rt
On voit que cette équation est du quatrième ordre et qu'elle est linéaire par rapport aux dérivées de cet ordre. Toutes les fois qu'elle sera vérifiée, on pourra déterminer 8, w, v par des quadratures et, par suite, obtenir les lignes de courbure. Ce résultat est, d'ailleurs, un simple corollaire d'une proposition générale sur laquelle nous aurons l'occasion de revenir.
L'équalion précédente, qui n'est irrationnelle qu'en apparence, donne lieu à quelques remarques intéressantes. D'abord il n'y apparaît que deux fonctions des dérivées de ^
r -5 -H .V -h ^rt — e^ 7. .^ •
' z -h s — ^rt
et ces deux fonctions ont une signification très simple. La première fait connaître les deux valeurs du rapport -— relatives aux
lignes de courbure. La seconde représente, d'après les formules du n** 165, le rapport des deux rayons de courbure principaux de la surface. On peut ainsi vérifier immédiatement que les surfaces minima sont isothermiques. Le premier membre de l'équation (3o) se réduit alors au seul terme
d^ , r loff-j
SURFACES A LIGNES DE COURBURE ISOTHERMES. l5l
qui est nul, comme on le reconnaît en substituant les valeurs de r et de ^ qui ont été calculées au n** 194 [I, p. 298].
436. La méthode que nous avons suivie pour former l'équation aux dérivées partielles des surfaces isothermiques peut être remplacée par la suivante, qui nous donnera quelques résultats nouveaux.
Si, entre les deux équations d'Ollnde Rodrigues,
dx de âx ^, de
ou ou âv oi^
on élimine c, on trouvera Téquation
,. d^T dp dx dp' dx ^ ^.dudv d\^ du du di*
où l'on a désigné, pour plus de netteté, par p et p' les inverses de R et deR', c'est-à-dire les courbures principales. L'équation linéaire précédente est celle qui correspond au système conjugué formé par les lignes de courbure. Pour exprimer que la surface est isothermique, il suffira donc d'écrire que cette équation a ses deux invariants égaux, c'est-à-dire que l'on a
dp d£
d dv d du
du p — p' dv p' -~ p
En d'autres termes, l'expression
^? d. - ^' du
devra être une différentielle exacte rfû. On peut donner des formes
très différentes à cette condition. Si l'on retranche - rflog(p — p'), on aura
^Al±l} d. -'-il-^/à du
2dQ — d loff ( p — p' ) = , •
En exprimant le second membre au moyen des coordonnées tangentielles (a, p, Ç) employées plus haut, on trouvera, après un
calcul que nous omettons, que Texpression
doit être une différentielle exacte. On est ainsi conduit à une forme nouvelle
à^ IV r p-p' A ^).3 L V ^ P - ?' J
de Téquation (3o).
Nous signalerons enfin une dernière transformation de la différentielle rfû, qui a été donnée par M. Weingarten. Multiplions, dans l'expression (3i), le numérateur et le dénominateur du premier membre par p — p', afin de rendre le dénominateur rationnel, nous trouverons
(33) cf[û-log(p~p')]= Î^^Y)^
Cette relation permet d'écrire, en coordonnées ponctuelles, l'équation aux dérivées partielles des surfaces isothermiques. Supposons, en effet, la surface définie par une équation de la forme la plus générale
Des formules bien connues permettent d'exprimer pp', p -f- p'i (p — ^'Y en fonctions rationnelles des dérivées de o par rapport à j:, y^ z. Or, si l'on désigne par t une fonction quelconque de x^ y, s, les formules d*01inde Rodrigues conduisent, par un calcul facile, à la relation suivante
p — du -h p -r- dv = —de de — -r- de .
^ du ^ âs^ Ojc Ojr âz
En remplaçant o- par p -h p' et en se reportant à l'équation (33), on reconnaît immédiatement que d[ù — Iog(p — p')] prend la forme
Supposons l'expression précédente ramenée à la forme
Pour exprimer qu'elle est une différentielle exacte lorsqu'on se déplace sur la surface, on écrira la condition
^ *^ â^yôz dy) dy\dx dz ) dz\ùy ùx] '
qui devra être vérifiée pour chaque point de la surface. Telle est l'équation obtenue par M. Weingarlen.
437. De quelque manière qu'on la forme, l'équation aux dérivées partielles précédente paraît être d'une intégration difficile. Mais il résulte des propositions que nous avons établies une méthode nouvelle de recherche des surfaces isothermiques qui peut conduire sans effort à un grand nombre de ces surfaces. Elles sont caractérisées, nous l'avons vu, par la condition que Téquation ponctuelle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure ait ses invariants égaux. Si l'on écrit cette équation sous la forme la plus générale en y remplaçant 0 par [jlO, on obtient (n° 154) [I, p. 221] l'équation à laquelle satisfont les cinq coordonnées pentasphériques d'un point de la surface, considérées comme fonctions des paramètres p et pi des lignes de courbure. En rapprochant tous ces résultats, nous pouvons donc énoncer les propositions suivantes :
Les cinq coordonnées pentasphériques d'un point de toute surface isotliermique considérées comme fonctions des paramètres p et pi des lignes de courbure satisfont à une équation linéaire du second ordre dont les invariants sont égaux.
Inversement, si une équation de la forme
ôpàp
OU, plus généralement, une équation à invariants égaux, admet cinq solutions particulières x^^ x^. ..., x^ liées par l'équation
iSj LIVRE IX. — CÎIAP. VI.
les quantités Xi sont les coordonnées pentasphériques qui définissent une surface isothermique rapportée à ses lignes de coi(rbure (*).
Cette proposition permet, par exemple, de reconnaître immédiatement que les cyclideSj pour lesquelles les cinq coordonnées Xi sont définies par les formules
(rt/— a)C«/— ?)(«/— Pi)
OÙ nous conservons les notations du n° 154 [I, p. 228], sont des surfaces isothermiques. Car les cinq coordonnées précédentes sont
des solutions particulières de l'équation E ( — -> j (n** 3o6)
dont les invariants sont égaux.
Pour donner une application du théorème précédent, considérons Téquation
qui est la plus simple de toutes celle^ dont les invariants sont égaux. Son intégrale générale étant de la forme
on voit que Ton obtiendra une surface isothermique si Ton peut
trouver cinq fonctions //(p) et cinq fonctions <p/(pi), telles que
Ton ait
Les équations de ce genre contenant des fonctions arbitraires d'arguments différents se rencontrent souvent en Géométrie. Nous laisserons au lecteur le soin de résoudre la précédente, nous contentant d'indiquer le résultat, qui donne les cônes généraux, les
(*) Rapprocher cette proposition des résultats obtenus par M. Cayley dans une Note Sur les surfaces divisibles en carrés par leurs courbes de courbure et sur la théorie de Dupin^ insérée en 1872 au tome LXXIV des Comptes rendus de rAcadémie des Sciences, p. i44^* Consulter aussi l'article Sur un point de la théorie des sur/aces, publié à la page 1617 du même tome par M. Combescure.
SURFACES A LIGNES DE COURBURE ISOTHERMES. a55
surfaces de révolution et les transformées par inversion de ces lieux séries de surfaces.
Lorsqu'on aura obtenu une solution du problème, c^est-à-dire déterminé cinq fonctions Xi satisfaisant à l'équation
(35) ^=Xô,
on en pourra déduire une infinité de solutions nouvelles. Il suffira d'introduire la solution particulière
où les constantes ai sont liées par la relation
et d'employer cette solution (o pour passer, en suivant la méthode de M. Moutard, à une nouvelle équation de la forme (35) qui donnera à son tour de nouvelles surfaces isothermiques. Ce procédé analytique, que nous signalons rapidement, n'est autre que la traduction des opérations géométriques indiquées plus haut au n« t3i.
