproquement, toutes les fois qu'il y aura, entre les points correspondants M et M, de deux surfaces quelconques (S) et (Si), des relations de la forme précédente, quelles [que soient d'ailleurs les valeurs de Xet de [x, ces surfaces auront entre elles la relation que nous nous proposons d'étudier.

Si l'on élimine, en effet, X\ entre les deux premières équations, on obtient l'équation

d /s dx\ d [ dx\

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. t229

qui est encore vérifiée quand on remplace x par y^ z et t. Par suite les courbes de paramètres p et 'pi déterminent sur (S) un système conjugué.

La relation analogue

montre qu'il en est de même pour la surface (S^).

D'ailleurs le point P (yî^. 28) de coordonnées ^» -—y 3^' t- se

trouve sur la tangente à la courbe de paramètre pi tracée sur (S); et, comme il est identique, d'après les formulés (22), au point de

coordonnées -r^» ?^' T^> 5^ 9^^ se trouve sur la tangente à la

courbe correspondante tracée sur (S|), on reconnaît immédiatement que ces deux tangentes se rencontrent toujours. De même les deux tangentes aux courbes de paramètre p se coupent en un r» j j , dx dy dz dt

point P|, de coordonnées t-> t^j t-' t-*

^ à^x àpi âpi dpi

D'après cela, déplaçons-nous sur une courbe de paramètre p par exemple.

La surface réglée engendrée parla droite MM|, admettant en M le plan tangent P| MM, et en M, le même plan tangent P, M, M, sera nécessairement développable. Comme on peut faire le même raisonnement pour les courbes de paramètre p,, on reconnaît ainsi que les développables de la congruence engendrée par la droite MM, interceptent effectivement sur les deux surfaces les deux réseaux conjugués considérés.

423. Nous allons maintenant établir la propriété la plus essen-

23o LIVRE IV. — CHAP. X.

lielle de cette théorie et montrer que les développables de la congruence engendrée par la droite PP| correspondent à celles de la congruence engendrée par MMi; et, de plus, que P et P| sont les points focaux de la droite PP«.

Nous avons, en effet, déterminé dans le raisonnement précédent les coordonnées des points P et Pf. Elles sont

dx dy dz dt Op dp dp dp

pour P,

dx dy dz dt

;ir' :ïr ' xr» xr' pourP,.

dpj dpi dpi dpt

Ecrivons Téquation (23) sous la forme suivante :

d^k dji

. d ( àx\ dp\ dx dp dx

dpi \dp/ fx — \ dp fJi — X dpi

Cette relation, où l'on pourrait remplacera: par^, z, t, exprime que le point P décrit, lorsque p< varie seul, une courbe dont la tangente est la droite PP|. En effet, si l'on remplace dans le second membre x par x, y^ z^ t^ on a les coordonnées d'un point de la droite PP| . On verra de même que le point P| décrit, lorsque p varie seul, une courbe dont la tangente est PP<. La proposition que nous avions énoncée est ainsi complètement démontrée.

Si on la transforme par la méthode des polaires réciproques, on obtient le théorème suivant :

Etant données deux surfaces (S), (S|) qui se correspondent point par point, soient M et^l^ deux points correspondants sur tes deux surfaces et soit PP< la droite d'intersection des plans tangents en ces points. Bile engendre une congruence rectiligne et nous désignerons par P, P| ses deux points focaux. Si les droites MP, MP, sont des tangentes conjuguées de (S), et de même les droites M,P, M| P| des tangentes conjuguées de (S|), les développables de la congruence engendrée par la droite Mx\I| correspondent à celles de la congruence formée par les droites PP<; et elles découpent sur les deux surfaces les réseaux conjugués formés des courbes admettant en M les tangentes MP, MP, et en Mj les tangentes M, P, M, P, .

Il résulte immédiatement de ce théorème que la relation entre

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. a3l

les deux surfaces (S) et (S|) est dualistique. On pourra donc joindre aux formules (22) les équations analogues, relatives aux coordonnées tangentielles des plans tangents en M et en M^^

dui

dUi dpi

, du

àp

= A j dp

dvi dpt

âwi dp

.,dw

= A ) dp

dwi dpi

,dw àpi

yàp

= A > dp

àpi

dpi

^ dp,

424. Les propositions que nous venons de développer pourraient être démontrées par la Géométrie; pour ne pas étendre notre exposition, nous nous contenterons d'appliquer la méthode géométrique à la démonstration du théorème suivant :

Étant donnée une correspondance entre deux surfaces (S) et (S|), soient {fig^ 28) M, M| les points correspondants et PP| V intersection des plans tangents en M e^ M< . Si les développables de la congruence {G) formée par la droite MM| correspondent aux développables de la congruence (K) engendrée par la droite PP^ ; et si, de plus, les points focaux P et P| de la droite PP| sont dans les plans focaux de la droite MMj (c'està-dire dans les plans tangents aux deux développables qui contiennent MM|), chaque point focal se trouvant dans le plan focal qui ne lui correspond pas, les deux surfaces {S) et (S,) sont dans la relation que nous venons de définir, c'est-à-dire que les développables de la congruence (G) interceptent sur (S) et (Si) des familles de courbes conjuguées.

Considérons, en effet, les deux plans focaux de la droite MM|. Ils rencontrent les deux plans tangents suivant des droites MP et M| P, MPi et M, Pi qui se coupent deux à deux aux points P et Pi ; et ces points sont, d'après l'hypothèse, les points focaux de la droite PP|.

Lorsque la droite MM| se déplacera infiniment peu en décrivant un élément de développable dans le plan MPM| par

23î LIVRE IV. — CHAP. X.

exemple, la droite PP| décrira aussi un élément de développablc et tournera, d'après Thypothèse, autour du point P,.

Soit M'M'^ la position nouvelle de MM|. 11 est aisé d'établir que les quatre plans tangents aux deux surfaces en M, M|, M', M', viennent se couper au point P|. En effet, les deux premiers plans se coupent suivant la droite PP|, les deux autres suivant la position infiniment voisine de cette droite, qui, par hypothèse, rencontre PP| en Pf. Prenons maintenant les quatre plans dans un autre ordre. L'intersection des plans tangents en M et M' est la tangente conjuguée de MP; cette tangente viendra nécessairement passer par le point P|. Les droites MP, MP| sont donc des tangentes conjuguées, et il en est de même de M|P, M|P<. C'est la proposition que nous avons énoncée.

425. Les différents résultats que nous venons d'établir sont d'une grande généralité et interviennent comme éléments essentiels dans différentes recherches géométriques. Nous allons, dès à présent, en indiquer une application très simple.

Étant données deux surfaces (S), (S<) et un plan (P), par toutes les droites {d) du plan (P) on mène des plans tangents à (S) et à (S|), et l'on établit ainsi une correspondance entre les points des deux surfaces. Nous allons montrer que les développables de la congruence formée par l'ensemble des droites qui joignent les points correspondants interceptent sur (S) et sur (S| ) deux réseaux conjugués.

Soient, en effet. M, M< les points correspondants de (S) et de (S|). Les plans tangents en M et en M| se coupent suivant une droite (d) du plan (P); construisons sur cette droite les deux points Q, Q< qui divisent harmoniquement l'angle des deux tangentes asymptotiques en M à (S) et l'angle des deux tangentes asymptotiques en M< à (Sj). Les points Q, Qi peuvent être considérés, au même titre que tous les autres points de la droite (rf), comme les points focaux de la congruence engendrée par cette droite. Par suite, comme les droites MQ, MQi sont des tangentes conjuguées de (S) et les droites M<Q, M<Qj des tangentes conjuguées de (S|), il résulte des théorèmes du numéro précédent que la droite MMj appartient à une congruence dont les développables découpent des réseaux conjugués sur (S) et sur (S<).

Et de plus les plans QMM^, Q|MM| seront les plans focaux de MM|, c*est-à-dire les plans tangents aux deux développables qui contiennent MM|.

Il est clair que ces développables ne pourront pas être déterminées en général; pour les obtenir, il faudra chercher dans le plan (P) les courbes qui sont tangentes aux différentes droites (d) en un des points Q, Qi, c'est-à-dire les courbes dont les tangentes admettent leur point de contact comme point focal.

Imaginons, par exemple, que les deux surfaces (S) et (S|) soient du second degré. Si Ton mène une droite {d) dans le plan (P), les points focaux de cette droite seront les extrémités du segment qui est divisé harmoniquement par les deux surfaces. On les obtient, comme on sait, en menant par les quatre points communs à (S) et à (S| ) situés dans le plan (P) les deux coniques tangentes à la droite (d). Si l'on considère une quelconque de ces coniques, chacune de ses tangentes admettra son point de contact comme point focal; et, par suite, les développables de la congruence seront formées des droites MM| qui correspondent aux diverses tangentes d'une même conique. On peut donc énoncer la proposition suivante.

Si, par toutes les droites d'un plan (P), on mène des plans tangents à deux surfaces (S), (S|), la droite qui joint les points de contact engendre une congruence dont les développables découpent sur (S) e/ sur (Si) des réseaux conjugués. Si (S) et (S<) sont du second degré, ces dés^eloppables peuvent être déterminées algébriquement. Les droites qui, dans le plan (P), correspondent à leurs génératrices rectilignes, sont tangentes à une même conique passant par les quatre points communs à (S) et à (S|) situés dans le plan (P).

Les plans tangents aux deux développables qui contiennent une même droite MM « coupent les plans tangents aux deux surfaces suivant des droites conjuguées. Ils sont donc conjugués à la fois par rapport aux deux surfaces (S) et (S<), c'est-à-dire que chacun d'eux contient le pôle de l'autre.

Si les deux surfaces sont homofocales, les plans conjugués par rapport aux deux surfaces sont nécessairement rectangulaires; par suite, les deux familles de développables se couperont à angle

a34 LIVRE IV. — CHAP. X.

droit. Nous verrons que cette propriété caractérise les congruences formées des normales à une surface. Nous sommes ainsi conduits à Télégant théorème suivant, que Laguerre, notre ami regretté, a obtenu comme conséquence de ses études sur les divers modes de génération des cyclides (*).

Étant données deux surfaces homofocales du second degré et un plan (P), si Von mène, par les droites du plan (P), des plans tangents aux deux surfaces, les droites qui joignent les points de contact correspondants seront normales à une famille de surfaces parallèles.

426. Nous allons maintenant envisager d'autres applications en supposant que les surfaces (S) et (S|) demeurent quelconques, mais que le plan (P) s'éloigne à Tinfini. On a alors le théorème suivant :

Si l'on mène à deux surfaces (S) et (S|) des plans tangents parallèles, la droite qui joint les points de contact correspondants M, M| engendre une congruence dont les développables interceptent sur {S) et sur (Si) un réseau conjugué.

Si Ton choisit pour variables p et p^ les paramètres des courbes conjuguées qui se correspondent sur (S) et sur (S|), les équations (aa) prennent ici la forme

dx\ » dx âxi dx

dp ~~ àp^ Opi ^ dpx

dp dp opi ' Opi

Op ~^ dp ' dpi ^ dpi '

x,^, z et j?!, j^i, Zt désignant les coordonnées cartésiennes des points M et M|. Ces équations sont évidentes : elles expriment

(') Laquerre, Sur quelques propriétés des sur/aces anaUagmatiques {But" letin de la Société philomathique^ p. 17; 1868). Parmi les surfaces auxquelles sont normales toutes les droites de la congruence, se trouve toujours une cyclide [I, p. 307] si le plan (P) ne passe pas parle centre commun des deux surfaces homofocales. Cette cyclide se construit par points de la manière suivante : soit (6) la droite, perpendiculaire au plan (P), qui contient les pôles de ce plan par

simplement que les tangentes aux courbes correspondantes des deux réseaux conjugués sont parallèles.

Le mode de correspondance précédent a été considéré par Steiner ('). Il comprend comme cas particulier la représentation sphérique de Gauss; il suffit de supposer que la surface (S|) se réduit à une sphère. Dans ce cas particulier, les deux développables qui contiennent la droite MM i coupent le plan tangent en M| à la sphère suivant des droites conjuguées, c'esl-à-dîre rectangulaires. Les tangentes conjuguées de la surface (S) en M, étant parallèles aux précédentes, sont nécessairement rectangulaires; le système conjugué se réduit donc à celui qui est formé par les lignes de courbure. Les formules (27) deviennent identiques à celles d'Olinde Rodrigues [I, p. 199] qui jouent un rôle si important dans la théorie des lignes de courbure.

Revenons au cas général où la surface (S|) est quelconque, et imaginons que cette surface grandisse indéfiniment en demeurant homothétique à sa position initiale par rapport à un point fixe O. Le système conjugué tracé sur (S) demeurera invariable 5 on le reconnaît immédiatement, car les systèmes conjugués tracés sur (S) et sur (Si) peuvent aussi être définis par la condition, indépendante de toute congruence, que les tangentes aux courbes cor* respondantes des deux systèmes tracés sur les deux surfaces soient toujours parallèles ; et cette propriété subsiste évidemment lorsque (S|) est remplacée par une surface homothétique. A la limite, lorsque (S| ) aura grandi indéfiniment, la droite MM^ se confondra avec la parallèle menée par le point M au rayon primitif 0M|. Ainsi :

Etant données deux surfaces (S), (S«), on leur mène des plans tangents parallèles (P), (P| ). Si, par le point de contact

rapport aux deux surfaces homofocales; et soit {d') la droite du plan qui correspond à une droite quelconque i^d) de la congruence. Le plan mené par (6) perpendiculairement à {d') coupe la droite (eif) au point où elle est normale à la cyclide cherchée. Si le plan (P) passe par le centre commun des deux surfaces, les droites deviennent normales à des surfaces de quatrième classe, corrélatives des cyclides, que nous rencontrerons plus loin (Chap. XIV et XV).

(•) Steiner, Ueber Lehrsàtze von welchen die bekannten Sâtze iiber parais lele Curven besondere Fàlle sind {Journal de Crelle, t. XXII, p. 76, 1846, et /. Steiner^ s gesammelte Werke, t. II, p. 36i).

de (P) et de (S), on mène une parallèle au rayon vecteur qui joint un point fixe de l'espace au point de contact de (Pi) et de (S<), cette parallèle appartient à une congruence dont les développables découpent sur (S) un réseau conjugué. Ce réseau correspond à un réseau conjugué c/e ( S| ).

C'est une généralisation de la propriété bien connue des normales à une surface.

427. Nous avons, au n° 81 [I, p. 99], indiqué quelques propriétés des surfaces qui sont engendrées par la translation d'une courbe de forme invariable. L'étude du mouvement d'une surface qui se déplace en conservant son orientation conduit à des propositions analogues. Etant donnée une surface quelconque (S|)et un point O dans l'espace, supposons que ce point O soit invariablement lié à (S|) et déplaçons cette surface parallèlement à elle-même, en assujettissant le point O à décrire une surface fixe (S). Les positions successives de (S«) dépendent des deux paramètres qui fixent la position du point O ; cette surface aura donc une enveloppe qu'elle touchera en un nombre limité de points. Soient (S',) une position de (S|) et O' la position correspondante de O sur la surface (S). Il est évident géométriquement que les points où la surface (S',) touche l'enveloppe sont ceux où le plan tangent à (S\) est parallèle au plan tangent à (S) en O'. On aura donc la construction suivante de l'enveloppe :

Menons aux deux surfaces (S) et (S|) deux plans tangents parallèles quelconques et soient M, M| leurs points de contact. Le rayon vecteur de l'enveloppe sera la résultante ou la somme géométrique des deux rayons vecteurs OM, 0M| ; et le plan tangent à l'extrémité de ce rayon vecteur sera parallèle aux plans tangents en M et en M,.

Cette construction montre immédiatement que l'on peut échanger (S) et (Si). L'enveloppe demeurera la même si, au lieu de déplacer (S<), on déplace (S) de telle manière que le point O décrive la surface (S|). On a ainsi une généralisation de la propriété du n** 8t.

Reprenons la construction précédente, mais en substituant successivement à la surface (S< ) toutes les surfaces homothétiques

de (Si) par rapport au centre O. On obliendra une série d'enveloppes (S), (S')| (S")) • • • qui constitueront une famille dont la surface (S) fera partie. Soient M, [jl, [x', ... les points qui se correspondent sur (S), (S), (S'), .... Tous ces points seront en ligne droite; les plans tangents en ces points seront tous parallèles; et enfin les développables de la congruence engendrée par la droite M[jl[jl' . . . découperont sur toutes les surfaces un réseau conjugué correspondant à un réseau conjugué tracé sur (S|). Il suffit de supposer que cette surface (S|) se réduit à une sphère pour retrouver les propriétés essentielles et bien connues des surfaces parallèles.

428. L'étude de la famille de surfaces que nous venons de définir trouve une application immédiate et très intéressante dans l'optique géométrique des milieux homogènes (*). Admettons, en effet, que (S|) soit la surface d'onde caractéristique d'un tel milieu, c'est-à-dire qu'elle soit le lieu des points atteints après l'unité de temps par un ébranlement parti de O. D'après la définition même des milieux homogènes, le lieu des points atteints après un temps quelconque par le mouvement vibratoire sera la surface homothétique de (S<) par rapport à O, le rapport de similitude étant égal au temps écoulé. Cela posé, imaginons que la seconde surface (S) soit une surface d'onde, c'est-à-dire qu'elle soit le lieu des points atteints au même instant par un mouvement vibratoire lumineux qui a son origine dans une source unique, mais qui peut avoir subi un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions. Proposons-nous de déterminer les positions successives que prendra l'onde (S) qui se propage dans le milieu. D'après le principe de Huygens, il faudra construire les surfaces d'onde, toutes égales, qui ont pour centres les difi'érents points de (S) et qui correspondent à la même durée : leur enveloppe sera la position nouvelle de (S). Il résulte de cette construction que les positions successives de l'onde (S) sont précisément les surfaces (S), (IT), . . . que nous venons de définir. Les

(*) Pour tout ce qui concerne ce sujet, consulter la solide étude de M. Lévistal Recherches d'Optique géométrique^ insérée en 1867 au tome IV (r* série) des Annales scientifiques de V École Normale supérieure y p. 195.

droites M [ji[jl' . . • sont les rajons lumineux. La lumière se propage avec une vitesse uniforme sur chaque rayon ; mais, comme elle met le même temps à passer de l'une à l'autre des positions de l'onde, la vitesse est différente sur les différents rayons. Elle ne dépend d'ailleurs que de la direction de ces rayons et demeure la même pour tous les rayons parallèles, dans le même milieu. Si le milieu est isotrope, la surface (S|) est une sphère; les rayons lumineux sont normaux à l'onde (S) et à ses positions successives. Convenablement transformée, cette propriété subsiste pour tous les milieux homogènes : dans chacun de ces milieux, il y a, entre la direction du rayon lumineux et celle du plan tangent en un de ses points à l'onde qui se propage, une relation constante qui dépend uniquement de la constitution du milieu et demeure la même quelle que soit la forme de l'onde (S). Cela est évident, car le rayon lumineux est parallèle à un certain rayon OM « de la surface d'onde caractéristique du milieu décrite de O comme centre, et le plan tangent de Tonde est toujours parallèle au plan tangent en M| à cette surface (S|).

Dans le cas des milieux isotropes, les développables formées par les rayons lumineux interceptent sur les différentes positions de l'onde un réseau conjugué; cette propriété s'étend aussi aux milieux homogènes quelconques. Les développables formées par les rayons lumineux découpent sur les positions successives de Vende un réseau conjugué, qui correspond à un réseau conjugué tracé sur la surface d'onde caractéristique du milieu.

Pour les milieux isotropes, la surface caractéristique étant une sphère, le réseau conjugué se réduit nécessairement à celui qui est formé par les lignes de courbure.