X- îi
"~ 4 'Jt dx
On a donc pour la valeur générale de X ou encore
LES ÉQUATIONS HARMONIQUES. 2o5
On trouve de même pour X| la valeur suivante :
Nous sommes ainsi conduits au théorème suivant : Etant donnée V équation aux dérivées partielles
on déterminera une fonction ^ de x -\-y par V équation
ÙM
(24) -g- = ?(a?-hj^)H-A.
La fonction
, ,, àz dz 6'
formée avec V intégrale générale z de V équation aux dérivées partielles^ satisfera à Véquation nouvelle
et en sera évidemment V intégrale générale.
411. Cette proposition entraîne un grand nombre de conséquences. Nous allons montrer tout d^abord qu^elle conduit aux résultats que Ton a déduits plus haut du théorème de M. Moutard.
Si l'on change en effet y en — y^ Péquation ne change pas de forme et, par conséquent, on peut obtenir une transformation nouvelle.
Déterminons une fonction o- de :r — y par Téquation
la fonctioa
dz àz a ff' ^~^ dx dy a ^'
où z désigne l'intégrale générale de l'équation (a3), sera l'in-
ao6 LIVRE IV. — CIIAP. IX.
tégrale générale de TéqualioD
Ainsi chaque équation harmonique donne naissance à deux séries de transformations différentes, les unes formées avec des fonctions de (x H-^), les autres avec des fonctions de {x — y). Il suffira, évidemment, de les appliquer successivement pour obtenir la transformation que nous avons définie au n° 407. On est ainsi conduit au résultat suivant :
Déterminons deux fonctions 0(^-4-y), ^{x — y) par les équations différentielles
fi' a'
(3o) . =ç(a7+jr)4-A, - = 4^(37— ^) -4- A;
la fonction
/î \ 7-/^'^' îO'/ds dz\ 1^' (dz dz\ d^'Z ô^z
où z désigne V intégrale générale de V équation (aS), sera V intégrale générale de l'équation
C'est la proposition du n** 407, mais avec une remarque complémentaire qui ne manque pas d'intérêt : on peut passer de l'une des équations à l'autre par la formule (3i), qui ne contient aucun signe de quadrature.
4Î2. Revenons à la proposition qui nous a servi de point de départ. Les deux équations ( 23) et (26) qu'elle transforme l'une dans l'autre peuvent être écrites comme il suit :
On passe de l'une à l'autre en changeant 6 en^; la relation
entre ces deux équations est donc réciproque. La proposition nous apprend d'ailleurs que, z étant une solution de la première, la fonction
sera une solution de la seconde. Si Ton échange les deux équations, on voit donc que la fonction
sera encore une solution de la première. En remplaçant Z\ par sa valeur déduite de la formule (33), on trouve
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : Etant donnée l'équation harmonique
une solution quelconque z de cette équation donne naissance ci une solution nouvelle z' par l\emploi de la formule
Nous avons déjà donné au n° 350 [p. 6i] des propositions analogues relatives à Téquation E(p, P'); mais on remarquera que la formule précédente contient les dérivées secondes de z.
413. Les équations harmoniques possèdent, on le voit, un grand nombre de propriétés intéressantes et forment un groupe nettement défini par ces propriétés, qui les distinguent de toutes les autres équations du second ordre dont les invariants sont égaux; Étant donnée une telle équation
il est donc intéressant de rechercher si elle appartient au groupe
des équations harmoniques. Le problème peut être formulé comme il suit :
Si Téquation précédente est harmonique, elle peut être ramenée à la forme
Il faudra donc que l'on puisse déterminer pour a/ une fonction de X et pour j^ une fonction de j^, telles que l'on ait
(38) [^{x^y)^'^{x''-y)]dx'dy=l{x,y)dxdy.
Cette équatiîon admet l'interprétation géométrique suivante :
Considérons la surface dont l'élément linéaire est donné par la
formule
ds'^ = 'k{x, y) dx dy
et introduisons les nouvelles variables u et (^ définies par les formules
le problème proposé pourra s'énoncer ainsi :
Reconnaître si Vêlement linéaire de la surface peut être ramené à la forme
(39) [*(w) — ^(i')](c?a» -4- dv^),
M. Liouville, en suivant les méthodes de Jacobi, a montré que l'on peut déterminer par de simples quadratures les lignes géodésiques de toutes les surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la forme (Sg). La question d'analjse que nous avons à étudier donne donc la solution de deux problèmes différents.
Revenons à l'identité 38); on peut la transformer comme il suit. Posons
X et Y étant de nouvelles fonctions de ^ et de ^ respectivement que l'on substituera à x' et k y pour la commodité des calculs. L'identité prendra la forme
II suffira évidemment d'exprimer que le second membre satisfait à Téquation
c'est-à-dire que l'on a
Jin remplaçant rfx', dy' par leurs valeurs -t=i -^> on est conduit à Téquation
qui, développée, prend la forme suivante :
(40 ,x^-4-3X'^H-XX'=2Y^ + 3Y'^^+XY'.
dx* ox dy^ dy
Ainsi la question proposée se ramène à la suivante :
Rechercher s'il existe une fonction ^ de x et une fonction Y de y^ telles que V équation précédente ait lieu identiquement.
La forme linéaire de cette équation nous conduit à la conséquence suivante :
Si l'équation est vérifiée pour deux systèmes différents (X|, Y|) et (Xa, Y2) de valeurs deX et de Y, elle Test aussi par le système (aX| -4-6X2, aY| -f-feYa). Donc, lorsqu'une équation est réductible de deux manières distinctes à la forme harmonique, elle l'est d'une infinité de manières différentes.
Lorsque Vêlement linéaire d'une surface est réductible de deux manières différentes à la forme de Licuville, il l'est aussi d^une infinité de manières,
La véritable origine de cette proposition apparaîtra dans la théorie des lignes géodésiques.
Une autre remarque évidente est la suivante : Si Téquation est vérifiée par une valeur de X, elle l'est aussi par a\j a étant une constante. Si elle est vérifiée, pour un même système de valeurs de X et de Y, par X, X| , elle l'est aussi par aX -h 6)^ .
414. Comme première application, choisissons l'équation D. — II. i4
uo
d'Euler
L^équation à vérifier prendra la forme
(i3) i2(X-Y)-6(ar~j^)(X'-4-Y')-h(^-r)»(X'-Y') = o.
Si Ton difTérentie deux fois par rapport à j? et deux fois par rapport à y^ on trouve
il faut donc que X^"' et Y^"^ soient constants et, par suite, que X et Y soient des polynômes du quatrième degré. D'après Téqua* tion (43), ces polynômes devront être égaux quand on fera x^=y. On pourra donc écrire
Y = ay^ -h by"^ -+- cy^ -^ dy -\- e^
et Ton reconnaîtra que les constantes a^ 6, c, </, e ne sont assujetties à aucune condition. Gomme on a
'--Sv '--s
et comme Téquation ne change pas lorsqu'on effectue sur x et sur y une même substitution linéaire, on voit que l'on pourra toujours attribuer à trois racines distinctes du polynôme X telles valeurs que Ton voudra. Cette remarque permet de simplifier la discussion.
I® Si le polynôme X a toutes ses racines égales, on peut supposer infinie la valeur commune de ces racines. On a
La forme correspondante de l'équation est
^^^^^ àx'dy" (y— z)!-^-
2® Si le polynôme X a une racine triple, rendons-la infinie et
réduisons à zéro la racine simple. On aura
(44)6 X = 4^, y = iy, ar = x'«, r=y*-
La forme correspondante de l'équation sera //ex (?U rm(m — i) mim — i)!^
3® Si le polynôme X a deux racines doubles, on pourra les réduire à -I- t et à — i; on aura
(44)e X = (i-+-ar«)«, j:==langa?', J^ = tang/'.
La forme correspondante de Téquation sera
^^^^^ djr'd[/ ~ sin«(^'-/)"'
4^ S^il y a une seule racine double, rendons-la infinie et prenons o et I pour la valeur des racines simples. On aura
(44)rf X = 4^(ï — ^)» a7 = sin*j?', ^ = sin*^
et Téquation aura pour forme correspondante
(Afi\ <?«>s r m(m — i) m(m--i)]^
^^ ^'^ dx'dy " Lsin*(^'-+-y) sin«(ar'— y)J *'
5^ Enfin, dans le cas général, la substitution dépendra des fonctions elliptiques. On pourra prendre
(44)^ \ = ^x{i — x){i—k^x\ a: = sn«(-c'-+-iK'), J^ = sn^y, et l'équation se réduira à la forme
(45), jj^^ = m(m-i)[A-«sn«(2r'-4-y)-it«snî(^'-y)]^.
Telles sont les cinq formes différentes que Ton peut obtenir. La dernière est la plus générale et pourrait donner toutes les autres par le passage à la limite. La détermination des solutions harmoniques correspondantes à la dernière forme se ramène à l'intégration de l'équation
(46) ^=[m(/n-i)A:«5nt^-i-A],
ai2 LIVRE IV. — CHAP. IX.
qui est une équation de Lamé. Le rapprochement ainsi établi entre cette équation diflerentielle que les travaux de M. Hermîte ont rendue célèbre et Téquation aux dérivées partielles d^Euler mériterait, croyons-nous, d'être étudié avec soin.
Si Ton se reporte a la double interprétation que nous avons déjà donnée au n^ 413, on reconnaît que les calculs précédents donnent la solution de la question suivante :
Ramener Vêlement d^une sphère à la forme (Sg).
La solution la plus générale correspond à l'emploi des coordonnées elliptiques.
415. Nous allons maintenant envisager une équation aux dérivées partielles nouvelle qui se rattache directement à l'équation d'Euler. Si, dans cette équation, on change successivement ;r en
— ;r, en - ou en , on peut lui donner différentes formes dans
lesquelles le quotient - 3—^ prend Tune des quatre valeurs suivantes :
Considérons l'équation suivante
(A^) I â^z ^ fx(HL-i) fiÏH^'-i) . v(v-i) v'(v'-i)
(i — ary)* (i-t-xj^)*'
OÙ [x, |x', V, v' sont des nombres quelconques. Nous allons montrer que cette équation peut toujours être ramenée à la forme harmonique.
Si le second terme existait seul, il faudrait prendre, nous venons de le voir,
X désignant un polynôme quelconque du quatrième degré. Si l'on
/dx -jz. ne
change pas de valeur quand on change a: en — x ou en -9 la trans-
formalion correspondante ramènera évidemment Téquation (47) à la forme harmonique.
Les conditions précédentes exigent que X soit de la forme
X = ax^ -H bx* -+• a.
On aura alors
/dx , r ^y
Voici le moyen d'introduire les fonctions elliptiques qui nous a paru le plus commode pour la suite.
On peut résoudre les équations (49) par l'emploi de la fonction doublement périodique suivante :
(5o) p(m)= p 7 — --^^ — i— = A-sn( w-H - 1 sn( w •
Cette fonction, qui se réduit à un sinus amplitude par une transformation du second degré, satisfait aux équations suivantes :
p(M-+-K-f-iK')= 7^-
Cela posé, prenons
On trouvera facilement
<53) ^-;^^, =^nsn«(^'-y)-sii«(x'-f-y)]rfa7'dry.
Changeons x' en x' -\-iK!; si l'on tient compte des formules (5 1), on aura
^K/\ dxdy \ \ i 1 ^ f ^ >
Remplaçons enfin, dans les deux équations (53), (54); ^' par jc'-f-K, nous trouverons
it^w dxdy ^, [ cn«(a:'— y) cii»Ç^jj-y)"| , , . ,
(56) ,-^1^ = r ^-\Yr^i - ^';":^<;i ^' ^y .
^ ' (i-har^)» Lcn*(a?'— y) sn«(a?'-+-y)J -^
Ul4 LIVRE IV. — CHAP. IX.
En tenant compte de ces relations, on peut ramener Téquation (47) à la forme
la fonction cp(^) étant définie parla formule
de sorte que la détermination des solutions harmoniques dépendra de rintégration de l'équation
analogue à Téquation de Lamé. Nous avons déjà remarqué [I, p. 44 2] que cette équation s'intègre, par l'application du beau théorème de M. Picard, toutes les fois que |jl, [jl', v, v' sont des nombres entiers.
416. Ici encore se maintient la correspondance que nous avons déjà signalée à propos de Téquation d'Euler. Uéquation (47) est explicitement intégrable, comme Téquation linéaire (Sq), toutes les fois que les nombres ^, [/.', v, v' sont entiers. Nous établirons ce résultat en faisant connaître une transformation singulière de cette équation.
Introduisons les fonctions
de X et de j^. Si Ton considère j:,j^ comme les coordonnées symétriques d'un point de la sphère de rayon i, m, ('j w^ — />i seront les coordonnées homogènes du même point [I, p. 87]. On a
( M -I- iV == 237, w -h i/? = — 2,
( u — iV = 2^, w — y = aay^, (62) «*-f- f'-h w»H-/>* = o.
Au moyen de ces formules, on peut toujours exprimer une
LKS ÉQUATIONS HARMONIQUES. ai5
fonction donnée quelconque de x et de j', F(x, ^), sous une infinité déformes différentes, parmi lesquelles nous distinguerons les
suivantes
— /u-\-iv u — iV V
(w -h ijt> Y* „ / w H- iV u — iv
2 / \ w -{-ip^ w -^ ip )^
dont la dernière est une fonction homogène de degré quelconque h, ne contenant sv et p que dans la combinaison (v + ip'
D'après cela, supposons qu'une fonction Z de j; et de^ ait été exprimée en fonction de i/, v^ tv, p. On aura
I ^Z ^ .^ /dZ .dZ\
} dx ~ du àv ^\ôw dp /^ (63) '. „ \ r/
^ ^ ï dZ dZ .dZ [dZ .dZ\
\ oy du dv \dw dp J
La multiplication nous donnera
dx dy \àuj \àv / \àw / \àp
/àzy
(^ '^\( ^Jl dZ^ dZ^ dZ\
\dw dp ) \ du dv '^ dw dp/
Si donc la fonction Z a été ramenée à être homogène et de degré zéro, ou bien si elle ne contient w et p que dans la combinaison w + Ipj on aura Téquation suivante :
.,., dZdZ /dzy^/dzy / dzy /dzy
Calculons de même > , - L'application des formules (63) nous
donnera
, dxdy da* c^i^' dw* dp^ (65) { -^ ^
dff (?^ ()j (?7
da dv dw ^ dp '
7 désignant, pour abréger,
(^Z ,dZ
dw dp
Donc, si Ton adopte les mômes hypothèses que précédemment
2l6 LIVRE IV. — CHAP. IX.
sur Texpression de Z, on aura
et l'équation proposée sera ramenée à la forme
qui est parfaitement symétrique par rapport à u^ v^ (v, p. Il suffira de rechercher les solutions de cette équation qui sont homogènes et de degré zéro.
Si l'on effectue le changement de variables suivant
<68) Z = Ml^i^^'ivv/?v'e,
on sera conduit à Téquation nouvelle
(69) AO-h-î-;r-H-— ^-—H \ l-=0,
u ou V ôv w ôw p dp
dont il faudra rechercher les solutions homogènes de degré — s y s désignant la somme
(70) 5 = |JL-4- |Jl'-h V -+- v'.
Une dernière transformation, définie par les formules
ramènera l'équation à la forme
,dn ,(J«e ,(?«e ,d*o
qui donne naissance à des formules analogues à celles que nous avons développées au n** 353 relativement à Téquation E(P, P'). Si Ton désigne par 6(|jl, jx', v, v') une quelconque de ses solutions, on aura
<73) Jïi'^^^' ^'^ ^' ''') = ^(l^ -^ï» î^'» ''' ''')'
et des formules analogues relatives aux dérivées par rapport à v', çv', />'. En revenant aux variables «/, v, (V, /?, on voit que Ton pourra écrire la formule générale
[ = 0([JH-/7i, |x'-f- m', V -h /i, v'-h/i'),
dans laquelle les symboles tels que (—r-) désignent l'opération
—T- répétée m fois, et qui est analogue à la formule (aS) de la
page 64.
On aura, en particulier,
I6(/n, m\ Al, n') -^Kin-u) [VT.) (;i;^) [^) ^(»''^''»)-
La valeur de 6(i, i, i, i)se trouve aisément. En remontant* aux équations (66) et (67), on voit que Ton peut prendre
F et F| désignant deux fonctions arbitraires. Si l'on écrit celte fonction sous forme homogène, on aura
(-;) • e(,,.,,,,)=l^îl:^i^rF(-ii±4îl)-+-F.(-i^^)l;
il suffira de prendre
pour obtenir une expression de 8(/n, m', n, n!) qui soit homogène et de l'ordre que nous avons supposé. La substitution de cette expression dans la formule (^5) donnera l'intégrale cherchée.
417. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant quelques sujets de recherches, qui se rattachent directement aux propositions précédentes :
1** Nous avons indiqué les moyens de former un nombre illimité d'équations harmoniques qui s'intègrent par l'application de
mS livre IV. — CHAP. IX. — LES ÉQUATIONS HARMONIQUES.
la méthode de Laplace. Il y aurait intérêt à déterminer l'ensemble des équations harmoniques possédant cette propriété.
^° Les équations harmoniques, admettant une infinité de solutions particulières avec lesquelles on peut former des solutions plus étendues, se prêtent à l'application des méthodes deFourier. 11 semble donc que Ton pourrait déterminer, au moins dans des cas très étendus, la fonction i/(x,jk; ^oj^o) (n** 358) relative à ces équations. Telle est, d'ailleurs, la voie suivie par Riemann dans le cas particulier de l'équation E(P, P).
3" Il résulte enfin des calculs du n^ 415 que l'élément linéaire défini par la formule
(79) ds^ =\ . -+- ; rr -t- ; rr -h , rr dx dv
est réductible d'une infinité de manières à la forme
On ne connaît pas encore toutes les formes de l'élément linéaire qui possèdent cette propriété. La recherche de ces formes entraîne des calculs assez longs que fait prévoir, d'ailleurs, l'étendue de la solution donnée par la formule précédente. Nous reviendrons sur ce sujet lorsque nous traiterons des lignes géodésiqiies, et nous nous contenterons de renvoyer le lecteur à un beau Mémoire de M. Lie, Untersuchungen ûber geodàtische Curven^ inséré en 1882 aux Mathemalische Annalen (t. XX, p. 357), où se trouve indiquée une forme de l'élément linéaire qui est comprise comme cas particulier dans celle que nous venons de signaler.
