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Ainsi la surface (S) devra avoir sa courbure moyenne constante; et réciproquement à toute surface (S) à courbure moyenne constante correspondra une surface (S«) qui sera parallèle à (S). La relation entre les deux surfaces étant réciproque, (S|) sera, elle aussi, à courbure moyenne constante.

Si Ton rapproche cette proposition des résultats précédents, on peut conclure que toute surface à courbure moyenne constante a nécessairement ses lignes de courbure isothermes. Nous reviendrons sur ce résultat, qui est dû à M. Bonnet (*).

(*) O. Bonnet, Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée (Journal de l'Ecole Polytechnique, XLII* Cahier, p. 77; 1867).

4-34. Après avoir signalé les propriétés géométriques qui se rattachent à Tétude du problème de M. ChristofTel, nous allons indiquer le parti qu'on peut en tirer dans la recherche des surfaces à lignes de courbure isothermes. Cette recherche constitue certainement un des problèmes les plus difficiles de la Géométrie; elle dépend, nous le verrons, de Tintégration d'une équation non linéaire du quatrième ordre. Les surfaces du second degré, les cyclides, les surfaces de révolution, les cônes et les cylindres, certaines surfaces à lignes de courbure planes dans un système qui dépendent d'une fonction arbitraire {^), les surfaces minima et, plus généralement, les surfaces à courbure moyenne constante ont leurs lignes de courbure isothermes. Toutes ces surfaces, auxquelles on peut ajouter celles qu'on en déduit par l'inversion la plus générale, ne constituent, cependant, que des solutions extrêmement particulières du problème proposé, qui doit conduire à des surfaces contenant quatre fonctions arbitraires dans leur équation. Bour, qui a considéré le premier les surfaces à lignes de courbure isothermes, annonce, dans la partie de son Mémoire que nous avons citée plus haut, que, de toute surface à lignes de courbure isothermes, on peut déduire une infinité de surfaces analogues, contenant dans leur équation deux fonctions arbitraires ; mais on reconnaîtra aisément que le raisonnement de l'éminent géomètre manque de généralité et s'applique à la sphère seulement.

Il existe toutefois un moyen de déduire de toute surface à lignes de courbure isothermes une infinité de surfaces nouvelles contenant dans leur équation autant de constantes arbitraires qu'on le veut. Il suffit, pour cela, de combiner les propositions précédentes avec l'application de l'inversion.

Désignons, pour abréger, sous le nom de surface isothermique toute surface à lignes de courbure isothermes. A toute surface isothermique (I), dont l'élément linéaire est donné par la formule

(19) ds^= j(rdp^-t-ridp\),

(') G. Darboux, Détermination d une classe particulière de sur/aces alignes de courbure planes dans un système et isothermes {^Bulletin des Sciences mathématiques, a* série, t. VII, p. 257; i883).

rinversion fera correspondre une nouvelle surface isothermique (1') dont Télément linéaire aura pour expression

( 20 ) ds'i = w-, ,- — — — ^- — i-:^

Xy y, z désignant les coordonnées rectangulaires du point de la surface (I) et a, 6, c celles du pôle de Tinversion.

Or, diaprés la proposition de Bour et de M. Christoflel, on peut, par de simples quadratures, déduire de la surface (!') une surface isothermique nouvelle (F) dont l'élément linéaire aura pour expression

(ai) r//« = X[(.r — a)*-- (^ — 6)î - {z — c)^^{rdf— i\ d^\).

Si Ton recommence, avec celte surface (F), les opérations que nous avons appliquées à la surface primitive (I), on introduira trois constantes nouvelles. On pourra donc, en répétant indéfiniment ces opérations, faire apparaître autant de constantes arbitraires qu'on le voudra.

L'expression de l'élément linéaire de (F) est entière par rapport aux constantes a, 6, c. La même propriété appartient aussi aux coordonnées a:", y\ z" du point de (F). Si Ton pose, en efiel,

on verra facilement que l'on a

et des expressions analogues pour y, >3"'. Ces formules mettent en évidence la propriété annoncée. Si on les applique, par exemple, aux surfaces de révolution, on sera conduit à une classe de surfaces dont les lignes de courbure sont planes dans un système. Les plans de ces lignes enveloppent un cylindre, et ces lignes ellesmêmeS; qui sont rectifiables, sont identiques de forme à celles que nous avons considérées à la fin du n° 206 [I, p. 3i6].

L'application des méthodes précédentes semble être subordonnée à la détermination préalable des lignes de courbure de la surface; mais nous démontrerons plus loin qu'une surface isothermique étant donnée d'une manière quelconque, on peut loujoursy

par de simples quadratures, intégrer l'équation différentielle des lignes de courbure.

435. Dans un élégant article publié en i885, M. J. Weingarten (*) a montré que les surfaces isothermiques peuvent être définies par une équation du quatrième ordre à laquelle doit satisfaire une des trois coordonnées rectangulaires, considérée comme fonction des deux autres; et il a indiqué un moyen de former cette équation. L'emploi du système de coordonnées tangentielles étudié au Livre II [I, p. 245] permet d'obtenir un résultat équivalent et d'écrire sous une forme assez simple l'équation du quatrième ordre à laquelle doivent satisfaire les surfaces isothermiques.

Employons, par exemple, le système défîni au n° 165 [I, p. 245] et dans lequel Téquation du plan tangent est

( 24) (« + ?)X -:- lO a)Y 4- (a? - i)Z H- ? = o,

ç étant une fonction de a et de ^. Si nous conservons toutes les notations de ce numéro, l'équation différentielle des lignes de courbure sera

(25) rrfa«— <<fp« = o,

et l'élément linéaire de la surface se présentera sous la forme

{ ds^= {z d%-hdq){zd^ -h dp)

{ ^[{Z'hs)dx-^td^][{z-hs)d^-\-rdoL],

où l'on a posé, pour abréger,

Les paramètres u et ^ des lignes de courbure seront définis par des équations telles que les suivantes

(27) du = l(/rdoL-- yfi d^), dt> = |j.(/rû?a4- \/ïû^p),

(*) J. Weinoarten, Ueber die Differentialgleichungen der Oberflàcheny welche durch ihre Krummungslinien in unendlich kleine Çuadrate getheilt werden kônnen {Sitzungsberichte der K. P, Akademie der Wissenschaften zu Berlin, t. Il, p. ii63; i883).

X et [JL devant être choisis de telle manière que les seconds membres soient des différentielles exactes; et il faudra exprimer que l'élément linéaire de la surface peut être ramené à la forme

(a8) ds^'= E(dui-^di>^).

En portant dans cette formule les valeurs de du et de d^^, et en écrivant que l'expression obtenue est identique à celle qui est fournie par la formule (26), on obtient trois équations

Er(Xî-+- fjL«) = r(5-f-5),

Er(X*-t- {JL«)= t{z-i-s),

2Ev/r?(|JL*— X*) = (z-i-sy-i- rt,

qui se réduisent à deux, comme il fallait s'y attendre, et nous donnent

/ri ^rt

Si donc on pose, pour plus de simplicité,

(39) iE^^);-^,

on aura

. lO 0

r -\- s -\- ^rt z-r s — ^rt

et toute la difficulté se réduira à exprimer que, pour une même valeur de 6, les deux expressions

^ y/r d% — y/i d^ ^ >J'r dt-^s/td^

z -\- s-^ ^rt z -{- s — ^rt

sont des différentielles exactes. Considérons, par exemple, la première-, en écrivant la condition d'intégrabilité, nous obtenons le résultat suivant

i'dXos,^ i d\o^^ d\fr àJt c/p 0% ô^ dj.

— A 53 log (« H- 5 -h yfri) — /i ^ log ( 3 -t- 5 -f- /ri) = o-

Pour en déduire la condition d'intégrabilité relative à la seconde expression, il suffira de changer le signe de \U. On est ainsi con-

'l5o LIVRE IV. — CHAP. XI.

(luit à deux équalions qui permettent de calculer les deux dérivées et, par suite, la diATérenlielIe totale de logô. On trouve ainsi

et il suffira d^ exprimer que le second membre est une difTérentielle exacte pour obtenir Téquation cherchée sous la forme